Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Ανάλυση)
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Ανάλυση)
Παρακάτω μπορείτε να βρείτε τα θέματα 23-30 των φετινών εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας στα μαθηματικά, για την ενότητα ανάλυση. Τα θέματα 23-28 είναι πολλαπλής επολογής και στα 29-30 ζητείτε μόνο η τελική απάντηση.
23. Ποιά είναι η τιμή του ορίου ; [2 μόρια]
24. Αν η παραγωγίσιμη σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς συνάρτηση ικανοποιεί την σχέση για όλους τους πραγματικούς , ποιά η τιμή της ; [3 μόρια]
25. Ποια η τιμή του αθροίσματος , αν , ,
όπου γεωμετρική πρόοδος (άπειρη); [3 μόρια]
26. Ποια η τιμή του ορίου ; [3 μόρια]
27. Το κινούμενο σημείο του καρτεσιανού επιπέδου την χρονική στιγμή είναι το μέσο του τμήματος που ορίζουν τα δυο σημεία τομής της καμπύλης με την ευθεία . Πόση απόσταση έχει διανύσει το σημείο από την χρονική στιγμή έως την χρονική στιγμή ; [3 μόρια]
28. Έστω συνάρτηση με , όπου η συνάρτηση . Ποιό είναι το πλήθος των σημείων , με στα οποία η λαμβάνει ελάχιστη τιμή (τοπικά ελάχιστα); [4 μόρια]
29. Όπως φαίνεται στο σχήμα, δίνεται ένα ημικύκλιο διαμέτρου μήκους . Έστω και δυο σημεία του τόξου με , και ας είναι η τομή των τμημάτων . Θεωρούμε σημείο του τμήματος , σημείο του τμήματος και σημείο του τμήματος , ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη προς την και το τρίγωνο ισόπλευρο. Θεωρώντας ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τμήματα και το τόξο είναι και το εμβαδόν του τριγώνου είναι , ισχύει
. Βρείτε την τιμή του αθροίσματος . (Όπου και , πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.) [4 μόρια]
30. Μια αύξουσα (γνησίως) και παραγωγίσιμη στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συνάρτηση ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:
(Α) ,
(Β) Αν η αντίστροφη της , για όλους τους πραγματικούς με είναι
Αν , βρείτε την τιμή του αθροίσματος . (όπου πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.) [4 μόρια]
23. Ποιά είναι η τιμή του ορίου ; [2 μόρια]
24. Αν η παραγωγίσιμη σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς συνάρτηση ικανοποιεί την σχέση για όλους τους πραγματικούς , ποιά η τιμή της ; [3 μόρια]
25. Ποια η τιμή του αθροίσματος , αν , ,
όπου γεωμετρική πρόοδος (άπειρη); [3 μόρια]
26. Ποια η τιμή του ορίου ; [3 μόρια]
27. Το κινούμενο σημείο του καρτεσιανού επιπέδου την χρονική στιγμή είναι το μέσο του τμήματος που ορίζουν τα δυο σημεία τομής της καμπύλης με την ευθεία . Πόση απόσταση έχει διανύσει το σημείο από την χρονική στιγμή έως την χρονική στιγμή ; [3 μόρια]
28. Έστω συνάρτηση με , όπου η συνάρτηση . Ποιό είναι το πλήθος των σημείων , με στα οποία η λαμβάνει ελάχιστη τιμή (τοπικά ελάχιστα); [4 μόρια]
29. Όπως φαίνεται στο σχήμα, δίνεται ένα ημικύκλιο διαμέτρου μήκους . Έστω και δυο σημεία του τόξου με , και ας είναι η τομή των τμημάτων . Θεωρούμε σημείο του τμήματος , σημείο του τμήματος και σημείο του τμήματος , ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη προς την και το τρίγωνο ισόπλευρο. Θεωρώντας ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τμήματα και το τόξο είναι και το εμβαδόν του τριγώνου είναι , ισχύει
. Βρείτε την τιμή του αθροίσματος . (Όπου και , πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.) [4 μόρια]
30. Μια αύξουσα (γνησίως) και παραγωγίσιμη στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συνάρτηση ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:
(Α) ,
(Β) Αν η αντίστροφη της , για όλους τους πραγματικούς με είναι
Αν , βρείτε την τιμή του αθροίσματος . (όπου πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.) [4 μόρια]
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Πέμ Δεκ 02, 2021 11:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Ανάλυση)
Παραγωγίζοντας έχουμε , οπότε από τον κανόνα της άλυσίδας . Οπότε για παίρνουμε , κ.λπ.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 02, 2021 10:52 pm24. Αν η παραγωγίσιμη σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς συνάρτηση ικανοποιεί την σχέση για όλους τους πραγματικούς , ποιά η τιμή της ; [3 μόρια]
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Ανάλυση)
Aν η πρόοδος είναι η , οι υποθέσεις γράφονται και , αντίστοιχα. ΙσοδύναμαAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 02, 2021 10:52 pm
25. Ποια η τιμή του αθροίσματος , αν , ,
όπου γεωμετρική πρόοδος (άπειρη); [3 μόρια]
και , ή αλλιώς
και . Iσοδύναμα και που με διαίρεση κατά μέλη δίνει .
To το τελευταίο δίνει την απάντηση αφού ,
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Ανάλυση)
Ας ονομάσουμε το σημείο που κινείται στο μέσο της χορδής η οποία ορίζεται από την ευθεία και τα άκρα άκρα της χορδής πάνω στην , άρα , .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 02, 2021 10:52 pm27. Το κινούμενο σημείο του καρτεσιανού επιπέδου την χρονική στιγμή είναι το μέσο του τμήματος που ορίζουν τα δυο σημεία τομής της καμπύλης με την ευθεία . Πόση απόσταση έχει διανύσει το σημείο από την χρονική στιγμή έως την χρονική στιγμή ; [3 μόρια]
Αφού τα , ανήκουν στη χορδή ικανοποιούν την (1): Άρα τα είναι οι ρίζες της β'βάθμιας συνεπώς από τους τύπους Vieta παίρνουμε: Οι συντεταγμένες του μέσου δίνονται από: Άρα το γράφεται παραμετρικά ως .
Το μήκος της καμπύλης που διαγράφει από τη στιμγή ως την δίνεται από τον τύπο
Για το υπόριζο έχουμε
Τελικά από την (6) το ζητούμενο μήκος ισούται με:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης