Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2015-16

dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2015-16

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Σεπ 07, 2016 5:56 pm

Καλημέρα, ένα θέμα από τις περσινές εισαγωγικές μας.

Η εσωτερική επιφάνεια ενός δωματίου αποτελείται από 4 τοίχους, ένα ταβάνι και ένα πάτωμα. Μία μύγα μέσα στο δωμάτιο ακολουθεί τους εξής κανόνες:

1. Αν απογειωθεί από το ταβάνι ή το πάτωμα, έχει πιθανότητα 1/5 να επιστρέψει στην επιφάνεια από όπου απογειώθηκε και 1/5 να προσγειωθεί σε κάθε έναν από τους 4 τοίχους.
2. Αν απογειωθεί από έναν τοίχο, έχει 1/5 πιθανότητα να προσγειωθεί στο ταβάνι, στο πάτωμα και σε κάθε έναν από τους υπόλοιπους 3 τοίχους.

Αρχικά η μύγα είναι στο ταβάνι. Να υπολογιστεί η πιθανότητα να βρίσκεται στο πάτωμα μετά από k κινήσεις.
τελευταία επεξεργασία από dement σε Δευ Οκτ 23, 2017 1:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2015-16

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Σεπ 07, 2016 8:26 pm

Καλησπέρα Δημήτρη.

Αν είναι δώσε μας και λίγες περισσότερες πληροφορίες για τις εξετάσεις. (Ποιος τις διοργανώνει, ποιοι παρακάθονται κ.τ.λ.)

Για την άσκηση τώρα ορίζω a_n,b_n,c_n τις πιθανότητες μετά από n κινήσεις η μύγα να βρίσκεται στο ταβάνι, σε κάποιο από τους τοίχους, στο πάτωμα αντίστοιχα.

Έχουμε τις εξής εξισώσεις:

\displaystyle{a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{5}}
\displaystyle{b_{n+1} = \frac{4a_n+3b_n+4c_n}{5}}
\displaystyle{c_{n+1} = \frac{b_n+c_n}{5}}

Από την συμμετρία του προβλήματος βολεύει να ορίσουμε

x_n = 5^n(a_n - c_n) y_n = 5^n(a_n + c_n) και z_n = 5^n b_n

Είναι x_{n+1} = x_n και επειδή x_0 = 1 παίρνουμε x_n = 1 για κάθε n.

Επίσης είναι

\displaystyle{ y_{n+1} = y_n + 2b_n και \displaystyle{ b_{n+1} = 4y_n + 3b_n}

Άρα

\displaystyle{ y_{n+2} = y_{n+1} + 2b_{n+1} = y_{n+1} + 8y_n + 6b_n = y_{n+1} + 8y_n + 3(y_{n+1} - y_n) = 4y_{n+1} + 5y_n}

Από γνωστή θεωρία έχουμε \displaystyle{ y_n = A\cdot 5^n + B(-1)^n } για κάποιες σταθερές A,B.

Επειδή y_0 = y_1 = 1 (απλός έλεγχος) παίρνουμε A+B= 5A-B = 1 και λύνοντας το σύστημα καταλήγουμε στο

\displaystyle{ y_n = \frac{5^n + 2(-1)^n}{3}}

Επειδή \displaystyle{ c_n = \frac{y_n - x_n}{2 \cdot 5^n}} καταλήγουμε στο

\displaystyle{ c_n = \frac{5^n + 2(-1)^n - 3}{6 \cdot 5^n}}


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2015-16

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Σεπ 07, 2016 8:58 pm

Πολύ ωραία, Δημήτρη. Η δική μου λύση προβλέπει εύρεση ιδιοτιμών 1, \pm 1/5 στον πίνακα 3 \times 3 και στη συνέχεια υπολογισμό των σταθερών στην παράσταση P(k) = A + B (1/5)^k + C (-1/5)^k.

Οι εξετάσεις αυτές είναι για την εισαγωγή στην Scuola Normale Superiore της Πίζας μαθητών που μόλις τελείωσαν το σχολείο. Η SNS είναι ένα από τα πιο απαιτητικά πανεπιστήμια της Ιταλίας και μαθητές από όλη την Ιταλία διαγωνίζονται. Οι φοιτητές είναι αυστηρά περιορισμένοι στον αριθμό (φέτος, π.χ., προκηρύχθηκαν 62 θέσεις για πρώτο έτος, θετικές και ανθρωπιστικές επιστήμες). Το ισχυρό σημείο της είναι αναμφισβήτητα τα μαθηματικά, με γνωστούς "normalisti" τους Dini και Tonelli.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2015-16

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Σεπ 07, 2016 11:12 pm

Άλλη μια απορία.

Αυτά διδάσκονται στα σχολεία, ή οι υποψήφιοι πρέπει να είναι ψαγμένοι από μόνοι τους


nickthegreek
Δημοσιεύσεις: 401
Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Τοποθεσία: Oxford

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2015-16

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickthegreek » Πέμ Σεπ 08, 2016 10:31 am

H δική μου άποψη είναι πως είναι λίγο τσιμπημένο σαν θέμα για εισαγωγικές σε πανεπιστήμιο. Αυτό που έχουμε στα χέρια μας είναι μια αλυσίδα Markov, για τις οποίες γίνεται μάθημα μετά το πρώτο έτος στα περισσότερα πανεπιστήμια που γνωρίζω.

Παρ' όλο βέβαια που όντως το θεωρώ δύσκολο σαν θέμα, είναι απόλυτα δίκαιο να τεθεί αν έχουν συζητηθεί οι σχετικές τεχνικές επίλυσης στα σχολεία από πριν. Ενδιαφέρον θα ήταν να έχουμε ένα σύνδεσμο με παλιά θέματα των εξετάσεων αυτών!

Φιλικά,
Νίκος


Νίκος Αθανασίου
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2015-16

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Σεπ 08, 2016 11:15 am

Η συγκεκριμένη άσκηση είχε δοθεί με υπόδειξη (ότι από τον αναδρομικό τύπο μπορούμε να πάμε σε εκθετικό) την οποία σκοπίμως παρέλειψα. Πάντως σίγουρα οι μαθητές δεν μπορούν να βασίζονται μόνο στις σχολικές γνώσεις (συνήθως πρόκειται για "βετεράνους" των ολυμπιάδων).


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης