Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (5)
Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (5)
Έστω το σημείο τομής των αξόνων στο επίπεδο. Για κάθε σύνολο , ορίζουμε το σύνολο ως το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από το και δεν περιέχουν στο εσωτερικό τους κανένα από τα στοιχεία του .
1. Να προσδιοριστεί το όπου η ευθεία .
2. Να προσδιοριστεί το όπου ο κύκλος με κέντρο και ακτίνα .
3. Να αποδειχθεί ότι, για κάθε , το είναι κυρτό.
1. Να προσδιοριστεί το όπου η ευθεία .
2. Να προσδιοριστεί το όπου ο κύκλος με κέντρο και ακτίνα .
3. Να αποδειχθεί ότι, για κάθε , το είναι κυρτό.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (5)
Για τα δύο πρώτα ερωτήματα:dement έγραψε:Έστω το σημείο τομής των αξόνων στο επίπεδο. Για κάθε σύνολο , ορίζουμε το σύνολο ως το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από το και δεν περιέχουν στο εσωτερικό τους κανένα από τα στοιχεία του .
1. Να προσδιοριστεί το όπου η ευθεία .
2. Να προσδιοριστεί το όπου ο κύκλος με κέντρο και ακτίνα .
3. Να αποδειχθεί ότι, για κάθε , το είναι κυρτό.
Έστω Μ τυχαίο σημείο του γεωμετρικού τόπου , η ευθεία και το σημείο .
1. Για κάθε σημείο του γεωμετρικού τόπου είναι , αφού θέλουμε η ευθεία να μην τέμνει τον κύκλο.
Οπότε είναι η παραβολή με εστία το σημείο και διευθετούσα την ευθεία και τα εσωτερικά της σημεία, δηλαδή όλα τα σημεία για τα οποία .
2. Για κάθε σημείο του γεωμετρικού τόπου είναι , αφού θέλουμε ο κύκλος να μην τέμνει τον κύκλο, δηλαδή θέλουμε .
Τα σημεία του επιπέδου για τα οποία ανήκουν στον αριστερό κλάδο της υπερβολής με εστίες τα σημεία και που έχει εξίσωση .
Οπότε είναι ο αριστερός κλάδος της υπερβολής και τα εσωτερικά της σημεία, δηλαδή όλα τα σημεία για τα οποία .
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (5)
Επαναφορά για το τρίτο ερώτημα!
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (5)
Μια λύση για το 3. για να κλείσει το θέμα.dement έγραψε:Έστω το σημείο τομής των αξόνων στο επίπεδο. Για κάθε σύνολο , ορίζουμε το σύνολο ως το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από το και δεν περιέχουν στο εσωτερικό τους κανένα από τα στοιχεία του .
3. Να αποδειχθεί ότι, για κάθε , το είναι κυρτό.
Για δύο οποιαδήποτε σημεία και του (κύκλοι που δεν έχουν στο εσωτερικό τους κανένα σημείο του συνόλου ) θα πρέπει
και οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο του τμήματος να ανήκει στο σύνολο .
Οι κύκλοι έχουν κοινό σημείο το άρα ή θα τέμνονται ή θα εφάπτονται.
Αν οι κύκλοι και εφάπτονται εσωτερικά ή εξωτερικά κάθε κύκλος εφάπτεται εσωτερικά με έναν από αυτούς άρα κάθε εσωτερικό σημείο του είναι εσωτερικό και σε έναν από αυτούς τους κύκλους, οπότε το ανήκει στο .
Αν οι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία τότε κάθε εσωτερικό σημείο του κύκλου είναι εσωτερικό σε έναν τουλάχιστον από τους κύκλους , οπότε το ανήκει στο .
Έτσι, σε κάθε περίπτωση το ανήκει στο , άρα το σύνολο αυτό είναι κυρτό.
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (5)
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες