Οικονομικά προβλήματα

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 951
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Οικονομικά προβλήματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Μαρ 15, 2019 2:21 pm

Υποδείξτε όλες τις τιμές της παραμέτρου c, για τις οποίες η εξίσωση

\displaystyle \cos^2 x - \left ( c+2\right )^2 \cos x -c(c+2)(c+3)=0

έχει στο διάστημα \displaystyle \left [ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2} \right ] ακριβώς τρεις ρίζες.


Θέμα 6/6 των εισαγωγικών εξετάσεων του τμήματος Οικονομικών του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας. 1991.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1791
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Οικονομικά προβλήματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Μαρ 25, 2019 7:15 pm

Ας γράψω κάποιες σκέψεις για ξεκίνημα...

Η εξίσωση cosx = a όταν -1<a<1 έχει δύο λύσεις στο εν λόγω διάστημα, ενώ με  a=1 ή a=-1 έχει μία λύση. Επομένως για να έχουμε τρεις λύσεις πρέπει η εξίσωση a^2-(c+2)^2a-c(c+2)(c+3)= 0 να έχει δύο λύσεις τέτοιες, ώστε:

να είναι η μία το 1, οπότε 1-(c+2)^2-c(c+2)(c+3)=0 και για την άλλη λύση, η οποία (από Vieta) είναι η (c+2)^2-1, να έχουμε -1<(c+2)^2-1<1

ή

να είναι η μία το  -1, οπότε 1+(c+2)^2-c(c+2)(c+3)=0 και για την άλλη λύση, η οποία (από Vieta) είναι η (c+2)^2+1, να έχουμε -1<(c+2)^2+1<1 (αυτό απορρίπτεται αμέσως λόγω της τελευταίας ανισότητας).

Τώρα, η εξίσωση 1-(c+2)^2-c(c+2)(c+3)=0 δίνει (c+3)(c^2+3c+1)=0. Αυτή έχει τρεις λύσεις και επιλέγουμε αυτές για τις οποίες -1<(c+2)^2-1<1 κ.λπ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης