Σ.Μ.Α. 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Σ.Μ.Α. 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Μαρ 06, 2014 12:09 am

1. Δίνεται γωνία \displaystyle{\widehat{xOy}} και δυο σημεία \displaystyle{A } και \displaystyle{B} σταθερά πάνω στην \displaystyle{Ox}. Από τα \displaystyle{A} και \displaystyle{ B } να αχθούν δυο παράλληλες \displaystyle{A\Delta} και \displaystyle{BE} που να τέμνουν την \displaystyle{Oy} στα σημεία \displaystyle{\Delta} και \displaystyle{E } αντίστοιχα έτσι ώστε να είναι \displaystyle{A\Delta +BE=2\lambda}, όπου \displaystyle{\lambda} δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα.


2. Δίνονται σε ευθεία \displaystyle{x'x } τέσσερα σημεία \displaystyle{A,B,\Gamma,\Delta}. Από τα \displaystyle{\color{red}A,B}} διέρχεται μεταβλητός κύκλος, ο οποίος τέμνει την μεσοκάθετο του \displaystyle{AB} στα σημεία \displaystyle{E} και \displaystyle{Z}. Οι \displaystyle{\Delta E} και \displaystyle{\Gamma Z} τέμνουν αντίστοιχα τον κύκλο στα σημεία \displaystyle{P} και \displaystyle{K}.
α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων \displaystyle{P} και \displaystyle{K}.
β) Να αποδειχθεί οτι οι γεωμετρικό τόποι των \displaystyle{P} και \displaystyle{ K} διέρχονται από δυο σταθερά σημεία \displaystyle{M} και \displaystyle{ N } αντίστοιχα της \displaystyle{x'x}.
γ) Εαν \displaystyle{I }είναι το μέσο του \displaystyle{AB } να δειχθεί οτι \displaystyle{IM\cdot I\Delta=IN\cdot I\Gamma} .
δ) Να δειχθεί οτι η \displaystyle{PK} διέρχεται από σταθερό σημείο.


3. Η κορυφή \displaystyle{ \Gamma } ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle{AB\Gamma} διαγράφει κύκλο με διάμετρο την \displaystyle{AB}. Πάνω στην προέκταση της \displaystyle{ B\Gamma} παίρνουμε τμήμα \displaystyle{\Gamma\Delta=B\Gamma}. Εαν \displaystyle{E} είναι το μέσον της \displaystyle{AB} και \displaystyle{I } η τομή των \displaystyle{ \Delta E} και \displaystyle{A\Gamma} , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου \displaystyle{I}.


4. Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} και \displaystyle{\Delta E} παράλληλη προς την \displaystyle{B\Gamma} .
α) Αν \displaystyle{\Gamma\Delta^2=\Delta E \cdot B\Gamma}, να συγκριθούν τα τρίγωνα \displaystyle{B\Gamma\Delta} και \displaystyle{ \Gamma\Delta E}. Να κατασκευασθεί το ευθύγραμμο τμήμα \displaystyle{\Delta E}. Να δειχθει οτι εαν \displaystyle{\widehat{B}<\widehat{\Gamma}} τότε το \displaystyle{\Delta } βρίσκεται μεταξύ των \displaystyle{A} και \displaystyle{B}, ενώ αν \displaystyle{\widehat{B}>\widehat{\Gamma}} τότε το \displaystyle{\Delta} πάνω στην προέκταση της \displaystyle{Α Β}.
β) Να δειχθεί οτι \displaystyle{A\Delta^2=AE\cdot A\Gamma} και \displaystyle{A\Gamma^2=A\Delta \cdot AB}.
γ) Να υπολογιστούν οι πλευρές του \displaystyle{A\Delta E} συναρτήσει των πλευρών του \displaystyle{AB\Gamma}
δ) Να δειχθεί οτι \displaystyle{(A\Delta\Gamma)^2=(A\Delta E)(AB\Gamma)}


5. Δίνεται κύκλος \displaystyle{(C) } κέντρου \displaystyle{O}, που βρίσκεται σε επίπεδο \displaystyle{(P)}, σημείο \displaystyle{\Sigma} σταθερό, που δεν βρίσκεται στο επίπεδο \displaystyle{(P) } και δυο σημεία \displaystyle{ A} και \displaystyle{M} του κύκλου \displaystyle{(C)}, εκ των οποίων το μεν \displaystyle{A} σταθερό και το δε \displaystyle{ \color{red}M} μεταβλητό. Ζητείται ο γεωμετρικός τόπος του μεταβλητού κύκλου \displaystyle{(C_1) } που διέρχεται από τα σημεία \displaystyle{\Sigma, A, {\color{red}M}}.


edit's
διόρθωση (λόγω latex) τυπογραφικoύ στο 3ο
διόρθωση στο 5ο, ευχαριστώ τον Κώστα (Δόρτσιο) που το πρόσεξε
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Παρ Μαρ 07, 2014 8:12 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9192
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σ.Μ.Α. 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 06, 2014 4:23 pm

parmenides51 έγραψε:
3. Η κορυφή \displaystyle{ \Gamma } ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle{AB\Gamma} διαγράφει κύκλο με διάμετρο την \displaystyle{AB}. Πάνω στην προέκταση της \displaystyle{ B\Gamma} παίρνουμε τμήμα \displaystyle{\Gamma\Delta=B\Gamma}. Εαν \displaystyle{E} είναι το μέσον της \displaystyle{AB} και \displaystyle{I } η τομή των \displaystyle{ \Delta E} και \displaystyle{A\Gamma} , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου \displaystyle{I}.
ΣΜΑ 1962.Γεωμετρία png.png
ΣΜΑ 1962.Γεωμετρία png.png (12.62 KiB) Προβλήθηκε 950 φορές
Φέρνω την \Gamma E και από το I την \displaystyle{{\rm I}{\rm P}||{\rm B}\Gamma }.
\displaystyle{\Gamma {\rm E} = \frac{{{\rm A}\Delta }}{2} \Leftrightarrow {\rm A}\Delta  = 2R} (μέσα πλευρών τριγώνου).

Τα τρίγωνα \displaystyle{{\rm I}\Gamma {\rm E},{\rm I}{\rm A}\Delta } είναι όμοια: \boxed{\frac{{{\rm E}{\rm I}}}{{{\rm I}\Delta }} = \frac{{{\rm E}\Gamma }}{{{\rm A}\Delta }} = \frac{1}{2}} (1)

\displaystyle{{\rm I}{\rm P}||{\rm B}\Gamma  \Leftrightarrow \frac{{{\rm E}{\rm I}}}{{{\rm I}\Delta }} = \frac{{{\rm E}{\rm P}}}{{{\rm P}{\rm B}}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{{{\rm E}{\rm P}}}{{{\rm P}{\rm B}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{{\rm E}{\rm P}}}{{{\rm E}{\rm P} + {\rm P}{\rm B}}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow }

\displaystyle{\frac{{{\rm E}{\rm P}}}{R} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow {\rm E}{\rm P} = \frac{R}{3} \Leftrightarrow } \boxed{{\rm A}{\rm P} = \frac{{4R}}{3}}

Το ευθύγραμμο τμήμα λοιπόν, AP είναι σταθερό κατά θέση και μέγεθος και φαίνεται από το I υπό γωνία ορθή. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με διάμετρο την AP.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9192
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σ.Μ.Α. 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 06, 2014 8:04 pm

parmenides51 έγραψε:
4. Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} και \displaystyle{\Delta E} παράλληλη προς την \displaystyle{B\Gamma} .
α) Αν \displaystyle{\Gamma\Delta^2=\Delta E \cdot B\Gamma}, να συγκριθούν τα τρίγωνα \displaystyle{B\Gamma\Delta} και \displaystyle{ \Gamma\Delta E}. Να κατασκευασθεί το ευθύγραμμο τμήμα \displaystyle{\Delta E}. Να δειχθει οτι εαν \displaystyle{\widehat{B}<\widehat{\Gamma}} τότε το \displaystyle{\Delta } βρίσκεται μεταξύ των \displaystyle{A} και \displaystyle{B}, ενώ αν \displaystyle{\widehat{B}>\widehat{\Gamma}} τότε το \displaystyle{\Delta} πάνω στην προέκταση της \displaystyle{Α Β}.
β) Να δειχθεί οτι \displaystyle{A\Delta^2=AE\cdot A\Gamma} και \displaystyle{A\Gamma^2=A\Delta \cdot AB}.
γ) Να υπολογιστούν οι πλευρές του \displaystyle{A\Delta E} συναρτήσει των πλευρών του \displaystyle{AB\Gamma}
δ) Να δειχθεί οτι \displaystyle{(A\Delta\Gamma)^2=(A\Delta E)(AB\Gamma)}
ΣΜΑ 1962.Γεωμετρία 4..png
ΣΜΑ 1962.Γεωμετρία 4..png (8.05 KiB) Προβλήθηκε 925 φορές
α) Λόγω παραλληλίας είναι \displaystyle{{\rm E}\widehat \Delta \Gamma  = \Gamma \widehat \Delta {\rm B} = \varphi } κι επειδή \displaystyle{\frac{{\Gamma \Delta }}{{\Delta {\rm E}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{\Gamma \Delta }}}, τα τρίγωνα \displaystyle{B\Gamma\Delta} και \displaystyle{ \Gamma\Delta E} είναι όμοια.
Άρα θα είναι και \displaystyle{\Delta \widehat \Gamma {\rm E} = \widehat {\rm B} = \omega }.

Κατασκευή του \Delta E:
Φέρνουμε από το σημείο \Gamma ημιευθεία \Gamma\Delta που τέμνει την AB ή την προέκτασή της στο \Delta, ώστε \displaystyle{{\rm A}\widehat \Gamma \Delta  = \widehat {\rm B} = \omega }. Από το \Delta φέρνουμε παράλληλη στη B\Gamma που τέμνει την A\Gamma στο E. Το \Delta E είναι το ζητούμενο τμήμα.

Διερεύνηση: Αν \displaystyle{\widehat {\rm B} < \widehat \Gamma }, τότε η \Gamma\Delta θα είναι εσωτερική ημιευθεία της γωνίας \displaystyle{\widehat \Gamma }, οπότε το σημείο \Delta θα βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία A και B.

Αν \displaystyle{\widehat {\rm B} > \widehat \Gamma }, τότε η \Gamma\Delta θα βρίσκεται έξω από τη γωνία \displaystyle{\widehat \Gamma }, οπότε το σημείο \Delta θα βρίσκεται στην προέκταση της AB.

β) Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου \Gamma\Delta E.
ΣΜΑ 1962.Γεωμετρία 4β..png
ΣΜΑ 1962.Γεωμετρία 4β..png (13.45 KiB) Προβλήθηκε 925 φορές
\displaystyle{\Delta {\rm E}||{\rm B}\Gamma  \Leftrightarrow {\rm A}\widehat \Delta {\rm E} = \widehat {\rm B} = \omega  = \Delta \widehat \Gamma {\rm E}} κι επειδή η \displaystyle{\Delta \widehat \Gamma {\rm E}} είναι εγγεγραμμένη γωνία και η \Delta E χορδή του κύκλου, η A\Delta θα είναι εφαπτομένη.

Άρα: \boxed{{\rm A}{\Delta ^2} = {\rm A}{\rm E} \cdot {\rm A}\Gamma }

Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι: \boxed{{\rm A}{\Gamma ^2} = {\rm A}\Delta  \cdot {\rm A}{\rm B}}

γ) Έστω B\Gamma=a, A\Gamma=\beta, AB=\gamma.

\displaystyle{{\rm A}{\Gamma ^2} = {\rm A}\Delta  \cdot {\rm A}{\rm B} \Leftrightarrow } \boxed{{\rm A}\Delta  = \frac{{{\beta ^2}}}{\gamma }}.

\displaystyle{{\rm A}{\Delta ^2} = {\rm A}{\rm E} \cdot {\rm A}\Gamma  \Leftrightarrow \frac{{{\beta ^4}}}{{{\gamma ^2}}} = {\rm A}{\rm E} \cdot \beta  \Leftrightarrow } \boxed{{\rm A}{\rm E} = \frac{{{\beta ^3}}}{{{\gamma ^2}}}}

\displaystyle{\frac{{{\rm A}\Delta }}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{{\Delta {\rm E}}}{{{\rm B}\Gamma }} \Leftrightarrow \Delta {\rm E} = \frac{{{\rm A}\Delta  \cdot {\rm B}\Gamma }}{{{\rm A}{\rm B}}} \Leftrightarrow } \boxed{\Delta {\rm E} = \frac{{\alpha {\beta ^2}}}{{{\gamma ^2}}}}

δ) Γνωρίζουμε ότι ο λόγος των εμβαδών ομοίων τριγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας. Άρα:

\displaystyle{\frac{{({\rm A}\Delta \Gamma )}}{{({\rm A}{\rm B}\Gamma )}} = {\left( {\frac{{{\rm A}\Delta }}{{{\rm A}\Gamma }}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{{({\rm A}\Delta \Gamma )}}{{({\rm A}{\rm B}\Gamma )}} = \frac{{{\beta ^2}}}{{{\gamma ^2}}}}

Ομοίως: \displaystyle{\frac{{({\rm A}\Delta {\rm E})}}{{({\rm A}\Delta \Gamma )}} = {\left( {\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm A}\Delta }}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{{({\rm A}\Delta {\rm E})}}{{({\rm A}\Delta \Gamma )}} = \frac{{{\beta ^2}}}{{{\gamma ^2}}}}

Επομένως: \displaystyle{\frac{{({\rm A}\Delta \Gamma )}}{{({\rm A}{\rm B}\Gamma )}} = \frac{{({\rm A}\Delta {\rm E})}}{{({\rm A}\Delta \Gamma )}} \Leftrightarrow } \boxed{{({\rm A}\Delta \Gamma )^2} = ({\rm A}\Delta {\rm E})({\rm A}{\rm B}\Gamma )}


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1913
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Σ.Μ.Α. 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Σάβ Μαρ 08, 2014 12:02 am

parmenides51 έγραψε:5.[/b][/size] Δίνεται κύκλος \displaystyle{(C) } κέντρου \displaystyle{O}, που βρίσκεται σε επίπεδο \displaystyle{(P)}, σημείο \displaystyle{\Sigma} σταθερό, που δεν βρίσκεται στο επίπεδο \displaystyle{(P) } και δυο σημεία \displaystyle{ A} και \displaystyle{M} του κύκλου \displaystyle{(C)}, εκ των οποίων το μεν \displaystyle{A} σταθερό και το δε \displaystyle{ \color{red}M} μεταβλητό. Ζητείται ο γεωμετρικός τόπος του μεταβλητού κύκλου \displaystyle{(C_1) } που διέρχεται από τα σημεία \displaystyle{\Sigma, A, {\color{red}M}}.
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Γ. τόπος κύκλου 1.PNG
Γ. τόπος κύκλου 1.PNG (177.21 KiB) Προβλήθηκε 894 φορές
Επειδή τα σημεία \displaystyle{S, A} είναι σταθερά τότε και το τμήμα \displaystyle{AS} θα είναι σταθερό και κατά συνέπεια

και το μεσοκάθετο επίπεδο \displaystyle{(W)} αυτού θα είναι σταθερό.

Η κάθετη προς το επίπεπεδο \displaystyle{(P)} στο σταθερό κέντρο \displaystyle{O} του κύκλου \displaystyle{(C)} είναι σταθερή και συνεπώς

το σημείο τομής \displaystyle{K} αυτής με το σταθερό μεσοκάθετο επίπεδο \displaystyle{(W)} θα είναι σταθερό.

Εύκολα διαπιστώνεται στη συνέχεια ότι:

\displaystyle{ KA=KM=KS=R}

Επομένως τα σημεία \displaystyle{A,M,S} ανήκουν στη σφαίρα με κέντρο το σημείο \displaystyle{O} και ακτίνα το μήκος \displaystyle{R}.

Επειδή τα σημεία αυτά ανήκουν στη σφαίρα αυτή τότε και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου

\displaystyle{AMS} είναι κύκλος που ανήκει στην επιφάνεια της σφαίρας αυτής.(Δείχνεται εύκολα με

τη χρήση του θεωρήματος των τριών καθέτων).


Άρα ο ζητούμενος γ. τόπος είναι η σφαίρα \displaystyle{(K, R)}.
Γ.τόπος Σφαίρα 2.PNG
Γ.τόπος Σφαίρα 2.PNG (318.8 KiB) Προβλήθηκε 894 φορές
Κώστας Δόρτσιος


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1322
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Σ.Μ.Α. 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Πέμ Απρ 10, 2014 11:57 pm

parmenides51 έγραψε:1. Δίνεται γωνία \displaystyle{\widehat{xOy}} και δυο σημεία \displaystyle{A } και \displaystyle{B} σταθερά πάνω στην \displaystyle{Ox}. Από τα \displaystyle{A} και \displaystyle{ B } να αχθούν δυο παράλληλες \displaystyle{A\Delta} και \displaystyle{BE} που να τέμνουν την \displaystyle{Oy} στα σημεία \displaystyle{\Delta} και \displaystyle{E } αντίστοιχα έτσι ώστε να είναι \displaystyle{A\Delta +BE=2\lambda}, όπου \displaystyle{\lambda} δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα.
ΣΜΑ(1962).PNG
ΣΜΑ(1962).PNG (13.61 KiB) Προβλήθηκε 797 φορές
Έστω \displaystyle{MN} η διάμεσος του τραπεζίου \displaystyle{ABE\Delta }. Τότε \displaystyle{MN=\frac{A\Delta +BE}{2}=\frac{2\lambda }{2}=\lambda }.
Με κέντρο το \displaystyle{M} και ακτίνα \displaystyle{\lambda } γράφουμε περιφέρεια η οποία:

α) Τέμνει την \displaystyle{Oy} σε δύο σημεία αν \displaystyle{\lambda } μεγαλύτερο από την απόσταση του \displaystyle{M} από την \displaystyle{Oy} και το πρόβλημα έχει δύο λύσεις.

β) Αν \displaystyle{\lambda } ίσο με την απόσταση του \displaystyle{M} από την \displaystyle{Oy} το πρόβλημα έχει μία λύση.

γ) Αν \displaystyle{\lambda } μικρότερο από την απόσταση του \displaystyle{M} από την \displaystyle{Oy} το πρόβλημα δεν έχει λύση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Εξετάσεις Σχολών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης