Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 8-10)

dement · #1

Και τελειώνουμε με τις ασκήσεις...

8. Σε ένα παιχνίδι για δύο, κάθε παρτίδα που κερδίζεται αποφέρει πόντο. Κερδίζει το παιχνίδι ο πρώτος παίκτης που συγκεντρώνει πόντους. Παίζουν δύο παίκτες που έχουν ίσες πιθανότητες νίκης σε κάθε παρτίδα. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει ένας από τους δύο παίκτες σε συνολικό αριθμό παρτίδων μικρότερο ή ίσο του ;

9. Δίνονται, στον τρισδιάστατο χώρο, τα σημεία . Αφού αποδείξετε ότι το $\triangle{ABC}$ είναι ισόπλευρο τρίγωνο επί του επιπέδου $\alpha: x + y + z - 4 = 0$ , βρείτε τα σημεία για τα οποία το είναι κανονικό τετράεδρο.

10. Βρείτε τις τιμές της παραμέτρου $k \in \mathbb{R}$ για τις οποίες η συνάρτηση $y = 2e^{kx+2}$ είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης .

mikemoke · #2

nikkru · #3

dement έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 22, 2018 12:23 pm
Και τελειώνουμε με τις ασκήσεις...

8. Σε ένα παιχνίδι για δύο, κάθε παρτίδα που κερδίζεται αποφέρει πόντο. Κερδίζει το παιχνίδι ο πρώτος παίκτης που συγκεντρώνει πόντους. Παίζουν δύο παίκτες που έχουν ίσες πιθανότητες νίκης σε κάθε παρτίδα. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει ένας από τους δύο παίκτες σε συνολικό αριθμό παρτίδων μικρότερο ή ίσο του

Έστω Α και Β οι δύο παίκτες.
Η πιθανότητα να κερδίσει ο Α σε δέκα παρτίδες είναι $\left (\frac{1}{2} \right )^{10}$ , άρα η πιθανότητα να κερδίσει ένας από τους δύο παίκτες σε δέκα παρτίδες είναι $2 \left (\frac{1}{2} \right )^{10}$ .

Η πιθανότητα να κερδίσει ο Α σε παρτίδες (δηλαδή να έχει κερδίσει τις εννιά από τις πρώτες δέκα παρτίδες και κατόπιν να κερδίσει και την εντέκατη) είναι $\binom{10}{9} \left (\frac{1}{2} \right )^{9}\frac{1}{2} \frac{1}{2}=10\left (\frac{1}{2} \right )^{11}$ , οπότε η πιθανότητα να κερδίσει ένας από τους δύο παίκτες σε έντεκα παρτίδες είναι $20 \left (\frac{1}{2} \right )^{11}$ .

Αντίστοιχα η πιθανότητα να κερδίσει ο Α σε παρτίδες (δηλαδή να έχει κερδίσει τις εννιά από τις πρώτες έντεκα παρτίδες και κατόπιν να κερδίσει και την δωδέκατη) είναι $\binom{11}{9} \left (\frac{1}{2} \right )^{9}\left (\frac{1}{2}\right )^2 \frac{1}{2}=55\left (\frac{1}{2} \right )^{12}$ , οπότε η πιθανότητα να κερδίσει ένας από τους δύο παίκτες σε δώδεκα παρτίδες είναι $2 \cdot 55 \left (\frac{1}{2} \right )^{12}=55 \left (\frac{1}{2} \right )^{11}$ .

Τελικά, η πιθανότητα να κερδίσει ένας από τους δύο παίκτες σε συνολικό αριθμό παρτίδων μικρότερο ή ίσο του είναι $2 \left (\frac{1}{2} \right )^{10}+20 \left (\frac{1}{2} \right )^{11}+55 \left (\frac{1}{2} \right )^{11}=79\left (\frac{1}{2} \right )^{11}\approx 3,857 %$ % .

.

dement έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 22, 2018 12:23 pm
10. Βρείτε τις τιμές της παραμέτρου $k \in \mathbb{R}$ για τις οποίες η συνάρτηση $y = 2e^{kx+2}$ είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης .

.
Νομίζω ότι η διατύπωση μας επιτρέπει να κάνουμε απλώς αντικατάσταση και να υπολογίσουμε την σταθερά.
Δηλαδή: $\left( 2e^{kx+2} \right)'' - 2\left( 2e^{kx+2} \right)' - 6e^{kx+2} = 0 \Leftrightarrow 2e^{kx+2} \left(k^2-2k-3 \right)=0 \Leftrightarrow k=-1$ ή k=3

.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

dement έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 22, 2018 12:23 pm

9. Δίνονται, στον τρισδιάστατο χώρο, τα σημεία . Αφού αποδείξετε ότι το $\triangle{ABC}$ είναι ισόπλευρο τρίγωνο επί του επιπέδου $\alpha: x + y + z - 4 = 0$ , βρείτε τα σημεία για τα οποία το είναι κανονικό τετράεδρο.

Εύκολα ελέγχουμε ότι τα σημεία A,B,C

επαληθεύουν την εξίσωση του επιπέδου $\alpha$ και επιπλέον $\left \| AB \right \|=\left \| AC \right \|=\left \| BC \right \|=\sqrt{8}.$

Η εξίσωση του $\alpha$ μπορεί να έρθει στη μορφή $\displaystyle{ 1\cdot (x-\frac{7}{3})+1\cdot (y-\frac{1}{3})+1\cdot (z-\frac{4}{3})=0 }$ απ'όπου

είναι φανερό (εσωτερικό γινόμενο

) ότι το διάνυσμα (1,1,1)

είναι κάθετο στο $\alpha$ . Επίσης, η προβολή του

στο $\alpha$ ταυτίζεται με το ορθόκεντρο

(το οποίο είναι και έγκεντρο και βαρύκεντρο) του τριγώνου ABC

το οποίο

έχει συντεταγμένες $\displaystyle{(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3},\frac{z_A+z_B+z_C}{3})=(\frac{7}{3},\frac{1}{3},\frac{4}{3}).}$ Έτσι λοιπόν η κάθετη στο $\alpha$

ευθεία που σημείο της είναι το

θα έχει παραμετρικές εξισώσεις

$\begin{bmatrix} x=\frac{7}{3}+t\\ y=\frac{1}{3}+t\\ z=\frac{4}{3}+t \end{bmatrix},t \in\mathbb{R}.$
Το P(x,y,z)

είναι σημείο της ευθείας και οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τις παραμετρικές εξισώσεις για κάποιο

$\Leftrightarrow (t+\frac{7}{3}-3)^2+(t+\frac{1}{3}-1)^2+(t+\frac{4}{3})^2=8\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow t=\pm \frac{4}{3}.$
Άρα προκύπτουν δύο σημεία

(αναμενόμενο) τα $\displaystyle{P(\frac{11}{3},\frac{5}{3},\frac{8}{3}),P(1,-1,0).}$

Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 8-10)

Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 8-10)

Re: Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 8-10)

Re: Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 8-10)

Re: Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 8-10)

Μέλη σε σύνδεση