Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 993
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm

Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.


1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων

\displaystyle  \left\{\begin{matrix} 
x^5+4x^4+5y^2 = 0 
\\  
x^3-\dfrac{y^3}{x^2}= xy-y^2 . 
\end{matrix}\right.


2. Να λύσετε την εξίσωση

\displaystyle \sin 3x + \cos 2x = \cos 4x - 3 \left | \sin x \right | .


3. Να λύσετε την ανίσωση

\displaystyle \dfrac{ \log_{x^2} 9}{\sqrt{\dfrac{1}{2}+\log_{x^2} \left ( x+1\right )} - \sqrt{\dfrac{3}{2}} } \geq \dfrac{\sqrt{2}}{\log_{3} \left ( x+1 \right )-\log_{9} x^4 }.


4. Στο παραλληλόγραμμο ABCD οι ευθείες l_{1} και l_{2} είναι διχοτόμοι των γωνιών A και C αντίστοιχα, οι ευθείες m_{1} και m_2} διχοτόμοι των γωνιών B και D αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών l_{1} και l_2} είναι κατά \sqrt{3} φορές μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών m_{1} και m_{2}. Να βρείτε την γωνία BAD και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο ABD, αν AC = \sqrt{\dfrac{22}{3}}, BD=2.


5. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση

\displaystyle 3xy+16x+13y+61=0 .


6. Στην πυραμίδα ABCD το μήκος του τμήματος BD ισούται με \dfrac{5}{2}, το σημείο E είναι το μέσο του τμήματος AB, F το σημείο τομής των διαμέσων της έδρας BCD και EF=8. Σφαίρα ακτίνας 5 εφάπτεται των επιπέδων ABD και BCD στα σημεία E και F αντίστοιχα. Να βρείτε την δίεδρη γωνία μεταξύ των εδρών ABD και BCD, το εμβαδόν της έδρας BCD και τον όγκο της πυραμίδας ABCD.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Σάβ Μάιος 11, 2019 12:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2687
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μάιος 09, 2019 2:20 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

2.[/b] Να λύσετε την εξίσωση

\displaystyle \sin 3x + \cos 2x = \cos 4x - 3 \left | \sin x \right | .

Ενας τρόπος είναι να θέσουμε t=\sin x
και εκφράζοντας την παράσταση ως προς αυτό να λύσουμε τις πολυωνυμικές εξισώσεις.
(εκανα τις πράξεις και βγαίνει)
Μετά σκέφτηκα Ρώσσοι είναι αυτοί.
Θα υπάρχει και πιο έξυπνος τρόπος.

Η εξίσωση γράφεται

\sin 3x+3|\sin x|=-2\sin 3x \sin x

Αν \sin x=0 τότε x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}
που πράγματι είναι λύσεις.

Διαφορετικά την γράφουμε

\frac{\sin 3x}{\sin x}+3\frac{|\sin x|}{\sin x}=-2\sin 3x

η 3-4(\sin x)^{2}+3\frac{|\sin x|}{\sin x}=-2\sin 3x

αν \sin x >0 τότε από ανισοτικές σχέσεις παίρνουμε \sin x=1

και έχουμε τις λύσεις x=2k\pi +\frac{\pi }{2}

που πράγματι είναι λύσεις.

Αν \sin x <0 τότε βλέπουμε ότι είναι αδύνατη.

(καταλήγουμε στην 4(\sin x)^{2}+2\sin x-3=0


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2687
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μάιος 09, 2019 6:59 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

5. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση

\displaystyle 3xy+16x+13y+61=0 .
Πανεύκολο μου φαίνεται.

Λύνουμε ως προς y

Είναι y=-\dfrac{61 +16x}{3x+13}

Αφού φτιάξουμε το κλάσμα έχουμε

y=-5-\dfrac{x-4}{3x+13}

Αμεσα προκύπτει η λύση x=4,y=-5

Διαφορετικά επειδή \dfrac{x-4}{3x+13} πρέπει να είναι ακέραιος θα έχουμε

(x-4)^{2}\geq (3x+13)^{2}

Από το τριώνυμο που προκύπτει παίρνουμε ότι

-8,5<x<-2,25

Δηλαδή οι τιμές που μπορεί να πάρει το x είναι -3,-4,-5,-6,-7,-8

Δοκιμάζοντας βρίσκουμε και τις λύσεις

x=-4,y=3,x=-6,y=-7


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Μάιος 10, 2019 7:08 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.


1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων

\displaystyle  \left\{\begin{matrix} 
x^5+4x^4+5y^2 = 0 
\\  
x^3-\dfrac{y^3}{x^2}= xy-y^2 . 
\end{matrix}\right.

Αυτό το σύστημα, μπορεί να "τρελάνει" όποιον δεν δει την παραγοντοποίηση στην δεύτερη εξίσωση.! :lol:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 10, 2019 9:21 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Μάιος 09, 2019 6:59 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

5. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση

\displaystyle 3xy+16x+13y+61=0 .
Πανεύκολο μου φαίνεται.

Λύνουμε ως προς y

Είναι y=-\dfrac{61 +16x}{3x+13}

Αφού φτιάξουμε το κλάσμα έχουμε

y=-5-\dfrac{x-4}{3x+13}
Χάριν παιδειάς, λίγο αλλιώς από το παραπάνω σημείο της λύσης του Σταύρου.

Είναι τότε

3y=-15-\dfrac{3x-12}{3x+13} = -15-1+\dfrac{25}{3x+13}

άρα 3x+13= \pm 1, \pm 5, \pm 25

Δοκιμάζοντας βρίσκουμε και τις λύσεις x=4, -4, -6

από όπου τα ζεύγη (4,-5), (-4,3) , (-6,-7).


Panos35
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Τετ Μάιος 08, 2019 3:15 pm

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Panos35 » Παρ Μάιος 10, 2019 11:12 pm

Μετά από διόρθωση του κυρίου Σταύρου, η υπόλοιπη λύση διατίθεται παρακάτω.

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.


1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων

\displaystyle  \left\{\begin{matrix} 
x^5+4x^4+5y^2 = 0 
\\  
x^3-\dfrac{y^3}{x^2}= xy-y^2 . 
\end{matrix}\right.

Μια προσπάθεια με αρκετές πράξεις! Ας ανεβάσει την λύση όποιος άλλος έχει βρεί κάτι διαφορετικό...

\displaystyle  \left\{\begin{matrix} 
x^5+4x^4+5y^2 = 0  (1) 
\\  
x^3-\dfrac{y^3}{x^2}= xy-y^2 . (2) 
\end{matrix}\right.

Πρέπει και αρκεί x\neq 0, άρα άμεσα προκύπτει ότι και y\neq 0. Επομένως δουλεύοντας τη σχέση (2):

x^{3}-\frac{y^{3}}{x^{2}}+y^{2}-xy=0\Leftrightarrow 
 x^{5}-y^{3}+x^{2}y^{2}-x^{3}y=0\Leftrightarrow  
x^{5}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-y^{3}=0\Leftrightarrow 
  x^{3}(x^{2}-y)+y^{2}(x^{2}-y)=0\Leftrightarrow (x^{2}-y)(x^{3}+y^{2})=0

Από όπου :
x=\sqrt{y} ή x=-\sqrt{y} ή y^{2}=x^{3},το οποίο είναι άτοπο(αν λυθεί στη συνέχεια καταλήγει σε αδύνατη εξίσωση). Άρα :

Για x=\sqrt{y} στην (1):
(\sqrt{y})^{5}+4(\sqrt{y})^{4}+5y^{2}=0\Leftrightarrow y^{\frac{5}{2}}+9y^{2}=0\Leftrightarrow y^{2}(\sqrt{y}+9)=0, από όπου y=0(απορρίπτεται) ή \sqrt{y}=-9(αδύνατο)

Γιά x=-\sqrt{y} στην (1):
(-\sqrt{y}^{5})+4(-\sqrt{y}^{4})+5y^{2}=0\Leftrightarrow y^{2}(9-\sqrt{y})=0
Από όπου προκύπτει ότι: y=0(απορρίπτεται) ή \sqrt{y}=9\Leftrightarrow y=81
, άρα και x=-9


Επομένως μοναδική λύση του συστήματος είναι η (x,y)=(-9,81).

Φιλικά,
Πάνος
τελευταία επεξεργασία από Panos35 σε Σάβ Μάιος 11, 2019 12:06 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2687
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μάιος 10, 2019 11:23 pm

Panos35 έγραψε:
Παρ Μάιος 10, 2019 11:12 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.


1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων

\displaystyle  \left\{\begin{matrix} 
x^5+4x^4+5y^2 = 0 
\\  
x^3-\dfrac{y^3}{x^2}= xy-y^2 . 
\end{matrix}\right.

Μια προσπάθεια με αρκετές πράξεις! Ας ανεβάσει την λύση όποιος άλλος έχει βρεί κάτι διαφορετικό...

\displaystyle  \left\{\begin{matrix} 
x^5+4x^4+5y^2 = 0  (1) 
\\  
x^3-\dfrac{y^3}{x^2}= xy-y^2 . (2) 
\end{matrix}\right.

Πρέπει και αρκεί x\neq 0, άρα άμεσα προκύπτει ότι και y\neq 0. Επομένως δουλεύοντας τη σχέση (2):

x^{3}-\frac{y^{3}}{x^{2}}+y^{2}-xy=0\Leftrightarrow 
 x^{5}-y^{3}+x^{2}y^{2}-x^{3}y=0\Leftrightarrow  
x^{5}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-y^{3}=0\Leftrightarrow 
  x^{3}(x^{2}-y)+y^{2}(x^{2}-y)=0\Leftrightarrow (x^{2}-y)(x^{3}+y^{2})=0

Από όπου :
x=\sqrt{y} ή x=-\sqrt{y} ή y^{2}=x^{3},το οποίο είναι άτοπο(αν λυθεί στη συνέχεια καταλήγει σε αδύνατη εξίσωση). Άρα :

Για x=\sqrt{y} στην (1):
(\sqrt{y})^{5}+4(\sqrt{y})^{4}+5y^{2}=0\Leftrightarrow y^{\frac{5}{2}}+9y^{2}=0\Leftrightarrow y^{2}(\sqrt{y}+9)=0, από όπου y=0(απορρίπτεται) ή \sqrt{y}=-9(αδύνατο)

Γιά x=-\sqrt{y} στην (1):
(-\sqrt{y}^{5})+4(-\sqrt{y}^{4})+5y^{2}=0\Leftrightarrow y^{2}(9-\sqrt{y})=0
Από όπου προκύπτει ότι: y=0(απορρίπτεται) ή \sqrt{y}=9\Leftrightarrow y=81
, άρα και x=-9


Επομένως μοναδική λύση του συστήματος είναι η (x,y)=(-9,81).

Φιλικά,
Πάνος
Νομίζω ότι υπάρχει και ακόμα μια λύση.
Η x=-5
y=5\sqrt{5}


Panos35
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Τετ Μάιος 08, 2019 3:15 pm

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Panos35 » Σάβ Μάιος 11, 2019 12:02 am

Πράγματι η συγκεκριμένη επαληθεύει το σύστημα και επαληθεύει και την σχέση x^{3}=-y^{2}, την οποία λανθασμένα απέρριψα(λόγω πράξεων) διότι:
Για y^{2}=-x^{3} στην (1) προκύπτει ότι:

x^{5}+4x^{4}-5x^{3}=0\Leftrightarrow x^{2}+4x -5=0, όπου δίνει x=-5\Rightarrow y=\pm 5\sqrt{5}

ή x=1 \Rightarrow y^{2}=-1
(αδύνατο στους πραγματικούς)

Άρα πολύ σωστά λυσέις του συστήματος είναι οι (x,y)=(-9,81),(-5,5\sqrt{5}),(-5,-5\sqrt{5})




Κύριε Σταύρο ευχαριστώ πολύ για την επισήμανση!


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8499
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 11, 2019 11:59 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

4. Στο παραλληλόγραμμο ABCD οι ευθείες l_{1} και l_{2} είναι διχοτόμοι των γωνιών A και C αντίστοιχα, οι ευθείες m_{1} και m_2} διχοτόμοι των γωνιών B και D αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών l_{1} και l_2} είναι κατά \sqrt{3} μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών m_{1} και m_{2}. Να βρείτε την γωνία BAD και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο ABD, αν AC = \sqrt{\dfrac{22}{3}}, BD=2.
Είμαστε σίγουροι ότι τα νούμερα είναι σωστά; Βρίσκω με λογισμικό B\widehat AD\simeq 13.935...


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 993
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Μάιος 11, 2019 12:52 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Μάιος 11, 2019 11:59 am
Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

4. Στο παραλληλόγραμμο ABCD οι ευθείες l_{1} και l_{2} είναι διχοτόμοι των γωνιών A και C αντίστοιχα, οι ευθείες m_{1} και m_2} διχοτόμοι των γωνιών B και D αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών l_{1} και l_2} είναι κατά \sqrt{3} μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών m_{1} και m_{2}. Να βρείτε την γωνία BAD και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο ABD, αν AC = \sqrt{\dfrac{22}{3}}, BD=2.
Είμαστε σίγουροι ότι τα νούμερα είναι σωστά; Βρίσκω με λογισμικό B\widehat AD\simeq 13.935...
Τα νούμερα είναι σωστά στη μετάφραση μου ξέφυγε το φορές. Το σωστό είναι: "Η απόσταση μεταξύ των ευθειών l_{1} και l_2} είναι κατά \sqrt{3} φορές μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών m_{1} και m_{2}.". και το είχα στο μυαλό μου φορές και το έγραψα απλά μικρότερη :oops: . Το διορθώνω και στην αρχική ανάρτηση...

Ευχαριστώ για την παρατήρηση! Πρέπει να λύσατε πιό δύσκολο πρόβλημα από το αρχικό.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8499
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 11, 2019 1:06 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Μάιος 11, 2019 12:52 pm
george visvikis έγραψε:
Σάβ Μάιος 11, 2019 11:59 am
Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

4. Στο παραλληλόγραμμο ABCD οι ευθείες l_{1} και l_{2} είναι διχοτόμοι των γωνιών A και C αντίστοιχα, οι ευθείες m_{1} και m_2} διχοτόμοι των γωνιών B και D αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών l_{1} και l_2} είναι κατά \sqrt{3} μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών m_{1} και m_{2}. Να βρείτε την γωνία BAD και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο ABD, αν AC = \sqrt{\dfrac{22}{3}}, BD=2.
Είμαστε σίγουροι ότι τα νούμερα είναι σωστά; Βρίσκω με λογισμικό B\widehat AD\simeq 13.935...
Τα νούμερα είναι σωστά στη μετάφραση μου ξέφυγε το φορές. Το σωστό είναι: "Η απόσταση μεταξύ των ευθειών l_{1} και l_2} είναι κατά \sqrt{3} φορές μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών m_{1} και m_{2}.". και το είχα στο μυαλό μου φορές και το έγραψα απλά μικρότερη :oops: . Το διορθώνω και στην αρχική ανάρτηση...

Ευχαριστώ για την παρατήρηση! Πρέπει να λύσατε πιό δύσκολο πρόβλημα από το αρχικό.

Ναι, τώρα είναι πολύ ευκολότερο. Ευχαριστώ! (Θα επανέλθω με τη λύση αν στο μεταξύ δεν απαντηθεί).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8499
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 11, 2019 2:55 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

4. Στο παραλληλόγραμμο ABCD οι ευθείες l_{1} και l_{2} είναι διχοτόμοι των γωνιών A και C αντίστοιχα, οι ευθείες m_{1} και m_2} διχοτόμοι των γωνιών B και D αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών l_{1} και l_2} είναι κατά \sqrt{3} φορές μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών m_{1} και m_{2}. Να βρείτε την γωνία BAD και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο ABD, αν AC = \sqrt{\dfrac{22}{3}}, BD=2.

Έστω AB=a, AD=b, d η απόσταση των l_1, l_2 και d\sqrt 3 η απόστααη των m_1, m_2.
MIPD 2004.png
MIPD 2004.png (20.09 KiB) Προβλήθηκε 767 φορές
Είναι γνωστό ότι αν οι διχοτόμοι των γωνιών παραλληλογράμμου δεν συντρέχουν, τότε σχηματίζουν ορθογώνιο,

του οποίου οι διαγώνιοι είναι παράλληλες με τις πλευρές του παραλληλογράμμου και ίσες με την διαφορά τους
.

\displaystyle L\widehat NM = B\widehat AM = \frac{{\widehat A}}{2} \Rightarrow \tan \frac{A}{2} = \frac{d}{{d\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \frac{{\widehat A}}{2} = 30^\circ  \Leftrightarrow \boxed{B\widehat AD=60^\circ}

Είναι, \displaystyle {a^2} + {b^2} = \frac{{A{C^2} + B{D^2}}}{2} = \frac{{17}}{3} και με νόμο συνημιτόνων στο ABD, βρίσκω ab=\dfrac{5}{3}, απ' όπου a+b=3.

Τα a,b, a>b, είναι λοιπόν ρίζες της εξίσωσης \displaystyle {x^2} - 3x + \frac{5}{3} = 0 \Leftrightarrow \boxed{a = \frac{{9 + \sqrt {21} }}{6},b = \frac{{9 - \sqrt {21} }}{6}}

\displaystyle (ABD) = \frac{1}{2}ab\sin 60^\circ  = sr \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \boxed{r=\frac{\sqrt 3}{6}}


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Σάβ Μάιος 11, 2019 6:40 pm

Ας δούμε για το 1 και τη διαπραγμάτευση που ακολουθεί:

Καταρχάς x \ne 0. Θέτουμε y = tx και το σύστημα γράφεται: {x^3} + 4{x^2} + 5{t^2} = 0,\;\left( 1 \right)\ {\kappa \alpha \iota }}\;{x^2} - \left( {t - {t^2}} \right)x - {t^3} = 0\;\left( 2 \right).
Από την (2) προκύπτει x = t\;{\text{\dot \eta }}\;x =  - {t^2}\;\left( 3 \right).
Με βάση τώρα τις \left( 1 \right),\left( 3 \right) παίρνουμε t = x =  - 9,\;y = 81 ή t =  - \sqrt 5 ,\;x =  - 5,\;y = 5\sqrt 5 , ή t = \sqrt 5 ,\;x =  - 5,\;y =  - 5\sqrt 5 .


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Μάιος 11, 2019 7:03 pm

Το σχήμα για το 6.

Ο είναι το κέντρο της σφαίρας.

Το επίπεδο EOFK είναι κάθετο στα επίπεδα ABD, BDC.

Το ύψος, από το C , της βάσης είναι τριπλάσιο του KF.

Το ύψος, από το Α, της πυραμίδας είναι διπλάσιο του ΕΗ.

Οι υπολογισμοί είναι ... ρουτίνα :-)


IMG_20190511_184702.jpg
IMG_20190511_184702.jpg (1.07 MiB) Προβλήθηκε 720 φορές


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Σάβ Μάιος 11, 2019 7:36 pm

Για το 5ο ας δούμε και την άποψη:


Για να πάρουμε γινόμενο ακεραίων ισο με σταθερό ακέραιο αριθμό, για να τον αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, με εύκολες συμπληρώσεις έχουμε,

\left( {3x + 13} \right)\left( {3y + 16} \right) = 1 \cdot 5 \cdot 5,\; από όπου παίρνουμε εύκολα ως λύσεις τις (-4,3),\;(-6,-7),\;(4,-5).


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1850
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τρί Μάιος 14, 2019 5:28 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
..........................................................................
6. Στην πυραμίδα ABCD το μήκος του τμήματος BD ισούται με \dfrac{5}{2}, το σημείο E είναι το μέσο του τμήματος AB, F το σημείο τομής των διαμέσων της έδρας BCD και EF=8. Σφαίρα ακτίνας 5 εφάπτεται των επιπέδων ABD και BCD στα σημεία E και F αντίστοιχα. Να βρείτε την δίεδρη γωνία μεταξύ των εδρών ABD και BCD, το εμβαδόν της έδρας BCD και τον όγκο της πυραμίδας ABCD.
rek2 έγραψε:
Σάβ Μάιος 11, 2019 7:03 pm
Το σχήμα για το 6.

Ο είναι το κέντρο της σφαίρας.

Το επίπεδο EOFK είναι κάθετο στα επίπεδα ABD, BDC.

Το ύψος, από το C , της βάσης είναι τριπλάσιο του KF.

Το ύψος, από το Α, της πυραμίδας είναι διπλάσιο του ΕΗ.

Οι υπολογισμοί είναι ... ρουτίνα :-)
Κώστα καλημέρα,

υλοποιώ αυτά ακριβώς που επισημαίνεις σε σχήματα με τα πραγματικά δεδομένα.


Εργαζόμαστε κατ' αρχήν στο πρώτο σχήμα:
Πυραμίδα 1.png
Πυραμίδα 1.png (25.97 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές
Το κέντρο \displaystyle{O} της σφαίρας που εφάπτεται στις έδρες \displaystyle{(BCD),\  \ (ABD)} του τετραέδρου αυτού(τριγωνικής πυραμίδας)
με τα σημεία επαφής αντίστοιχα \displaystyle{F} και \displaystyle{E} δημιουργεί ένα ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές \displaystyle{ 8, 5, 5 }.
Το επίπεδο του τριγώνου αυτού ως κάθετο στις δυο ανωτέρω έδρες είναι κάθετο και στην τομή αυτών, δηλαδή
στην ακμή \displaystyle{BD} κι έτσι δημιουργεί την αντίστοιχη επίπεδη \displaystyle{\varphi} της δίεδρης γωνίας του τετραέδρου αυτού.

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο \displaystyle{OESF} προκύπτει:

\displaystyle{\varphi =180^o-\omega \   \  (1)}

Από το τρίγωνο \displaystyle{(OEF)} και από το θεώρημα των συνημιτόνων προκύπτει:

\displaystyle{cos\omega =\frac{-14}{50} \  \ (2)}

Άρα:

\displaystyle{cos\varphi =\frac{14}{50} \Rightarrow \varphi=arccos(\frac{14}{50})=73.74^o \  \ (3)}

Από το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{(OET)} προκύπτει από το πυθαγόρειο θεώρημα ότι \displaystyle{(OT)=3}
και από το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{(OES)} θα είναι:

\displaystyle{(OE)^2=(OT)(OS) \Rightarrow ... \Rightarrow (OS)=\frac{25}{3} \  \ (4)}

Άρα: \displaystyle{ (ST)=\frac{16}{3} \  \ (5)}

Επίσης από το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{(OES)} και από το πυθαγόρειο θεώρημα θα είναι:

\displaystyle{SE=\frac{20}{3}=SF \  \ (6)}

Από την (6) εύκολα υπολογίζεται το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{(FBD)}, δηλαδή:

\displaystyle{E(FBD)=\frac{1}{2}(BD)(SF)=\frac{25}{3} \Rightarrow E(BCD)=3\cdot E(FBD)=25 \  \ (7)}

Για τον όγκο της πυραμίδας αυτής εργαζόμαστε στο δεύτερο σχήμα:
Πυραμίδα 3.png
Πυραμίδα 3.png (31.94 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές
Το ύψος της πυραμίδας αυτής είναι το τμήμα \displaystyle{AA_o \perp(BCD)}
Τα ορθογώνια τρίγωνα \displaystyle{ESE_o} και \displaystyle{AZA_o} είναι όμοια γιατί μια οξεία γωνία τους
είναι η αντίστοιχη επίπεδη \displaystyle{\varphi} της δίεδρης \displaystyle{A-BD-C}. Άρα:

\displaystyle{\frac{AA_o}{EE_o}=\frac{AZ}{ES} =\frac{2}{1}\Rightarrow (AA_o)=2(EE_o) \  \ (8) }

Όμως:

\displaystyle{(EE_o)=(SE)\cdot sin\varphi=\frac{20}{3} \cdot \sqrt{1-cos^2\varphi}=...=\frac{20}{3} \cdot \sqrt{1-(\frac{14}{50})^2}  \  \ (9) }

Η σχέση (8) λόγω της (9) δίνει:

\displaystyle{AA_o=\frac{40}{3}\cdot \sqrt{1-(\frac{14}{50})^2} \approx  12.8 \  \ (10) }

Τελικά ο όγκος της πυραμίδας αυτής είναι:

\displaystyle{V=\frac{1}{3}(BCD)\cdot (AA_o)=\frac{1}{3}\cdot 25 \cdot \frac{40}{3} \sqrt{1-(\frac{14}{50})^2} =\frac{1000}{9}\sqrt{1-(\frac{14}{50})^2 }=\frac{320}{3} \approx 106.67  }

Σημείωση:
Σε επόμενη ανάρτηση θα αναφέρω πώς κατασκευάζεται μια τέτοια πυραμίδα που έχει πολλές μορφές, όπως αυτές που
φαίνονται στα ανωτέρω σχήματα, όπου η κορυφή \displaystyle{C} κινείται πάνω σε μια ευθεία παράλληλη προς την ακμή \displaystyle{BD}
και με όρια μεταβολής τα σημεία \displaystyle{C_1, C_2}.

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Μάιος 14, 2019 6:58 pm

Κώστα, σε ευχαριστώ!

Να είσαι πάντα καλά!

Να γράφεις, να σε διαβάζουμε, να μαθαίνουμε από εσένα!


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1850
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Ιουν 07, 2019 9:25 am

KDORTSI έγραψε:
Τρί Μάιος 14, 2019 5:28 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
..........................................................................
6. Στην πυραμίδα ABCD το μήκος του τμήματος BD ισούται με \dfrac{5}{2}, το σημείο E είναι το μέσο του τμήματος AB, F το σημείο τομής των διαμέσων της έδρας BCD και EF=8. Σφαίρα ακτίνας 5 εφάπτεται των επιπέδων ABD και BCD στα σημεία E και F αντίστοιχα. Να βρείτε την δίεδρη γωνία μεταξύ των εδρών ABD και BCD, το εμβαδόν της έδρας BCD και τον όγκο της πυραμίδας ABCD.
rek2 έγραψε:
Σάβ Μάιος 11, 2019 7:03 pm
Το σχήμα για το 6.

Ο είναι το κέντρο της σφαίρας.

Το επίπεδο EOFK είναι κάθετο στα επίπεδα ABD, BDC.

Το ύψος, από το C , της βάσης είναι τριπλάσιο του KF.

Το ύψος, από το Α, της πυραμίδας είναι διπλάσιο του ΕΗ.

Οι υπολογισμοί είναι ... ρουτίνα :-)
Κώστα καλημέρα,

υλοποιώ αυτά ακριβώς που επισημαίνεις σε σχήματα με τα πραγματικά δεδομένα.


Εργαζόμαστε κατ' αρχήν στο πρώτο σχήμα:
...............................................................................................
Σημείωση:
Σε επόμενη ανάρτηση θα αναφέρω πώς κατασκευάζεται μια τέτοια πυραμίδα που έχει πολλές μορφές, όπως αυτές που
φαίνονται στα ανωτέρω σχήματα, όπου η κορυφή \displaystyle{C} κινείται πάνω σε μια ευθεία παράλληλη προς την ακμή \displaystyle{BD}
και με όρια μεταβολής τα σημεία \displaystyle{C_1, C_2}.

Κώστας Δόρτσιος
Κώστα καλημέρα και ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια.
Να είσαι γερός και πάντα δημιουργικός!


Έχει ενδιαφέρον ο τρόπος με τον οποίο μπορεί κανείς να κατασκευάσει την πυραμίδα αυτή
και μάλιστα στην εποχή μας που διαθέτει τα μέσα της ψηφιακής τεχνολογίας.

Η κατασκευή της πυραμίδας αυτής έχοντας υπόψη και την προηγούμενη ανάρτηση πραγματοποιείται
ακολουθώντας τα εξής στάδια:
1ο στάδιο
Πυραμίδα 5.png
Πυραμίδα 5.png (16.46 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές
Στο οριζόντιο επίπεδο θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα \displaystyle{BD=\frac{5}{2}} και ένα τυχαίο σημείο \displaystyle{S} (κόκκινο χρώμα) πάνω σ' αυτό.
Θεωρούμε το κάθετο επίπεδο στο ευθύγραμμο τμήμα \displaystyle{BD} στο σημείο \displaystyle{S} και πάνω σ' αυτό κατασκευάζουμε το τετράπλευρο \displaystyle{OEST}.
Η κατασκευή αυτή είναι εφικτή και εύκολη.

2ο στάδιο
Πυραμίδα 7.png
Πυραμίδα 7.png (21.51 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές
Θεωρούμε το μέσο \displaystyle{S_o} του τμήματος \displaystyle{BD} και προεκτείνουμε το τμήμα \displaystyle{S_oT} έτσι ώστε:

\displaystyle{S_oC=3S_oT \  \ (1)}

Έτσι το σημείο \displaystyle{T} είναι το βαρύκεντρο της έδρας \displaystyle{ BCD}.

Όμοια προεκτείνοντας το τμήμα \displaystyle{BE} κατά ίσο τμήμα \displaystyle{EA} βρίσκουμε το σημείο \displaystyle{A}.

3ο στάδιο
Πυραμίδα 8.png
Πυραμίδα 8.png (27.89 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές
Στο σχήμα αυτό φαίνεται πλέον η ζητούμενη πυραμίδα διότι ικανοποιούνται όλα τα δεδομένα της
εκφώνησης του αρχικού προβλήματος.

Επειδή όμως το σημείο \displaystyle{S} θεωρήθηκε τυχαίο επί του τμήματος \displaystyle{BD} έχουμε απειρία τέτοιων πυραμίδων των οποίων
η κορυφή \displaystyle{C} θα δείξουμε ότι κινείται επί ενός ευθυγράμμου τμήματος \displaystyle{C_1C_2}.
Για το θέμα αυτό εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Πυραμίδα 9.png
Πυραμίδα 9.png (15.92 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές
Αν από το σημείο \displaystyle{C} φέρουμε την παράλληλη \displaystyle{e} προς την \displaystyle{BD} τότε από την ομοιότητα των τριγώνων
\displaystyle{(TSS_o)} και \displaystyle{(TCS_1)} προκύπτει:

\displaystyle{TS_1=2TS=ct \  \ (2) }

Από την (2) προκύπτει ότι η ευθεία (e) είναι σταθερή.

Καλλιεργώντας τις σχέσεις από την ομοιότητα αυτή εύκολα μπορούμε να
συμπεράνουμε και τα όρια μεταβολής του σημείου \displaystyle{C}.
(αυτές μπορείτε να τις δείτε και στο δυναμικό σχήμα)
Έτσι προκύπτει ότι είναι:

\displaystyle{C_1C_2=\frac{15}{2} }
Πυραμίδα 3.ggb
(15.69 KiB) Μεταφορτώθηκε 10 φορές
Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1850
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Ιουν 07, 2019 2:49 pm

Επειδή ο χώρος στην προηγούμενη ανάρτηση δεν έφτανε για την ανάρτηση και του δεύτερου
δυναμικού αρχείου το αναρτώ στην παρούσα.
Πυραμίδα 4.ggb
(19.86 KiB) Μεταφορτώθηκε 20 φορές
Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης