Σ.Μ.Α. 1962 - ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} (x+y)(x+y-w)=2xy+2x+y \\ (y+w)(y+w-x)=2yw+y+3w \\ (w+x)(w+x-y)=2wx+3w+2x \end{cases}}$

2. α) Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \sqrt{x^2-4x}=x-\mu}$ , όπου $\displaystyle{ \mu}$ παράμετρος.
β) Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{\sqrt{x^2-4x}<x-\mu}$ , όπου $\displaystyle{\mu}$ παράμετρος.

3. Να δειχθεί οτι ο αριθμός $\displaystyle{ A=28x^2-13x-5 }$ είναι $\displaystyle{\pi o\lambda 9}$ όταν $\displaystyle{ 7x-5 =\pi o\lambda 3}$

4. Να δειχθεί οτι η εξίσωση $\displaystyle{\sqrt{x}- \sqrt[3]{x}=1 }$ έχει μόνο μια ρίζα πραγματική
και να βρεθούν δυο διαδοχικοί ακέραιοι μεταξύ των οποίων περιέχεται αυτή.

5. Να μελετήσετε την μεταβολή της συνάρτησης $\displaystyle{y=\frac{2x^2-3x-2}{x+1}}$
και να γίνει γραφική της παράσταση για $\displaystyle{-\infty<x<+\infty}$

edit
αλλαγή αρίθμησης ερωτημάτων

Christos.N · #2

parmenides51 έγραψε:
3. Να δειχθεί οτι ο αριθμός $\displaystyle{ A=28x^2-13x-5 }$ είναι $\displaystyle{\pi o\lambda 9}$ όταν $\displaystyle{ 7x-5 =\pi o\lambda 3}$

$\displaystyle{ \begin{array}{l} 28x^2 - 13x - 5 = \left( {7x - 5} \right)\left( {4x + 1} \right) = \left( {7x - 5} \right)\left( {7x - 5 - 3x + 6} \right) = \left( {7x - 5} \right)^2 - 3(7x - 5)\left( {x - 2} \right) \Rightarrow \\ \\ 7x - 5 \equiv 0\bmod 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {7x - 5} \right)^2 \equiv 0\bmod 9 \\ - 3\left( {7x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) \equiv 0\bmod 9 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left( {7x - 5} \right)^2 - 3(7x - 5)\left( {x - 2} \right) \equiv 0\bmod 9 \Rightarrow A \equiv 0\bmod 9 \\ \end{array} }$

#3

parmenides51 έγραψε:
5. Να μελετήσετε την μεταβολή της συνάρτησης $\displaystyle{y=\frac{2x^2-3x-2}{x+1}}$
και να γίνει γραφική της παράσταση για $\displaystyle{-\infty<x<+\infty}$

Καλημέρα.

Έχω παρατηρήσει ότι εκείνη την εποχή δεν ήταν και πολύ αυστηροί στις εκφωνήσεις τους.
Εδώ σαφώς έπρεπε να δώσουν: Να γίνει η γραφική παράσταση στο πεδίου ορισμού της, αφού $\displaystyle{x \ne - 1}$ και όχι αυτό το απαράδεκτο $\displaystyle{-\infty<x<+\infty}$

Έστω $\displaystyle{y = f(x)}$ . Για κάθε $\displaystyle{x \ne - 1}$ , η συνάρτηση

γράφεται:

$\displaystyle{f(x) = 2x - 5 + \frac{3}{{x + 1}}}$

Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{( - \infty , - 1) \cup ( - 1, + \infty )}$ με παράγωγο:

$\displaystyle{f'(x) = 2 - \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1 + \frac{{\sqrt 6 }}{2} \vee x \le - 1 - \frac{{\sqrt 6 }}{2}}$

$\displaystyle{f''(x) = \frac{6}{{{{(x + 1)}^3}}} > 0 \Leftrightarrow x > - 1}$ .

Η

λοιπόν:

● είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle{\left( { - \infty , - 1 - \frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right],\left[ { - 1 + \frac{{\sqrt 6 }}{2}, + \infty } \right)}$

● είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle{\left[ { - 1 - \frac{{\sqrt 6 }}{2}, - 1} \right),\left( { - 1, - 1 + \frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right]}$

● έχει τοπικό ελάχιστο $\displaystyle{f\left( { - 1 + \frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) = 2\sqrt 6 - 7}$
και τοπικό μέγιστο $\displaystyle{f\left( { - 1 - \frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) = - 2\sqrt 6 - 7}$

● είναι κοίλη στο διάστημα $\displaystyle{( - \infty , - 1)}$ και κυρτή στο διάστημα $\displaystyle{( - 1, + \infty )}$ .

Δεν έχει ολικά ακρότατα ούτε σημεία καμπής.

Εξάλλου είναι: $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = - 7 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{1}{{x + 1}} = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = - 7 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{3}{{x + 1}} = + \infty }$

Επίσης, $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {f(x) - 2x + 5} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f(x) - 2x + 5} \right) = 0}$ .

Άρα η ευθεία $\boxed{x=-1}$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης

και η ευθεία $\boxed{y=2x-5}$ πλάγια ασύμπτωτη στο $\displaystyle{ - \infty }$ και στο $\displaystyle{ + \infty }$

Παρακάτω δίνεται η γραφική της παράσταση.

: ΣΜΑ 1962.png (13.53 KiB) Προβλήθηκε 2154 φορές

#4

parmenides51 έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 01, 2014 4:10 pm
4. Να δειχθεί οτι η εξίσωση $\displaystyle{\sqrt{x}- \sqrt[3]{x}=1 }$ έχει μόνο μια ρίζα πραγματική
και να βρεθούν δυο διαδοχικοί ακέραιοι μεταξύ των οποίων περιέχεται αυτή.

$\displaystyle \sqrt[3]{x} = \sqrt x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1.$ Θέτω $\displaystyle f(x) = \sqrt x - \sqrt[3]{x} - 1,x > 1$

Είναι, $\displaystyle f'(x) = \frac{{3\sqrt[6]{x} - 2}}{{6\sqrt[3]{{{x^2}}}}} > 0,$ για κάθε x>1,

οπότε η

έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα.

$\displaystyle \sqrt[3]{x} = \sqrt x - 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 1} x = x\sqrt x - 3x + 3\sqrt x - 1 \Leftrightarrow 4x + 1 = (x + 3)\sqrt x$

Υψώνω στο τετράγωνο, $\displaystyle {x^3} - 10{x^2} + x - 1=0$ και θέτω $\displaystyle g(x) = {x^3} - 10{x^2} + x - 1,x > 1$

Εύκολα τώρα βρίσκω g(9)g(10)<0

και με $\displaystyle {\rm{Bolzano}}$ η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα που βρίσκεται στο διάστημα (9, 10).

Σ.Μ.Α. 1962 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Σ.Μ.Α. 1962 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1962 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1962 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1962 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση