mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 20, 2017 5:37 pm**

Από όλα τα τρίγωνα που περιέχουν τετράγωνο μοναδιαίας πλευράς να προσδιοριστούν αυτά με το ελάχιστο εμβαδόν.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 26, 2017 1:20 am**

dement έγραψε:Από όλα τα τρίγωνα που περιέχουν τετράγωνο μοναδιαίας πλευράς να προσδιοριστούν αυτά με το ελάχιστο εμβαδόν.

Καλησπέρα,

: scuola_normale_superiore_2014_15_2.png (73.16 KiB) Προβλήθηκε 2225 φορές

Ας είναι

το μοναδιαίο τετράγωνο που περιέχεται σε ένα τρίγωνο A{'}B{'}C{'}

. Παρατηρούμε ότι αν φέρουμε από μια κορυφή του τριγώνου (έστω την B{'}

) ευθεία που διέρχεται από μια κορυφή του τετραγώνου (έστω την

) τότε το καινούργιο τρίγωνο που σχηματίζεται ( AB{'}C{'}

) και περιέχει το τετράγωνο έχει μικρότερο εμβαδό από το αρχικό. Αφού θα έχει ίδιο ύψος και μικρότερη βάση.

Ομοίως εργαζόμαστε και για τις άλλες κορυφές. Επομένως το τρίγωνο ελάχιστου εμβαδού (έστω AB{'}C{'}

) θα περιέχει σε κάθε πλευρά του μια κορυφή του τετραγώνου. Θα δείξουμε ότι και η "ελεύθερη" κορυφή που απομένει (έστω η

) θα πρέπει να βρίσκεται και αυτή επί των πλευρών του τριγώνου.

Πράγματι, επειδή $\angle PTC{'} +\angle RTA = 90^0$ , μια εξ αυτών θα είναι το πολύ ίση με 45^0

. Έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας, η PTC

. Φερουμε την ευθεία

η οποία τέμνει τις πλευρές AB{'} , AC{'}

στα σημεία B,C

αντίστοιχα.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο TPC

επειδή $\angle PTC \leq 45^0$ θα είναι $PC{'} < PC \leq PT =1$ (1)

Αν η

τέμνει την B{'}C{'}

στο σημείο Q{'}

. Τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο QPQ{'}

και από το γεγονός ότι Q{'}

εσωτερικό σημείο του

έχουμε

(2) . Επίσης είναι PQ < PB

(3).

Από τις (1),(2),(3) συνεπάγεται ότι $S_{PCC{'}} < S_{PBB{'}}$ . Άρα και $S_{ABC} < S_{AB{'}C{'}$ . Δηλαδή στο τρίγωνο ελάχιστου εμβαδού θα πρέπει μια πλευρά να περιέχει δυο κορυφές του τετραγώνου.

Τώρα από τα τρίγωνα με τις παραπάνω ιδιότητες θα προσπαθήσουμε να βρούμε αυτό με το ελάχιστο εμβαδόν

. Ας είναι BC=a

και

σημείο της

ώστε

. Τότε έχουμε

$S = S_{ART} +S_{RBQ} + S_{TPC} +S_{PQRT}= S_{ART}+S_{STC} +1$ (4)

Τα τρίγωνα ART, TSC

είναι όμοια με το ABC

με λόγο ομοιότητας $\dfrac{1}{a} , \dfrac{a-1}{a}$ αντίστοιχα. Επομένως η (4) γίνεται

$S = \dfrac{1}{a^2}S + \dfrac{(a-1)^2}{a^2}S +1 \Rightarrow S = \dfrac{a^2}{2(a-1)}$ και επειδή

$\dfrac{a^2}{2(a-1)} \geq 2 \Leftrightarrow (a-2)^2 \geq 0$ θα είναι

$S \geq 2$ με την ισότητα όταν a = 2