Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1223
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιαν 12, 2019 7:51 pm

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά για το 2019.

Παραθέτω παρακάτω μερικά ενδεικτικά θέματα. Από αυτά που έχω παραλείψει αρκετά είναι με θέμα πιθανότητες/συνδιαστική (δύσκολα στη μετάφραση), άλλα με επίλυση εξισώσεων, διανύσματα, γεωμετρία, ανάλυση. Στο σύνολο η εξέταση έχει 30 ερωτήματα με μέγιστο βαθμό τα 100 μόρια. Κάποια ερωτήματα είναι πολλαπλής επιλογής (ανάμεσα σε 5 επιλογές) και στα υπόλοιπα ζητείτε μόνο η τελική απάντηση, από ότι έχω καταλάβει. Διάρκεια εξέτασης 100 λεπτά.


14. Η γραφική παράσταση του δευτεροβάθμιου τριωνύμου y=f(x) και της ευθείας y=g(x) φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
korean_exam_2019_pr14.png
korean_exam_2019_pr14.png (45.44 KiB) Προβλήθηκε 1277 φορές
Ποιο είναι το άθροισμα των φυσικών αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση

\displaystyle \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{f(x)g(x)} \geq \left (\dfrac{1}{8} \right )^{g(x)} ; [4 μόρια]


16. Η συνεχής συνάρτηση f(x) που ορίζεται για x>0, για όλα τα θετικά x ικανοποιεί την σχέση

\displaystyle 2f(x)+\dfrac{1}{x^2} f\left ( \dfrac{1}{x} \right)= \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}.

Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος \displaystyle \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2} f(x)dx; [4 μόρια]


25. Βρείτε την τιμή του \displaystyle \int\limits_{0}^{\pi} x \cos \left ( \pi -x\right ) dx. [4 μόρια]


28. Δίνεται η έλλειψη \displaystyle \dfrac{x^2}{49} +\dfrac{y^2}{33} =1 με εστίες τα σημεία F^{\prime}, F. Η ευθεία  F^{\prime}P τέμνει την έλλειψη σε σημείο Q με θετική y συντεταγμένη, όπου P σημείο του κύκλου \displaystyle x^2+(y-3)^2=4. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του αθροίσματος \displaystyle PQ+FQ. [4 μόρια]
korean_exam_2019_pr28.png
korean_exam_2019_pr28.png (41.7 KiB) Προβλήθηκε 1277 φορές

29. Δίνεται τρίγωνο ABC εμβαδού 9 και έστω P,Q και R σημεία που κινούνται στις πλευρές AB, BC και CA, αντίστοιχα. Ο λόγος, του εμβαδού του σχήματος που ορίζουν τα σημεία X του επιπέδου του τριγώνου που δίνονται από την σχέση

\displaystyle \overrightarrow{AX} = \dfrac{1}{4} \left ( \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AR}\right) +\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AQ}

προς το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσος με \dfrac{q}{p}. Να βρείτε την τιμή του p+q. (όπου p,q πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.) [4 μόρια]


Πηγή
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Ιουν 23, 2019 1:55 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9692
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 21, 2019 1:56 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:51 pm
Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά για το 2019.



16. Η συνεχής συνάρτηση f(x) που ορίζεται για x>0, για όλα τα θετικά x ικανοποιεί την σχέση

\displaystyle 2f(x)+\dfrac{1}{x^2} f\left ( \dfrac{1}{x} \right)= \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}.

Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος \displaystyle \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2} f(x)dx; [4 μόρια]
Θέτω στη θέση του x το \dfrac{1}{x} και έχω: \displaystyle 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) + {x^2}f(x) = x + {x^2}

Πολλαπλασιάζω αυτή τη σχέση με -\dfrac{1}{x^2}, την αρχική σχέση με 2 και τις προσθέτω κατά μέλη, απ' όπου παίρνω:

\displaystyle f(x) = \frac{1}{{3x}} + \frac{2}{{3{x^2}}} - \frac{1}{3}. Το ζητούμενο λοιπόν ολοκλήρωμα γράφεται:

\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {\frac{1}{{3x}} + \frac{2}{{3{x^2}}} - \frac{1}{3}} \right)} dx = \left[ {\frac{{\ln x}}{3} - \frac{2}{{3x}} - \frac{x}{3}} \right]_{\frac{1}{2}}^2 = \frac{{\ln 2}}{3} - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + \frac{{\ln 2}}{3} + \frac{4}{3} + \frac{1}{6} = \frac{{4\ln 2 + 3}}{6}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9692
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 21, 2019 2:04 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:51 pm
Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά για το 2019.


25. Βρείτε την τιμή του \displaystyle \int\limits_{0}^{\pi} x \cos \left ( \pi -x\right ) dx. [4 μόρια]
\displaystyle \int_0^\pi  {x\cos (\pi  - x)dx}  =  - \int_0^\pi  {x\cos xdx}  =  - \int_0^\pi  {x(\sin x)'dx}  = \left[ { - x\sin x} \right]_0^\pi  + \int_0^\pi  {\sin xdx}

\displaystyle  = \left[ { - \cos x} \right]_0^\pi  =  - \cos \pi  + \cos 0 = 2


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9692
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 21, 2019 5:13 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:51 pm
Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά για το 2019.



14. Η γραφική παράσταση του δευτεροβάθμιου τριωνύμου y=f(x) και της ευθείας y=g(x) φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
korean_exam_2019_pr14.png
Ποιο είναι το άθροισμα των φυσικών αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση

\displaystyle \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{f(x)g(x)} \geq \left (\dfrac{1}{8} \right )^{g(x)} ; [4 μόρια]
korean_exam_2019_pr14.png
korean_exam_2019_pr14.png (45.44 KiB) Προβλήθηκε 1139 φορές
Έστω \displaystyle f(x) = a{x^2} + bx + c και \displaystyle g(x) = \lambda x + k. Από το σχήμα προκύπτει ότι f(1)=f(5)=3, f(2)=f(4)=0,

απ' όπου εύκολα βρίσκουμε ότι \displaystyle f(x) = {x^2} - 6x + 8. Επίσης, g(5)=3, g(3)=0, άρα g(x)=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{9}{2}.

\displaystyle {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{f(x)g(x)}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)g(x) - 3g(x) \le 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{3}{2}x - \frac{9}{2}} \right)({x^2} - 6x + 5) \le 0. Έχουμε λοιπόν


\displaystyle (x - 1)(x - 3)(x - 5) \le 0 \Leftrightarrow \displaystyle x \in ( - \infty ,1] \cup [3,5]. Το ζητούμενο άθροισμα είναι 1+3+4+5=13.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1223
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Ιαν 21, 2019 5:51 pm

Τα έχει πάρει παραμάζωμα ο κ.Γιώργος.

Για το 14. να σημειώσουμε, συνυπολογίζοντας και τα στενά χρονικά πλαίσια της εξέτασης, ότι επί της ουσίας δε χρειάζεται να υπολογίσουμε την μορφή του τριωνύμου και της ευθείας. Αφού καταλλήξουμε στην ανίσωση \left ( f(x)-3 \right)g(x) \leq 0 , παρατηρούμε ότι η έκφραση f(x)-3 είναι η γραφική παράσταση της f(x) κατά τρεις μονάδες προς τα κάτω, οπότε θα διέρχεται από τα σημεία 1 και 5. Η g(x) διέρχεται από το σημείο 3. Απλή εποπτεία του σχήματος μας δίνει ότι η ανίσωση στα σημεία 1,3,5 ισχύει σαν ισότητα και στο σημείο 4 γνήσια, με συνολικό άθροισμα αυτών 13.

Υγ. Μου άρεσαν αρκετά τα θέματα 21, 29 και 30.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Ιαν 21, 2019 8:39 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:51 pm
Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά για το 2019.




28. Δίνεται η έλλειψη \displaystyle \dfrac{x^2}{49} +\dfrac{y^2}{33} =1 με εστίες τα σημεία F^{\prime}, F. Η ευθεία  F^{\prime}P τέμνει την έλλειψη σε σημείο Q με θετική y συντεταγμένη, όπου P σημείο του κύκλου \displaystyle x^2+(y-3)^2=4. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του αθροίσματος \displaystyle PQ+FQ. [4 μόρια]
korean_exam_2019_pr28.png


Προφανώς, το μέγιστο γίνεται όταν το F'P γίνει ελάχιστο, που συμβαίνει όταν η ευθεία F'P διέρχεται από το κέντρο του κύκλου κ.λπ.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Ιαν 22, 2019 12:15 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:51 pm
Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά για το 2019.



29. Δίνεται τρίγωνο ABC εμβαδού 9 και έστω P,Q και R σημεία που κινούνται στις πλευρές AB, BC και CA, αντίστοιχα. Ο λόγος, του εμβαδού του σχήματος που ορίζουν τα σημεία X του επιπέδου του τριγώνου που δίνονται από την σχέση

\displaystyle \overrightarrow{AX} = \dfrac{1}{4} \left ( \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AR}\right) +\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AQ}

προς το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσος με \dfrac{q}{p}. Να βρείτε την τιμή του p+q.
Συμπέρασμα 1. Η τεχνολογία θέλει ... εξάσκηση.

Συμπέρασμα 2. Η απάντηση, εκτός εκπλήξεων, είναι 13.


Το πέρας του διανύσματος

\displaystyle  \dfrac{1}{4} \left ( \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AR}\right)

έχει γεωμετρικό τόπο το παραλληλόγραμμο AEOF

Για τις διάφορες θέσεις του  Q, το παραλληλόγραμμο μεταφέρεται κατά το διάνυσμα

\displaystyle \overrightarrow{AS} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AQ} .

Προκύπτει το χωρίο MZHKLN κ.λπ.
12.png
12.png (318.11 KiB) Προβλήθηκε 1019 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης