Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2017

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 942
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2017

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Ιαν 08, 2019 9:58 pm

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2017.

Μια προσπάθεια που έκανα να μεταφράσω τα τελευταία δυο προβλήματα των κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων στα μαθηματικά του 2017. Ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη.


29. Έστω O το κέντρο βάρους της έδρας ABC και P το μέσο της ακμής AD κανονικού τετραέδρου ABCD με μήκος ακμής 4. Το Q είναι σημείο της έδρας  BCD τέτοιο, ώστε \vec{OQ} \perp \vec{OP}. Αν η μέγιστη τιμή του \left | \vec{PQ} \right | είναι ίση με \dfrac{p}{q}, να βρείτε την τιμή του p+q (p,q πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί).


30. Η συνάρτηση f(x) όρίζεται για  x >a, η συνάρτηση g(x) είναι πολυώνυμο τετάρτου βαθμού με μεγιστοβάθμειο συντελεστή ίσο με -1 και ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες (όπου a μια σταθερά):

Α) Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x με x > a, ισχύει \displaystyle \left ( x-a\right )f(x)=g(x).

Β) Για δυο διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς \alpha , \beta η συνάρτηση f(x) λαμβάνει την ίδια μέγιστη τιμή M στα σημεία x = \alpha και x=\beta. (όπου M > 0 )

Γ) Ο αριθμός των σημείων x στα οποία η συνάρτηση f(x) λαμβάνει την μέγιστη ή ελάχιστη τιμή της, είναι μεγαλύτερος από ότι, ο αριθμός των σημείων x στα οποία λαμβάνει την μέγιστη ή ελάχιστη τιμή της η συνάρτηση g(x).

Αν \beta -\alpha = 6\sqrt{3}, να βρείτε την ελάχιστη τιμή του M.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 942
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2017

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Ιαν 28, 2019 11:43 pm

έγραψε:
Τρί Ιαν 08, 2019 9:58 pm
Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2017.

30. Η συνάρτηση f(x) όρίζεται για  x >a, η συνάρτηση g(x) είναι πολυώνυμο τετάρτου βαθμού με μεγιστοβάθμειο συντελεστή ίσο με -1 και ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες (όπου a μια σταθερά):

Α) Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x με x > a, ισχύει \displaystyle \left ( x-a\right )f(x)=g(x).

Β) Για δυο διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς \alpha , \beta η συνάρτηση f(x) λαμβάνει την ίδια μέγιστη τιμή M στα σημεία x = \alpha και x=\beta. (όπου M > 0 )

Γ) Ο αριθμός των σημείων x στα οποία η συνάρτηση f(x) λαμβάνει την μέγιστη ή ελάχιστη τιμή της, είναι μεγαλύτερος από ότι, ο αριθμός των σημείων x στα οποία λαμβάνει την μέγιστη ή ελάχιστη τιμή της η συνάρτηση g(x).

Αν \beta -\alpha = 6\sqrt{3}, να βρείτε την ελάχιστη τιμή του M.

Από την συνθήκη (Α) έχουμε
\displaystyle \left ( x-a\right )f(x)=g(x) \quad \Rightarrow \quad f(x) = \dfrac{g(x)}{x-a} \quad \Rightarrow \quad f(x)-M=\dfrac{g(x)-M(x-a)}{x-a}=\dfrac{P(x)}{x-a}

Όπου P(x)=g(x)-M(x-a) πολυώνυμο τετάρτου βαθμού με μεγιστοβάθμιο συντελεστή ίσο με του g(x). Για το P(x), επειδή στα \alpha, \beta η f(x) λαμβάνει την μέγιστη τιμή της, θα έχουμε

\displaystyle 0=f(\alpha)-M= \dfrac{P(\alpha)}{\alpha-a} \Rightarrow P(\alpha)=0 \quad (1)

\displaystyle 0=f(\beta)-M= \dfrac{P(\alpha)}{\beta-a} \Rightarrow P(\beta)=0 \quad (2)

Επίσης  f^{\prime}(x)= \dfrac{P^{\prime}(x)(x-a)-P(x)}{(x-a)^2} και επειδή η  f(x) στα \alpha, \beta λαμβάνει την μέγιστη τιμή από το θεώρημα του Fermat, η παράγωγός της θα μηδενίζεται σε αυτά. Την f(x) την εξετάζουμε στο ανοιχτό διάστημα (a, +\infty ) και ως ρητή θα παρουσιάζει μέγιστο μόνο στα σημεία όπου μηδενίζεται η παράγωγος. Άρα λόγω και των σχέσεων (1),(2) θα έχουμε:

f^{\prime}(\alpha) =\dfrac{P^{\prime}(\alpha)(\alpha-a)-P(\alpha)}{(\alpha-a)^2}=0 \quad \Rightarrow \quad P^{\prime}(\alpha) =0 \quad (3)

f^{\prime}(\beta) =\dfrac{P^{\prime}(\beta)(\beta-a)-P(\beta)}{(\beta-a)^2}=0 \quad \Rightarrow \quad P^{\prime}(\beta) =0 \quad (4)

Δηλαδή τα σημεία \alpha, \beta είναι ρίζες του πολυωνύμου P(x) αλλά και της παραγώγου του. Γεγονός που συνεπάγεται ότι είναι ρίζες με πολλαπλότητα 2. Πράγματι το πολυώνυμο P(x) μπορεί να γραφεί P(x)=(x-\alpha)Q(x) για κάποιο πολυώνυμο Q(x) τρίτου βαθμού. Οπότε θα έχουμε

P^{\prime}(x)=Q^{\prime}(x)(x-\alpha)+Q(x) \Rightarrow P^{\prime}(\alpha)=Q^{\prime}(\alpha)(\alpha-\alpha)+Q(\alpha)= 0 \quad \Rightarrow Q(\alpha)=0.
Άρα το \alpha είναι ρίζα και του Q(x) και το P(x) γράφεται P(x)=(x-\alpha)^2T(x) για κάποιο πολυώνυμο δευτέρου βαθμού T(x). Ομοίως και για το \beta και εφόσον ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής του P(x) είναι ίσος με -1 το πολυώνυμο P(x) έχει την μορφή

P(x)=-(x-\alpha)^{2}(x-\beta)^{2} \quad (5)

Επομένως το πολυώνυμο g(x) έχει την μορφή g(x)=-(x-\alpha)^{2}(x-\beta)^{2}+M(x-a). Το g(x) για x τείνοντος στο συν, πλην άπειρο τείνει στο μειον άπειρο. Οπότε δεν λαμβάνει ελάχιστη τιμή παρά μόνο (πιθανόν) μέγιστη, σαν πολυωνυμική τετάρτου βαθμού, ορισμένη σε ανοιχτό διάστημα. Στα σημεία μεγίστου η παράγωγογός του θα μηδενίζεται και επειδή θέλουμε τα σημεία αυτά να είναι λιγότερα από τα σημεία ακροτάτου της f(x) θα πρέπει η παράγωγος της g(x) να μηδενίζεται το πολύ σε ένα σημείο.

Οπότε θα πρέπει η εξίσωση g^{\prime}(x)=P^{\prime}(x)+M=0, να έχει το πολύ μία ρίζα. Είναι όμως

P^{\prime}(x)= -4(x-\alpha)(x-\beta)\left ( x-\dfrac{\alpha + \beta}{2}\right ) δηλαδή το κυβικό πολυώνυμο 4(x-\alpha)(x-\beta)\left ( x-\dfrac{\alpha + \beta}{2}\right ) και η ευθεία y=M να τέμνονται το πολύ σε ένα σημείο. Το πολυώνυμο αυτό έχει τρεις διαφορετικές ρίζες άρα θα έχει δυο σημεία ακροτάτων (τοπικό μέγιστο και ελάχιστο). Για να τέμνει η ευθεία y=M το -P^{\prime}(x) το πολύ σε ένα σημείο, θα πρέπει αυτή να βρίσκεται εκτός της λωρίδας που ορίζουν οι εφαπτομένες στην -P^{\prime}(x) στα σημεία ακροτάτων (έστω x_{1} < x_{2}). Διαφορετικά από το θεώρημα Bolzano στα διαστήματα (a, x_{1}], [x_{1}, x_{2}], [x_{2}, + \infty) θα προέκυπταν και άλλες λύσεις.

Ας βρούμε λοιπόν τα σημεία αυτά που δίνονται από την εξίσωση -P^{\prime \prime}(x)=0 και επακόλουθα τις τιμές των τοπικών ακροτάτων.

-P^{\prime \prime}(x)=0 \quad \Leftrightarrow \left [4(x-\alpha)(x-\beta)\left ( x-\dfrac{\alpha + \beta}{2}\right ) \right ]^{\prime} = 0 \quad \Leftrightarrow

4\left ( 3x^2-3(\alpha +\beta) x +\dfrac{(\alpha +\beta)^2}{2} +\alpha \beta\right )=0  \quad \Rightarrow

x_{1,2} = \dfrac{3(\alpha +\beta) \pm \sqrt{9(\alpha +\beta)^2-12\left(\dfrac{(\alpha +\beta)^2}{2}+\alpha \beta\right )}}{6}=\dfrac{(\alpha +\beta)}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3} \left | \alpha -\beta\right |}{6} = \dfrac{(\alpha +\beta)}{2} \pm 3

Στα σημεία x_{1},x_{2} βρίσκουμε τις τιμές του -P^{\prime}(x). Έχουμε

-P^{\prime}(x_{1}) = 4\left (\dfrac{(\alpha +\beta)}{2} - 3-\alpha \right )\left (\dfrac{(\alpha +\beta)}{2} - 3-\beta \right )\left ( \dfrac{(\alpha +\beta)}{2} - 3-\dfrac{\alpha + \beta}{2}\right ) =

\quad = 4 \left ( \dfrac{\beta -\alpha}{2}-3\right ) \left ( \dfrac{\alpha -\beta}{2}-3\right) \left ( -3\right ) =

 \quad = 4 (3\sqrt{3}-3)(-3\sqrt{3} -3)(-3) =

= 216

Ομοίως βρίσκουμε -P^{\prime}(x_{2}) = -216. Άρα θα πρέπει \left | M \right | \geq 216 και εφόσον M>0 θα είναι M \geq 216.

Επομένως η ελάχιστη τιμή του M είναι 216.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης