Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (2)
Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (2)
Από όλα τα τρίγωνα που περιέχουν τετράγωνο μοναδιαίας πλευράς να προσδιοριστούν αυτά με το ελάχιστο εμβαδόν.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Λέξεις Κλειδιά:
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1784
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (2)
Καλησπέρα,dement έγραψε:Από όλα τα τρίγωνα που περιέχουν τετράγωνο μοναδιαίας πλευράς να προσδιοριστούν αυτά με το ελάχιστο εμβαδόν.
Ας είναι το μοναδιαίο τετράγωνο που περιέχεται σε ένα τρίγωνο . Παρατηρούμε ότι αν φέρουμε από μια κορυφή του τριγώνου (έστω την ) ευθεία που διέρχεται από μια κορυφή του τετραγώνου (έστω την ) τότε το καινούργιο τρίγωνο που σχηματίζεται ( ) και περιέχει το τετράγωνο έχει μικρότερο εμβαδό από το αρχικό. Αφού θα έχει ίδιο ύψος και μικρότερη βάση.
Ομοίως εργαζόμαστε και για τις άλλες κορυφές. Επομένως το τρίγωνο ελάχιστου εμβαδού (έστω ) θα περιέχει σε κάθε πλευρά του μια κορυφή του τετραγώνου. Θα δείξουμε ότι και η "ελεύθερη" κορυφή που απομένει (έστω η ) θα πρέπει να βρίσκεται και αυτή επί των πλευρών του τριγώνου.
Πράγματι, επειδή , μια εξ αυτών θα είναι το πολύ ίση με . Έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας, η . Φερουμε την ευθεία η οποία τέμνει τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο επειδή θα είναι (1)
Αν η τέμνει την στο σημείο . Τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο και από το γεγονός ότι εσωτερικό σημείο του έχουμε (2) . Επίσης είναι (3).
Από τις (1),(2),(3) συνεπάγεται ότι . Άρα και . Δηλαδή στο τρίγωνο ελάχιστου εμβαδού θα πρέπει μια πλευρά να περιέχει δυο κορυφές του τετραγώνου.
Τώρα από τα τρίγωνα με τις παραπάνω ιδιότητες θα προσπαθήσουμε να βρούμε αυτό με το ελάχιστο εμβαδόν . Ας είναι και σημείο της ώστε . Τότε έχουμε
(4)
Τα τρίγωνα είναι όμοια με το με λόγο ομοιότητας αντίστοιχα. Επομένως η (4) γίνεται
και επειδή
θα είναι
με την ισότητα όταν
Δείξαμε δηλαδή ότι για άρα και το ύψος από την κορυφή στο ελάχιστο τρίγωνο θα ισούται με 2.
Για την κατασκευή των τριγώνων ελαχίστου εμβαδού φέρουμε ένα ύψος με εσωτερικό σημείο του . Ύστερα φέρουμε τις , τότε τα σημεία τομής τους με την θα ορίσουν ένα τρίγωνο που λόγο των αναλογιών 1:2 θα έχει μήκος βάσης . Δηλαδή της ζητούμενης μορφής.
Edit: 26/02/17 η τελευταία παράγραφος. Λόγο εσφαλμένου αρχικού συμπεράσματος.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Φεβ 26, 2017 12:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (2)
Όλα καλά εκτός από την τελευταία παράγραφο που με...μπερδεύει. Γιατί υποχρεωτικά ισοσκελές ή ορθογώνιο;
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1784
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (2)
Σωστά! 'Ολα τα τρίγωνα τις παραπάνω κατασκευής με βάση και ύψος ίσα με 2. Φέρουμε ένα ύψος με εσωτερικό σημείο του . Ύστερα φέρουμε τις , τότε τα σημεία τομής τους με την θα ορίσουν ένα τρίγωνο που λόγο των αναλογιών 1:2 θα έχει μήκος βάσης . Δηλαδή της ζητούμενης μορφής.dement έγραψε:Όλα καλά εκτός από την τελευταία παράγραφο που με...μπερδεύει. Γιατί υποχρεωτικά ισοσκελές ή ορθογώνιο;
Θα διορθώσω και την αρχική ανάρτηση.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (2)
Ιδού και μία γεωμετρική απόδειξη ('χωρίς λέξεις') για την περίπτωση που η μία πλευρά του τετραγώνου κείται επί μίας πλευράς του τριγώνου.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες