Οικονομικό Μόσχας 2004

[Al.Koutsouridis]

Θέματα εισαγωγικών εξετάσεων τμήματος οικονομικών Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 2004.


1. Βρείτε το γινόμενο όλων των αρνητικών ριζών της εξίσωσης

.


2. Να λύσετε την ανίσωση




3. Ο κύκλος, που τέμνει τις παράπλευρες πλευρές και ισοσκελούς τριγώνου στα σημεία και αντίστοιχα, είναι περιγεγραμμένος στο τρίγωνο . Τα τμήματα και τέμνονται στο σημείο έτσι, ώστε . Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου , αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι .


4. Να λύσετε την ανίσωση

.


5. Οχηματαγωγό πλοίο χωρητικότητας τόνων μεταφέρει τζίπ και φορτηγά. Το πλήθος των μεταφερόμενων με το οχηματαγωγό φορτηγών υπερβαίνει κατά τουλάχιστον το πλήθος των μεταφερόμενων τζιπ. Το βάρος και το κόστος μεταφοράς ενός τζιπ είναι ισο με τόνους και ευρώ, του φορτηγού τόνους και ευρώ αντίστοιχα. Προσδιορίστε το μέγιστο δυνατό κόστος μεταφοράς όλων των τζιπ και φορτηγών δεδομένων των συνθηκών.


6. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του για την οποία έχει λύση το σύστημα

.


7. Σε κανονική τριγωνική πυραμίδα με ύψος και πλευρά βάσης είναι τοποθετημένες πέντε σφαίρες ίσης ακτίνας. Μια από τις σφαίρες εφάπτεται στο κέντρο της βάσης της πυραμίδας. Κάθε μία από άλλες τρεις σφαίρες εφάπτεται της δικής της έδρας, εξάλλου το σημείο επαφής βρίσκεται στο απόστημα και το διαιρεί σε λόγο , υπολογίζοντας από την κορυφή. Η πέμπτη σφαίρα εφάπτεται όλων των τεσσάρων σφαιρών. Να βρείτε την ακτίνα των σφαιρών.

[rek2]

Αυτά τα θέματα ήταν για το οικονομικό Μόσχας. :coolspeak:

Θυμάμαι, τώρα, κάποιο θέμα του τμήματος ψυχολογίας που είχε ανεβάσει ο Αλέξανδρος.

https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=136&t=64192&p=311145&hilit=%CF%88%CF%85%CF%87%CE%BF%CE%BB%CE%BF%CE%B3%2A#p311145

(ο διδακτικός στόχος ήταν ... να τρελάνουν τους υποψήφιους ψυχολόγους) :lol:

Και αναρωτιέμαι: Το 2004 στο τμήμα Μαθηματικών ή στο τμήμα Διαστημικής Μόσχας τι θέματα έβαλαν; :wallbash:

Και σε πόσο χρόνο έπρεπε να απαντηθούν; Μας φτάνει ... μία εβδομάδα; :first:

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Κι εγώ έχω τα ίδια ερωτήματα με τον Κώστα...
Πάντως είναι εξαιρετικά θέματα.
Αλέξανδρε , σε ευχαριαστούμε για τις δημοσιεύσεις των θεμάτων αυτών...

[Demetres]

Δεν τις δοκίμασα όλες, αλλά αυτές που δοκίμασα, ενώ είναι «φαινομενικά δύσκολες», αν δεν τις φοβηθείς και τις προχωρήσεις βγαίνουν χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία. Απαραίτητη προϋπόθεση όμως είναι να έχει ο υποψήφιος «καλή αλγεβρική παιδεία». Αλλιώς κλάφτα Χαράλαμπε. Θέλει επίσης και κάποια στοιχειώδη λογική ώστε να μην καταλήξεις να μεταφέρεις τζιπ και φορτηγά στην 5.

[Al.Koutsouridis]

Και αναρωτιέμαι: Το 2004 στο τμήμα Μαθηματικών ή στο τμήμα Διαστημικής Μόσχας τι θέματα έβαλαν;

Και σε πόσο χρόνο έπρεπε να απαντηθούν; Μας φτάνει ... μία εβδομάδα;

Ο χρόνος ήταν ή ώρες νομίζω. Για το μαθηματικό τμήμα τα θέματα ήταν παρόμοια, λίγο πιο δύσκολα ίσως. Τμήμα διαστημικής δε γνωρίζω, αλλά εδώ θα βρείτε τα θέματα του Φύσικο-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το ίδιο έτος. Τα θέματα και εκεί είναι παρόμοια, με λίγο πιο δύσκολες εξισώσεις, ανισώσεις. Είχαμε δει κάποια θέματα φοιτητικών ολυμπιάδων από αυτό το ίδρυμα παλιότερα και είχα υποσχεθεί θα ανεβάσω και θέματα εισαγωγικών ή ολυμπιάδων εισαγωγικού τύπου. Οπότε εκπλήρωσα την υπόσχεση .

Δεν τις δοκίμασα όλες, αλλά αυτές που δοκίμασα, ενώ είναι «φαινομενικά δύσκολες», αν δεν τις φοβηθείς και τις προχωρήσεις βγαίνουν χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία. Απαραίτητη προϋπόθεση όμως είναι να έχει ο υποψήφιος «καλή αλγεβρική παιδεία». Αλλιώς κλάφτα Χαράλαμπε. Θέλει επίσης και κάποια στοιχειώδη λογική ώστε να μην καταλήξεις να μεταφέρεις τζιπ και φορτηγά στην 5.

Συμφωνώ με τον κ. Δημήτρη. Τα θέματα δεν είναι "ολυμπιακού τύπου" αργά ή γρήγορα "βγαίνουν". Μάλλον το 6ο έχει λίγο τέτοια χαρακτηριστικά και κλασσικά η στερεομέτρια που πάντα δυσκολεύει...

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Θέματα εισαγωγικών εξετάσεων τμήματος οικονομικών Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 2004.




2. Να λύσετε την ανίσωση

Να ασχοληθούμε με τα θέματα γιατί είναι όμορφα και για να σεβαστούμε τον κόπο του Αλέξανδρου.
Nα δούμε το δεύτερο θέμα , είναι πολύ ενδιαφέρον...

Για να ορίζεται η ανίσωση οφείλουμε να έχουμε


H ανίσωση γράφεται ισοδύναμα

και ισοδύναμα έχουμε


Εδώ η κατάσταση διευκολύνεται από το γεγονός ότι
για κάθε πραγματικό με
Πράγματι
ισοδύναμα

κάτι που σίγουρα ισχύει αφού η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι ίση με

Έτσι λοιπόν η ανίσωση θα γράφεται πλέον

Οι τιμές που επαληθεύουν την τελευταία είναι το και το

[rek2]

Θέματα εισαγωγικών εξετάσεων τμήματος οικονομικών Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 2004.


7. Σε κανονική τριγωνική πυραμίδα με ύψος και πλευρά βάσης είναι τοποθετημένες πέντε σφαίρες ίσης ακτίνας. Μια από τις σφαίρες εφάπτεται στο κέντρο της βάσης της πυραμίδας. Κάθε μία από άλλες τρεις σφαίρες εφάπτεται της δικής της έδρας, εξάλλου το σημείο επαφής βρίσκεται στο απόστημα και το διαιρεί σε λόγο , υπολογίζοντας από την κορυφή. Η πέμπτη σφαίρα εφάπτεται όλων των τεσσάρων σφαιρών. Να βρείτε την ακτίνα των σφαιρών.

Στο σχήμα φαίνεται μία επίπεδη τομή που ορίζεται από το παράπλευρο ύψος και το ύψος της πυραμίδας. Περιέχει και την ακμή CF. Είναι



Υπολογίζουμε , οπότε η ακτίνα είναι

2.png (18.28 KiB) Προβλήθηκε 1954 φορές

[Panos35]

Θέματα εισαγωγικών εξετάσεων τμήματος οικονομικών Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 2004.


1. Βρείτε το γινόμενο όλων των αρνητικών ριζών της εξίσωσης

.

Το συγκεκριμένο νομίζω δεν είχε κάτι το ιδιαίτερο! Άν έχω κάπου λάθος να με ενημερώσετε!
Ευχαριστώ εκ των προτέρων,
Πάνος


Αρχικά έχουμε ότι . Απο κει και έπειτα:

• 

• 

Άρα η εξίσωση είναι η:


Από όπου λύνοντας το τριώνυμο βρίσκουμε ότι:

και


Εμέις όμως θέλουμε μόνο τις αρνητικές ρίζες τις οποίες αν πολλαπλασιάσουμε προκύπτει ότι:

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Πολύ σωστά!!

Μια άλλη λύση είναι η εξής:
Από τους τύπους του Viet μπορούμε να ξέρουμε ότι το γινόμενο και των τεσσάρων πραγματικών ριζών της διτετράγωνης είναι ίσο με
. Το γινόμενο των δυο θετικών είναι ίσο με το γινόμενο των δύο αρνητικών.
Άρα το γινόμενο των δύο αρνητικών είναι ίσο με

Έγραψα αυτήν την λύση για να θυμηθούμε τους τύπους του Viet...

[rek2]

6. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του για την οποία έχει λύση το σύστημα

.

Αλέξανδρε, τα νούμερα είναι οκ;

Μήπως π.χ. στην δεύτερη εξίσωση το 72 είναι 18 ή το 1 είναι 9;

[Al.Koutsouridis]

6. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του για την οποία έχει λύση το σύστημα

.

Αλέξανδρε, τα νούμερα είναι οκ;

Μήπως π.χ. στην δεύτερη εξίσωση το 72 είναι 18 ή το 1 είναι 9;

Καλημέρα κ. Κώστα! Σωστά είναι τα νούμερα ή τουλάχιστον σωστά τα έχω μεταφέρει.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

6. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του για την οποία έχει λύση το σύστημα

.

Αλέξανδρε, τα νούμερα είναι οκ;

Μήπως π.χ. στην δεύτερη εξίσωση το 72 είναι 18 ή το 1 είναι 9;

Καλημέρα κ. Κώστα! Σωστά είναι τα νούμερα ή τουλάχιστον σωστά τα έχω μεταφέρει.

Η δεύτερη εξίσωση είναι αδύνατη.
Κάτι δεν πάει καλά.

[Al.Koutsouridis]

6. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του για την οποία έχει λύση το σύστημα

.

Αλέξανδρε, τα νούμερα είναι οκ;

Μήπως π.χ. στην δεύτερη εξίσωση το 72 είναι 18 ή το 1 είναι 9;

Καλημέρα κ. Κώστα! Σωστά είναι τα νούμερα ή τουλάχιστον σωστά τα έχω μεταφέρει.

Η δεύτερη εξίσωση είναι αδύνατη.
Κάτι δεν πάει καλά.

Για κάποια ναι, μπορεί να μην έχει αλλά για παράδειγμα για με λογισμικό αλλά και με πράξεις μπορούμε να δούμε ότι υπάρχουν λύσεις...

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

6. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του για την οποία έχει λύση το σύστημα

.

Αλέξανδρε, τα νούμερα είναι οκ;

Μήπως π.χ. στην δεύτερη εξίσωση το 72 είναι 18 ή το 1 είναι 9;

Καλημέρα κ. Κώστα! Σωστά είναι τα νούμερα ή τουλάχιστον σωστά τα έχω μεταφέρει.

Η δεύτερη εξίσωση είναι αδύνατη.
Κάτι δεν πάει καλά.

Για κάποια ναι, μπορεί να μην έχει αλλά για παράδειγμα για με λογισμικό αλλά και με πράξεις μπορούμε να δούμε ότι υπάρχουν λύσεις...

Μάλλον τα έχω παίξει.
Στην δεύτερη εξίσωση το δεξιό μελος ειναι θετικο ενω το αριστερο δεν μπορει να ειναι.

[Al.Koutsouridis]

6. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του για την οποία έχει λύση το σύστημα

.

Αλέξανδρε, τα νούμερα είναι οκ;

Μήπως π.χ. στην δεύτερη εξίσωση το 72 είναι 18 ή το 1 είναι 9;

Καλημέρα κ. Κώστα! Σωστά είναι τα νούμερα ή τουλάχιστον σωστά τα έχω μεταφέρει.

Η δεύτερη εξίσωση είναι αδύνατη.
Κάτι δεν πάει καλά.

Για κάποια ναι, μπορεί να μην έχει αλλά για παράδειγμα για με λογισμικό αλλά και με πράξεις μπορούμε να δούμε ότι υπάρχουν λύσεις...

Μάλλον τα έχω παίξει.
Στην δεύτερη εξίσωση το δεξιό μελος ειναι θετικο ενω το αριστερο δεν μπορει να ειναι.

To μπορεί να πάρει και αρνητικές και θετικές τιμές ανάλογα με το τι τιμές παίρνει το

To όντως μπορεί να δειχθεί ότι πάιρνει μόνο αρνητικές τιμές (το είναι αρκούντως μικρό)

Οπώς φαίνεται και στις γραφικές παραστάσεις για κάποιοες τιμές τα δυο μέλη μπορεί να τέμνονται. Δε ξέρω ίσως υπάρχει κάτι που δεν βλέπω;

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

6. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του για την οποία έχει λύση το σύστημα

.

Αλέξανδρε, τα νούμερα είναι οκ;

Μήπως π.χ. στην δεύτερη εξίσωση το 72 είναι 18 ή το 1 είναι 9;

Καλημέρα κ. Κώστα! Σωστά είναι τα νούμερα ή τουλάχιστον σωστά τα έχω μεταφέρει.

Η δεύτερη εξίσωση είναι αδύνατη.
Κάτι δεν πάει καλά.

Για κάποια ναι, μπορεί να μην έχει αλλά για παράδειγμα για με λογισμικό αλλά και με πράξεις μπορούμε να δούμε ότι υπάρχουν λύσεις...

Μάλλον τα έχω παίξει.
Στην δεύτερη εξίσωση το δεξιό μελος ειναι θετικο ενω το αριστερο δεν μπορει να ειναι.

To μπορεί να πάρει και αρνητικές και θετικές τιμές ανάλογα με το τι τιμές παίρνει το

To όντως μπορεί να δειχθεί ότι πάιρνει μόνο αρνητικές τιμές (το είναι αρκούντως μικρό)

Οπώς φαίνεται και στις γραφικές παραστάσεις για κάποιοες τιμές τα δυο μέλη μπορεί να τέμνονται. Δε ξέρω ίσως υπάρχει κάτι που δεν βλέπω;

Συγνωμμη Αλεξαντρε.
Τα βλέπω από κινητό και δεν έβλεπα το ημίτονο στο δεξιό μέλος.

[Demetres]

Αλέξανδρε, έχεις τις απαντήσεις; Ή τουλάχιστον να μας πεις αν μιλάει για supremum αντί για maximum;

Έχω βρει ότι αν για κάποιο υπάρχει λύση τότε . Το νομίζω δεν πιάνεται αλλά μπορούμε να έχουμε τιμές του αρκετά κοντά στο .

[Al.Koutsouridis]

Αλέξανδρε, έχεις τις απαντήσεις; Ή τουλάχιστον να μας πεις αν μιλάει για supremum αντί για maximum;

Έχω βρει ότι αν για κάποιο υπάρχει λύση τότε . Το νομίζω δεν πιάνεται αλλά μπορούμε να έχουμε τιμές του αρκετά κοντά στο .

Ναι, η τελική απάντηση είναι και πιάνεται, άρα maximum.

[rek2]

Σε μπελά σας έβαλα γιατί το (συνθήκη, ώστε η δεύτεrη εξίσωση να έχει λύση ως προς sin3x) το έβλεπα αλλιώς!!

[Al.Koutsouridis]

Θέματα εισαγωγικών εξετάσεων τμήματος οικονομικών Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 2004.


7. Σε κανονική τριγωνική πυραμίδα με ύψος και πλευρά βάσης είναι τοποθετημένες πέντε σφαίρες ίσης ακτίνας. Μια από τις σφαίρες εφάπτεται στο κέντρο της βάσης της πυραμίδας. Κάθε μία από άλλες τρεις σφαίρες εφάπτεται της δικής της έδρας, εξάλλου το σημείο επαφής βρίσκεται στο απόστημα και το διαιρεί σε λόγο , υπολογίζοντας από την κορυφή. Η πέμπτη σφαίρα εφάπτεται όλων των τεσσάρων σφαιρών. Να βρείτε την ακτίνα των σφαιρών.

Στο σχήμα φαίνεται μία επίπεδη τομή που ορίζεται από το παράπλευρο ύψος και το ύψος της πυραμίδας. Περιέχει και την ακμή CF. Είναι



Υπολογίζουμε , οπότε η ακτίνα είναι
2.png

Ας δούμε και ένα τρισδιάστατο σχήμα και μια προσπάθεια να εξηγήσουμε μερικά σημεία στην παραπάνω (Χιλώνεια ) λύση. Διατηρώ τα ονόματα των σημείων παρακάτω.

moscow_economics_2004.png (128.33 KiB) Προβλήθηκε 1692 φορές

Από τα κέντρα των σφαιρών που εφάπτονται στις έδρες αντίστοιχα, φέρουμε παράλληλα επίπεδα προς αυτές τις αντίστοιχες έδρες. Κάθε ένα από αυτά τα επίπεδα αποκόβει μια νεα πυραμίδα ( αντίστοιχα) που είναι όμοια με αυτήν πριν την αποκοπή, αλλά μετατοπίζει το κέντρο της βάσης (της αρχικής) της κατά ένα διάνυσμα παράλληλο προς την βάση, συγγραμμικό και ίδια φορά με τα . Επειδή οι σφαίρες έχουν ίσες ακτίνες τα διανύσματα αυτά θα έχουν και ίσο μέτρο. Επομένως . Δηλαδή το κέντρο της βάσης μετά και τις τρεις αποκοπές δεν αλλάζει θέση και βρίσκεται στο φορέα του ύψους της αρχικής πυραμίδας.

Το κέντρο της σφαίρας που εφάπτεται των τεσσάρων σφαιρών ισαπέχει από τα σημεία άρα και από τις παράπλευρες έδρες της αποκομένης πυραμίδας (τελικής ). Άρα το θα βρίσκεται στην τομή των επίπέδων που διχοτομούν της δίεδρες γωνίες που σχηματίζουν οι παράπλευρες έδρες. Επειδή η πυραμίδα είναι κανονική τα διχοτομικά αυτά επίπεδα είναι κάθετα στη βάση και διέρχονται από το κέντρο της βάσης. Επομένως το βρίσκεται στο φορέα του ύψους της αποκομένης πυραμίδας και άρα και της αρχικής .

Πάμε στο σχμήμα της τομής τώρα, που ορίζει το απόστημα και η κορυφή . Ας είναι το σημείο επαφής της σφαίρας με κέντρο με το απόστημα . Το σημείο που θέλει παραπάνω εξήγηση εδώ, είναι το γεγονός ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.

Πράγματι έχουμε:

, . Οπότε . Αν το κέντρο της σφαίρας που εφάπτεται στο κέντρο της βάσης. Έχουμε , . Επομένως τα τρίγωνα και είναι ίσα. Άρα και .

, κοινή , . Οπότε και τα τρίγωνα και είναι ίσα. Άρα . Δηλαδή τα τρίγωνα και είναι ίσα και εφόσον , θα είναι και . Οπότε τα σημεία είναι συνευθειακά, όπως θέλαμε.

Εν τέλη, από το θεώρημα διχοτόμων έχουμε