mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 21, 2019 4:09 pm**

Θέματα των εισαγωγικών εξετάσεων του τμήματος Οικονομικών του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, Ιούλιος 2002.

1. Αποδείξετε ή διαψεύστε τον ισχυρισμό: η περίμετρος ρόμβου με μήκη διαγωνιών

και

είναι μεγαλύτερη από το μήκος κύκλου ακτίνας

.

2. Να λύσετε την ανίσωση

$\displaystyle \left (1- \dfrac{2x}{5} \right )^{7+11x-6x^2} \geq 1$ .

3. Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} y-xy-x=11 \\ xy^2-x^2y=-30 \end{matrix}\right.$ .

4. Μια ομάδα εργατών διεκπεραιώνει ένα έργο σε

εργάσιμες μέρες. Αν η ομάδα είχε άλλους τέσσερεις εργάτες και κάθε εργάτης της ομάδας εργαζόταν κατά μια ώρα τη μέρα παραπάνω, τότε το ίδιο έργο θα διεκπερεαιώνοταν το πολύ σε

μέρες. Αν η ομάδα αυξανόταν κατά ακόμη έξι άτομα και η εργάσιμη μέρα κάτα ακόμη μία ώρα το όλο έργο θα διεκπεραιώνοταν το λίγοτερο σε 21 μέρες. Προσδιορίστε, δεδομένου των παραπάνω συνθηκών, το ελάχιστο πλήθος της ομάδας καθώς και την διάρκεια της εργάσιμης μέρας.

5. Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle \log_{2} \left ( \cos 3 \left ( \dfrac{\pi}{6}-x\right ) \right) \cdot \log_{2} \left ( \cos 2x\right ) + \log_{2} \left ( \sin 5x +\sin x \right ) =0$ .

6. Να βρείτε όλες τις τιμές του

, για τις οποίες η ανισότητα

$\displaystyle \sqrt[4]{x^{2}-6ax+10a^2} + \sqrt[4]{3+6ax-x^{2}-10a^{2}} \geq \sqrt[4]{\sqrt{3}a+24-\dfrac{3}{\sqrt{2}}+\left | y-\sqrt{2}a^2 \right | +\left | y-\sqrt{3}a \right |}$
έχει μοναδική λύση.

7. Δυο ίσοι κύβοι

και

, που έχουν κοινή κορυφή, είναι τοποθετημένοι έτσι, ώστε ακμή του κύβου

να βρίσκεται στη διαγώνιο του κύβου

και ακμή του κύβου

να βρίσκεται στη διαγώνιο του κύβου

. Να βρείτε τον όγκο του κοινού μέρους αυτών των κύβων, αν το μήκος της ακμής τους είναι

.

Edit 05/05/2019: Πρόσθεσα και τα υπόλοιπα θέματα.
Τα δυο τελευταία θέματα (από εφτά) των εισαγωγικών εξετάσεων του τμήματος Οικονομικών του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, Ιούλιος 2002. Εδώ επειδή τα θέματα ήταν στο σύνολο εφτά, νομίζω οι μαθητές διάλεγαν έξι από αυτά.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 25, 2019 1:56 pm**

Αλέξανδρε, στο 7, το αποτέλεσμα παίζει να είναι κάτι σαν $\frac{1}{3}\left ( \sqrt{3}-1\right )^2$ ;

Στο 6, άγνωστος το χ ή το (χ, y);

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 25, 2019 2:20 pm**

rek2 έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 25, 2019 1:56 pm
Αλέξανδρε, στο 7, το αποτέλεσμα παίζει να είναι κάτι σαν $\frac{2}{3}\left ( \sqrt{2}+\sqrt{3}-3\right )^2$ ;

Στο 6, άγνωστος το χ ή το (χ, y);

Καλησπέρα κ.Κώστα,

Στο 6ο άγνωστος είναι το (x,y)

.

Στο 7ο η τελική απάντηση είναι $\dfrac{2}{3} \left (2-\sqrt{3} \right )$ . Προσωπικά έχω καταφέρει να κάνω το σχήμα και να βρώ το πολύεδρο του οποίου τον όγκο θέλουμε να βρούμε, αλλά δεν έχω κάνει ακόμα τις πράξεις. Το βράδυ που θα γυρίσω σπίτι θα προσπαθήσω να τα αναρτήσω.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 25, 2019 2:39 pm**

Αλέξανδρε γράφαμε παράλληλα!!

Το ίδιο βγάζω!

Τωρα για το 6 παίζει το μέγιστο του αριστερού μέλους να ισούται με το ελάχιστο του δεξιού μέλους!

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 25, 2019 7:58 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2019 4:09 pm

7. Δυο ίσοι κύβοι και , που έχουν κοινή κορυφή, είναι τοποθετημένοι έτσι, ώστε ακμή του κύβου να βρίσκεται στη διαγώνιο του κύβου και ακμή του κύβου να βρίσκεται στη διαγώνιο του κύβου . Να βρείτε τον όγκο του κοινού μέρους αυτών των κύβων, αν το μήκος της ακμής τους είναι .

Ας το δούμε!

: IMG_20190425_195124.jpg (1.67 MiB) Προβλήθηκε 2864 φορές

Σχεδιάζω μόνο τα απαραίτητα. Ο αρχικός κύβος είναι ο ABCDA'B'C'D'

. Η άνω έδρα του δεν χρειάζεται στο σχήμα.

Ο δεύτερος κύβος έχει σαν κορυφή το

, μία ακμή την A'E

πάνω στη διαγώνιο

, και μία διαγώνιο επί της AA'

Η 'κάτω" 'έδρα του δεύτερου κύβου είναι κάθετη στην διαγώνιο

και στο σημείο της

. Τέμνει τις AD, AC, AB

στα σημεία τους G, F, H

κατά σειρά.

Το κοινό μέρος των δύο κύβων είναι οι δύο πυραμίδες A'.AGH

και

. Αυτές είναι ίσες.

Απλοί υπολογισμοί δίνουν $AF=EF=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$ και $AG^2=2 AF^2=\left ( \sqrt{3}-1 \right )^2$

Ο ζητούμενος όγκος είναι:

$V=2V_{A'.AGH}=2 \dfrac{1}{3}(AGH)(A'A)=2\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{2}AG^2(AA')=...=\dfrac{1}{3}\left ( \sqrt{3} -1\right )^2$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 25, 2019 8:56 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2019 4:09 pm
6. Να βρείτε όλες τις τιμές του , για τις οποίες η ανισότητα

$\displaystyle \sqrt[4]{x^{2}-6ax+10a^2} + \sqrt[4]{3+6ax-x^{2}-10a^{2}} \geq \sqrt[4]{\sqrt{3}a+24-\dfrac{3}{\sqrt{2}}+\left | y-\sqrt{2}a^2 \right | +\left | y-\sqrt{3}a \right |}$
έχει μοναδική λύση.

$a^2=\dfrac{3}{2}$ ;;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 25, 2019 10:07 pm**

rek2 έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 25, 2019 8:56 pm

$a^2=\dfrac{3}{2}$ ;;

Ναι, το τελικό αποτέλεσμα είναι αυτό.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 01, 2019 1:34 pm**

Χριστός Ανέστη! Χρόνια Πολλά!

Παρακάτω και η δική μου προσπάθεια για το θέμα 7, δεν είχα την ευκαιρία να την αναρτήσω νωρίτερα.

έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2019 4:09 pm
7. Δυο ίσοι κύβοι και , που έχουν κοινή κορυφή, είναι τοποθετημένοι έτσι, ώστε ακμή του κύβου να βρίσκεται στη διαγώνιο του κύβου και ακμή του κύβου να βρίσκεται στη διαγώνιο του κύβου . Να βρείτε τον όγκο του κοινού μέρους αυτών των κύβων, αν το μήκος της ακμής τους είναι .

: problem7.png (180.24 KiB) Προβλήθηκε 2748 φορές

Έστω $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ ο πρώτος κύβος και

η ακμή του δεύτερου κύβου που βρίσκεται στη διαγώνιο $AC^{\prime}$ .

η ακμή του πρώτου κύβου που βρίσκεται στη διαγώνιο $AC^{\prime \prime}$ του δεύτερου. Ας είναι Z,H

τα σημεία τομής του κάθετου επιπέδου (που περιέχει έδρα του δεύτερου κύβου) προς την διαγώνιο AC{'}

στο σημείο

με τις ακμές $BC, BB^{\prome}$ αντίστοιχα. Θα θεωρήσουμε εδώ γνωστό το αποτέλεσμα, ότι BZ=BH

. Μπορεί να το φανταστεί κανείς θεωρώντας το επίπεδο $BDA^{\prime}$ που είναι κάθετο στη διαγώνιο $AC^{\prime}$ και κάνει παράλληλη μεταφορά του με άξονα την διαγώνιο $AC^{\prime}$ .

Τα ορθογώνια τρίγωνα AEZ

και

είναι ίσα, AB=AE

και

κοινή πλευρά. Ομοίως και τα ορθογώνια τρίγωνα ABH

και

. Οπότε ίσα θα είναι και τα ορθογώνια τρίγωνα BZH

και

. Τα οποία μάλιστα είναι και ισοσκελή. Αν

το μέσο του

, τότε το επίπεδο ABM

είναι κάθετο στο AZH

. Ομοίως το επίπεδο AEM

είναι κάθετο στο επίπεδο AZH

. Αρα τα σημεία A,B,M,E

είναι συνεπίπεδα. Δηλαδή τα σημεία B,E

είναι συμμετρικά ως προς το επίπεδο AZH

.

Το κοινό μέρος των δυο κύβων είναι το εξάεδρο ABZHE

, που αποτελείται από δυο ίσες τριγωνικές πυραμίδες BAZH

και

. Όμως

κάθετη στο επίπεδο EZH

. Επομένως ο ζητούμενος όγκος

είναι

$\displaystyle V=2 \cdot \dfrac{1}{3} AE \cdot S_{EZH}= 2 \cdot \dfrac{1}{3} AE \cdot EM^{2}$ (1)

Είναι $EM=AE \cdot \tan \dfrac{\alpha}{2}$ , όπου $\alpha = \angle BAE$ . Οπότε ο ζητούμενος όγκος γράφεται

$\displaystyle V=\dfrac{2}{3} AE^2 \cdot \tan^{2} \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{2}{3} AE^3 \cdot \dfrac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}$ (2)

για το $\cos \alpha$ έχουμε

$\displaystyle \cos \alpha = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC^{\prime}}}{\left | AB \right | \cdot \left | AC^{\prime} \right |} = \dfrac{\left ( 0,1,0 \right) \cdot \left ( 1,1,-1\right )}{\left | \left ( 0,1,0 \right) \right | \cdot \left | \left ( 1,1,-1\right ) \right |} = \dfrac{0\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot (-1)}{1\cdot \sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Εν τέλη ο όγκος γίνεται

$V_{ABZHE}= \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}} = \dfrac{2}{3} \dfrac{\left (1-\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)^2}{\left ( 1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right )\left (1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right )} = \dfrac{2}{3} \dfrac{\left (\sqrt{3}-1 \right)^2 }{2} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4-2\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2}{3} \left ( 2-\sqrt{3} \right)$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 18, 2019 4:33 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2019 4:09 pm
Θέματα των εισαγωγικών εξετάσεων του τμήματος Οικονομικών του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, Ιούλιος 2002.

2. Να λύσετε την ανίσωση

$\displaystyle \left (1- \dfrac{2x}{5} \right )^{7+11x-6x^2} \geq 1$

Διακρίνω τρεις περιπτώσεις:

1η Περίπτωση
$\displaystyle 0< 1-\frac{2x}{5}< 1\Leftrightarrow 0< x< \frac{5}{2}$
Σε αυτήν την περίπτωση η ανίσωση γράφεται ισοδύναμα
$\displaystyle-6x^{2}+11x+7\leq 0\Leftrightarrow x\leq -\frac{1}{2}$ ή $\displaystyle x\geq \frac{7}{3}$
To πεδίο λύσεων σε αυτήν την περίπτωση είναι εκείνα τα

για τα οποία $\displaystyle \frac{7}{3}\leq x< \frac{5}{2}$

2η Περίπτωση
$\displaystyle 1-\frac{2x}{5}> 1\Leftrightarrow x< 0$
Σε αυτήν την περίπτωση η ανίσωση γράφεται ισοδύναμα
$\displaystyle-6x^{2}+11x+7 \geq 0\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{7}{3}$
To πεδίο λύσεων σε αυτήν την περίπτωση είναι εκείνα τα

για τα οποία $\displaystyle- \frac{1}{2}\leq x< 0$

3η Περίπτωση
$\displaystyle 1-\frac{2x}{5}= 1\Leftrightarrow x= 0$
Τότε προφανώς ισχύει.

To πεδίο λύσεων είναι όλα τα

με
$\displaystyle \frac{7}{3}\leq x< \frac{5}{2}$ ή $\displaystyle- \frac{1}{2}\leq x\leq 0$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 18, 2019 8:39 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2019 4:09 pm
Θέματα των εισαγωγικών εξετάσεων του τμήματος Οικονομικών του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, Ιούλιος 2002.

5. Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle \log_{2} \left ( \cos 3 \left ( \dfrac{\pi}{6}-x\right ) \right) \cdot \log_{2} \left ( \cos 2x\right ) + \log_{2} \left ( \sin 5x +\sin x \right ) =0$ .

Με τους προφανείς περιορισμούς έχουμε κατά σειρά και ισοδύναμα:

$\displaystyle \log_{2} \left ( sin3x \right) \cdot \log_{2} \left ( \cos 2x\right ) + \log_{2} \left (2 \sin 3x \cos2x \right ) =0$

$\displaystyle \log_{2} \left ( sin3x \right) \cdot \log_{2} \left ( \cos 2x\right ) + \log_{2}2+ \log_{2} \left ( \sin 3x\right )+ \log_{2} (\cos2x) =0$

$\displaystyle( \log_{2} (sin3x) +1) ( \log_{2} ( \cos2x)+1 ) =0$

$sin3x=\dfrac{1}{2}\vee cos2x=\dfrac{1}{2}$ κ.λπ.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 18, 2019 9:51 pm**

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 18, 2019 4:33 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2019 4:09 pm
Θέματα των εισαγωγικών εξετάσεων του τμήματος Οικονομικών του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, Ιούλιος 2002.

2. Να λύσετε την ανίσωση

$\displaystyle \left (1- \dfrac{2x}{5} \right )^{7+11x-6x^2} \geq 1$
Διακρίνω τρεις περιπτώσεις:

1η Περίπτωση
$\displaystyle 0< 1-\frac{2x}{5}< 1\Leftrightarrow 0< x< \frac{5}{2}$
Σε αυτήν την περίπτωση η ανίσωση γράφεται ισοδύναμα
$\displaystyle-6x^{2}+11x+7\leq 0\Leftrightarrow x\leq -\frac{1}{2}$ ή $\displaystyle x\geq \frac{7}{3}$
To πεδίο λύσεων σε αυτήν την περίπτωση είναι εκείνα τα για τα οποία $\displaystyle \frac{7}{3}\leq x< \frac{5}{2}$

2η Περίπτωση
$\displaystyle 1-\frac{2x}{5}> 1\Leftrightarrow x< 0$
Σε αυτήν την περίπτωση η ανίσωση γράφεται ισοδύναμα
$\displaystyle-6x^{2}+11x+7 \geq 0\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{7}{3}$
To πεδίο λύσεων σε αυτήν την περίπτωση είναι εκείνα τα για τα οποία $\displaystyle- \frac{1}{2}\leq x< 0$

3η Περίπτωση
$\displaystyle 1-\frac{2x}{5}= 1\Leftrightarrow x= 0$
Τότε προφανώς ισχύει.

To πεδίο λύσεων είναι όλα τα με
$\displaystyle \frac{7}{3}\leq x< \frac{5}{2}$ ή $\displaystyle- \frac{1}{2}\leq x\leq 0$

Υπάρχει τουλάχιστον ακόμα μια λύση η x=5

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 18, 2019 10:11 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2019 4:09 pm
Θέματα των εισαγωγικών εξετάσεων του τμήματος Οικονομικών του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, Ιούλιος 2002.

4. Μια ομάδα εργατών διεκπεραιώνει ένα έργο σε εργάσιμες μέρες. Αν η ομάδα είχε άλλους τέσσερις εργάτες και κάθε εργάτης της ομάδας εργαζόταν κατά μια ώρα τη μέρα παραπάνω, τότε το ίδιο έργο θα διεκπερεαιώνοταν το πολύ σε μέρες. Αν η ομάδα αυξανόταν κατά ακόμη έξι άτομα και η εργάσιμη μέρα κατά ακόμη μία ώρα το όλο έργο θα διεκπεραιώνοταν το λιγότερο σε 21 μέρες. Προσδιορίστε, δεδομένου των παραπάνω συνθηκών, το ελάχιστο πλήθος της ομάδας καθώς και την διάρκεια της εργάσιμης μέρας.

Αν

είναι ώρες και

οι εργάτες, με σύνθετη μέθοδο των τριών, προκύπτει, εν τέλει, το σύστημα

$5y + 20 x-2xy+20\geqslant 0 , \,\,\,\, 2y+10x-axy+20\leq 0$

με y ακέραιο. Ζητάμε το μικρότερο y...

Tespa, γράφουμε:

$(2x-5)y\leq 20x+20,\,\,\,(x-2)y\geq 10x+20$

Αφήνοντας λεπτομέρειες και μη, ( τι ήθελα και έμπλεξα ...)

από το σύστημα έχουμε (*):

$10+\dfrac{40}{x-2}\leq y\leq 10+\dfrac{70}{2x-5}$

Η ανισότητα πρώτου τρίτου μέλους δίνει $x\leq 6$ , και από την μονοτονία τους, το ελάχιστο y είναι το 20 για χ=6.

(*) η περίπτωση χ<2,5 ανήκει στις λεπτομέρειες!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 19, 2019 2:04 pm**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 18, 2019 9:51 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 18, 2019 4:33 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2019 4:09 pm
Θέματα των εισαγωγικών εξετάσεων του τμήματος Οικονομικών του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, Ιούλιος 2002.

2. Να λύσετε την ανίσωση

$\displaystyle \left (1- \dfrac{2x}{5} \right )^{7+11x-6x^2} \geq 1$

To πεδίο λύσεων είναι όλα τα με
$\displaystyle \frac{7}{3}\leq x< \frac{5}{2}$ ή $\displaystyle- \frac{1}{2}\leq x\leq 0$

Υπάρχει τουλάχιστον ακόμα μια λύση η

Σαν απάντηση στο πρόβλημα αυτό δίνεται στην πηγή (περιοδικό "Τα μαθηματικά στο σχολείο", 1ο τεύχος, 2003 ) το σύνολο που βρήκε ο κ.Τηλέμαχος παραπάνω. Εδώ με πιάνετε αδιάβαστο, γιατί δεν ξέρω πως ορίζονται οι παραστάσεις της μορφής $\displaystyle f(x)^{g(x)}$ (υποθέτω f(x) > 0

) και η συνάρτηση δύναμης $\displaystyle f(x)=x^a$ στα αντίστοιχα σχολικά εγχειρίδια. Θα προσπαθήσω να το βρω.

Αλλά ναι, η συνάρτηση δύναμης $\displaystyle f(x)=x^a, a \in \mathbb{R}^*$ έχει νόημα και για x<0

αν είναι π.χ. της μορφής $\displaystyle x^{\pm n}$ ή $\displaystyle x^{\pm \frac{1}{2n-1}}$ , $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 19, 2019 7:31 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2019 2:04 pm

Σαν απάντηση στο πρόβλημα αυτό δίνεται στην πηγή (περιοδικό "Τα μαθηματικά στο σχολείο", 1ο τεύχος, 2003 ) το σύνολο που βρήκε ο κ.Τηλέμαχος παραπάνω. Εδώ με πιάνετε αδιάβαστο, γιατί δεν ξέρω πως ορίζονται οι παραστάσεις της μορφής $\displaystyle f(x)^{g(x)}$ (υποθέτω ) και η συνάρτηση δύναμης $\displaystyle f(x)=x^a$ στα αντίστοιχα σχολικά εγχειρίδια. Θα προσπαθήσω να το βρω.

Αλλά ναι, η συνάρτηση δύναμης $\displaystyle f(x)=x^a, a \in \mathbb{R}^*$ έχει νόημα και για αν είναι π.χ. της μορφής $\displaystyle x^{\pm n}$ ή $\displaystyle x^{\pm \frac{1}{2n-1}}$ , $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$ .

Είναι κάτι που ουδέποτε έχει συζητηθεί σοβαρά...
Μπορεί να ορίζονται περιπτώσεις όπου η βάση είναι αρνητική.
Αυτό είναι κάτι που γίνεται στο γυμνάσιο.
Όταν όμως πάμε να ασχοληθούμε με μεταβλητή βάση , ορίζουμε αυτή να είναι θετική.
Ουδείς -από τα όσα έχω διαβάσει- τόλμησε να γράψει : Έστω η συνάρτηση $f(x)=x^{x}$ με x< 0

Αν κάνουμε κάτι τέτοιο χάνονται κάποια '' επιθυμητά '' πράγματα που θέλουμε να έχουν οι συναρτήσεις.
Άνοιξα θέμα τώρα...
Ας γράψουν και άλλοι την άποψή τους...

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 20, 2019 11:39 am**

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2019 7:31 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2019 2:04 pm

Σαν απάντηση στο πρόβλημα αυτό δίνεται στην πηγή (περιοδικό "Τα μαθηματικά στο σχολείο", 1ο τεύχος, 2003 ) το σύνολο που βρήκε ο κ.Τηλέμαχος παραπάνω. Εδώ με πιάνετε αδιάβαστο, γιατί δεν ξέρω πως ορίζονται οι παραστάσεις της μορφής $\displaystyle f(x)^{g(x)}$ (υποθέτω ) και η συνάρτηση δύναμης $\displaystyle f(x)=x^a$ στα αντίστοιχα σχολικά εγχειρίδια. Θα προσπαθήσω να το βρω.

Αλλά ναι, η συνάρτηση δύναμης $\displaystyle f(x)=x^a, a \in \mathbb{R}^*$ έχει νόημα και για αν είναι π.χ. της μορφής $\displaystyle x^{\pm n}$ ή $\displaystyle x^{\pm \frac{1}{2n-1}}$ , $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$ .
Είναι κάτι που ουδέποτε έχει συζητηθεί σοβαρά...
Μπορεί να ορίζονται περιπτώσεις όπου η βάση είναι αρνητική.
Αυτό είναι κάτι που γίνεται στο γυμνάσιο.
Όταν όμως πάμε να ασχοληθούμε με μεταβλητή βάση , ορίζουμε αυτή να είναι θετική.
Ουδείς -από τα όσα έχω διαβάσει- τόλμησε να γράψει : Έστω η συνάρτηση $f(x)=x^{x}$ με
Αν κάνουμε κάτι τέτοιο χάνονται κάποια '' επιθυμητά '' πράγματα που θέλουμε να έχουν οι συναρτήσεις.
Άνοιξα θέμα τώρα...
Ας γράψουν και άλλοι την άποψή τους...

Την λύση

την έβαλα γιατί την είδα με το μάτι.
Νομίζω ότι η λύση που κάνατε είναι εντάξει.
Διαφορετικά πάμε πολύ βαθειά.

Ας γράψω δυο λόγια.

Αν a<0

τότε στους μιγαδικούς ορίζονται οι αριθμοί

$a^{b}=\exp (b \log a)=\exp (b (\ln |a|+(2k+1)\pi i)=|a|^{b}\exp (b(2k+1)\pi i)$
με $k\in \mathbb{Z}$

οπου $\log$ ο μιγαδικός λογάριθμος και $\ln$ ο πραγματικός λογάριθμος του Λυκείου.

Επειδή $\exp 2n\pi i=1,n\in \mathbb{Z}$

βλέπουμε ότι αν ο

είναι άρτιος ακέραιος το σύμβολο

$a^{b}$

είναι μονοσήμαντα ορισμένο.
Επίσης για

ρητό το σύμβολο παίρνει διάφορες τιμές.
Αν κάποια από αυτές είναι πραγματική τότε μπορούμε να ορίσουμε αυτή.
Αν το

είναι άρρητος τότε δεν παίρνει ποτέ πραγματική τιμή
οπότε δεν μπορεί να ορισθεί.

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω μπορούμε να βρούμε όλες τις λύσεις
της ανίσωσης.
Δεν νομίζω όμως ότι αξίζει τον κόπο.

mathematica.gr

Οικονομικοί μπελάδες

Οικονομικοί μπελάδες

Re: Οικονομικοί μπελάδες

Re: Οικονομικοί μπελάδες

Re: Οικονομικοί μπελάδες

Re: Οικονομικοί μπελάδες

Re: Οικονομικοί μπελάδες

Re: Οικονομικοί μπελάδες

Re: Οικονομικοί μπελάδες

Re: Οικονομικοί μπελάδες

Re: Οικονομικοί μπελάδες

Re: Οικονομικοί μπελάδες

Re: Οικονομικοί μπελάδες

Re: Οικονομικοί μπελάδες

Re: Οικονομικοί μπελάδες

Re: Οικονομικοί μπελάδες