Σ.Μ.Α. 1962 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Σ.Μ.Α. 1962 - ΑΛΓΕΒΡΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Μαρ 01, 2014 4:10 pm

1. Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
 (x+y)(x+y-w)=2xy+2x+y   \\  
 (y+w)(y+w-x)=2yw+y+3w \\ 
 (w+x)(w+x-y)=2wx+3w+2x 
\end{cases}}


2. α) Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{ \sqrt{x^2-4x}=x-\mu} , όπου \displaystyle{ \mu} παράμετρος.
β) Να λυθεί η ανίσωση \displaystyle{\sqrt{x^2-4x}<x-\mu} , όπου \displaystyle{\mu} παράμετρος.


3. Να δειχθεί οτι ο αριθμός \displaystyle{ A=28x^2-13x-5 } είναι \displaystyle{\pi o\lambda 9} όταν \displaystyle{ 7x-5 =\pi o\lambda 3}


4. Να δειχθεί οτι η εξίσωση \displaystyle{\sqrt{x}- \sqrt[3]{x}=1 } έχει μόνο μια ρίζα πραγματική
και να βρεθούν δυο διαδοχικοί ακέραιοι μεταξύ των οποίων περιέχεται αυτή.


5. Να μελετήσετε την μεταβολή της συνάρτησης \displaystyle{y=\frac{2x^2-3x-2}{x+1}}
και να γίνει γραφική της παράσταση για \displaystyle{-\infty<x<+\infty}


edit
αλλαγή αρίθμησης ερωτημάτων


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1836
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Σ.Μ.Α. 1962 - ΑΛΓΕΒΡΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Μαρ 02, 2014 11:24 am

parmenides51 έγραψε:
3. Να δειχθεί οτι ο αριθμός \displaystyle{ A=28x^2-13x-5 } είναι \displaystyle{\pi o\lambda 9} όταν \displaystyle{ 7x-5 =\pi o\lambda 3}
\displaystyle{ 
\begin{array}{l} 
 28x^2  - 13x - 5 = \left( {7x - 5} \right)\left( {4x + 1} \right) = \left( {7x - 5} \right)\left( {7x - 5 - 3x + 6} \right) = \left( {7x - 5} \right)^2  - 3(7x - 5)\left( {x - 2} \right) \Rightarrow  \\  
  \\  
 7x - 5 \equiv 0\bmod 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
 \left( {7x - 5} \right)^2  \equiv 0\bmod 9 \\  
  - 3\left( {7x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) \equiv 0\bmod 9 \\  
 \end{array} \right. \Rightarrow \left( {7x - 5} \right)^2  - 3(7x - 5)\left( {x - 2} \right) \equiv 0\bmod 9 \Rightarrow A \equiv 0\bmod 9 \\  
 \end{array} 
}


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9201
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σ.Μ.Α. 1962 - ΑΛΓΕΒΡΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 02, 2014 1:44 pm

parmenides51 έγραψε:
5. Να μελετήσετε την μεταβολή της συνάρτησης \displaystyle{y=\frac{2x^2-3x-2}{x+1}}
και να γίνει γραφική της παράσταση για \displaystyle{-\infty<x<+\infty}
Καλημέρα.

Έχω παρατηρήσει ότι εκείνη την εποχή δεν ήταν και πολύ αυστηροί στις εκφωνήσεις τους.
Εδώ σαφώς έπρεπε να δώσουν: Να γίνει η γραφική παράσταση στο πεδίου ορισμού της, αφού \displaystyle{x \ne  - 1} και όχι αυτό το απαράδεκτο \displaystyle{-\infty<x<+\infty}


Έστω \displaystyle{y = f(x)}. Για κάθε \displaystyle{x \ne  - 1}, η συνάρτηση f γράφεται:

\displaystyle{f(x) = 2x - 5 + \frac{3}{{x + 1}}}

Η f είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{( - \infty , - 1) \cup ( - 1, + \infty )} με παράγωγο:

\displaystyle{f'(x) = 2 - \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 1 + \frac{{\sqrt 6 }}{2} \vee x \le  - 1 - \frac{{\sqrt 6 }}{2}}

\displaystyle{f''(x) = \frac{6}{{{{(x + 1)}^3}}} > 0 \Leftrightarrow x >  - 1}.

Η f λοιπόν:

● είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα \displaystyle{\left( { - \infty , - 1 - \frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right],\left[ { - 1 + \frac{{\sqrt 6 }}{2}, + \infty } \right)}

● είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα \displaystyle{\left[ { - 1 - \frac{{\sqrt 6 }}{2}, - 1} \right),\left( { - 1, - 1 + \frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right]}

● έχει τοπικό ελάχιστο \displaystyle{f\left( { - 1 + \frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) = 2\sqrt 6  - 7}
και τοπικό μέγιστο \displaystyle{f\left( { - 1 - \frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) =  - 2\sqrt 6  - 7}

● είναι κοίλη στο διάστημα \displaystyle{( - \infty , - 1)} και κυρτή στο διάστημα \displaystyle{( - 1, + \infty )}.

Δεν έχει ολικά ακρότατα ούτε σημεία καμπής.

Εξάλλου είναι: \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) =  - 7 + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{1}{{x + 1}} =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x) =  - 7 + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{3}{{x + 1}} =  + \infty }

Επίσης, \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {f(x) - 2x + 5} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f(x) - 2x + 5} \right) = 0}.

Άρα η ευθεία \boxed{x=-1} είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης

και η ευθεία \boxed{y=2x-5} πλάγια ασύμπτωτη στο \displaystyle{ - \infty } και στο \displaystyle{ + \infty }

Παρακάτω δίνεται η γραφική της παράσταση.

ΣΜΑ 1962.png
ΣΜΑ 1962.png (13.53 KiB) Προβλήθηκε 702 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9201
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σ.Μ.Α. 1962 - ΑΛΓΕΒΡΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 22, 2020 11:36 am

parmenides51 έγραψε:
Σάβ Μαρ 01, 2014 4:10 pm
4. Να δειχθεί οτι η εξίσωση \displaystyle{\sqrt{x}- \sqrt[3]{x}=1 } έχει μόνο μια ρίζα πραγματική
και να βρεθούν δυο διαδοχικοί ακέραιοι μεταξύ των οποίων περιέχεται αυτή.


\displaystyle \sqrt[3]{x} = \sqrt x  - 1 > 0 \Rightarrow x > 1. Θέτω \displaystyle f(x) = \sqrt x  - \sqrt[3]{x} - 1,x > 1

Είναι, \displaystyle f'(x) = \frac{{3\sqrt[6]{x} - 2}}{{6\sqrt[3]{{{x^2}}}}} > 0, για κάθε x>1, οπότε η f έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα.

\displaystyle \sqrt[3]{x} = \sqrt x  - 1\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x > 1} x = x\sqrt x  - 3x + 3\sqrt x  - 1 \Leftrightarrow 4x + 1 = (x + 3)\sqrt x

Υψώνω στο τετράγωνο, \displaystyle {x^3} - 10{x^2} + x - 1=0 και θέτω \displaystyle g(x) = {x^3} - 10{x^2} + x - 1,x > 1

Εύκολα τώρα βρίσκω g(9)g(10)<0 και με \displaystyle {\rm{Bolzano}} η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα που βρίσκεται στο διάστημα (9, 10).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Εξετάσεις Σχολών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες