mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 24, 2016 8:20 pm**

Να βρεθούν όλες οι τριάδες θετικών ακεραίων a, b, c

που ικανοποιούν την εξίσωση

a^7 + b^7 = 7^c

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 25, 2016 8:49 am**

Απο το θεωρημα Zsigmondy το a^7+b^7

εχει τουλάχιστον

πρώτους διαιρέτες, άτοπο αφου 7 πρωτος.

Η Επίλυση του a^p+b^p=q^c

,

πρωτοι ακολουθεί ακριβώς την ίδια τακτική.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 25, 2016 9:36 am**

(Ο

, αν δεν κάνω λάθος, αρκεί να είναι περιττός.)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 25, 2016 12:36 pm**

Ναι έχετε δίκιο.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 29, 2016 5:16 pm**

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Απο το θεωρημα Zsigmondy το εχει τουλάχιστον πρώτους διαιρέτες, άτοπο αφου 7 πρωτος.

Η Επίλυση του , πρωτοι ακολουθεί ακριβώς την ίδια τακτική.

Αυτό το θεώρημα -- ωραία περίπτωση οι 4 αδελφοί Zsigmondy, αναζητήστε τους στο διαδίκτυο -- αναμένεται να είναι γνωστό στους εξεταζόμενους ή θεωρείται αρκετά ρεαλιστική η απόδειξη (του) κατά την διάρκεια της εξέτασης χωρίς προηγούμενη γνώση του; Νομίζω ότι η ανεξάρτητη από το Θεώρημα Zsigmondy απόδειξη που δίνω παρακάτω είναι αρκετά απλή:

Θέτουμε a+b=7^d

, οπότε από την $a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6=7^{c-d}$ προκύπτει η

$7^d(7^{5d}-13\cdot7^{4d}a+27\cdot7^{3d}a^2-41\cdot7^{2d}a^3+35\cdot7^da^4-21a^5)+7a^6=7^{c-d},$

απ' όπου εύκολα συνάγεται, λόγω $d\geq1$ , ότι 7^2|7a^6

(άτοπο) ... εκτός και αν c-d=1

(αδύνατο).

Συμπεραίνουμε ότι η αρχική εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 04, 2017 12:41 pm**

Η παραπάνω μέθοδος δίνει την εξής γενίκευση (που ήδη αναφέρθηκε):

Θεώρημα: Αν

,

φυσικοί,

πρώτος και

περιττός τότε οι μόνες λύσεις της a^p+b^p=q^c

στους φυσικούς είναι οι a=1, b=2, q=3, p=3

και

.

Απόδειξη: με διαδοχική αναγωγή στις (I) a^q+b^q=q^c

και (II) $a^q+b^q\leq (a+b)^2$ .

(I) Εύλογα υποθέτουμε ότι οι

,

δεν διαιρούνται δια

, και θέτουμε a+b=q^d

, όπου

. Αντικαθιστώντας την b=q^d-a

στην $(a+b)(a^{p-1}-a^{p-2}b+...-ab^{p-2}+b^{p-1})=q^c$ προκύπτει η ισότητα

$pa^{p-1}+Mq^d=q^{c-d},$ όπου

ακέραιος,

από την οποία συμπεραίνουμε ότι q|p

. Θέτοντας p=mq

, η

δίνει

, όπου

,

.

(II) Αντικαθιστώντας, και πάλι, την b=q^d-a

στην $(a+b)(a^{q-1}-a^{q-2}b+...-ab^{q-2}+b^{q-1})=q^c$ , λαμβάνουμε διαδοχικά τις ισότητες

$qa^{q-1}-[1+...+(q-2)+(q-1)]a^{q-2}q^d+Nq^{2d}=q^{c-d},$ όπου