ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} \displaystyle \frac{3xy}{2x-y}=3 \\ \displaystyle \frac{10xy}{4x+3y}=2 \end{cases}}$

2. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^2-5x+\lambda+3=0}$ με ρίζες $\displaystyle{ p_1,p_2}$ .
Να προσδιορισθεί ο $\displaystyle{\lambda}$ ώστε να είναι $\displaystyle{3p_1-2p_2=10}$ .

3. Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{x^2-\alpha x+\beta}$ με ρίζες $\displaystyle{p_1,p_2}$ .
Να σχηματισθεί δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες $\displaystyle{x_1,x_2}$ όταν είναι $\displaystyle{x_1=p_1+4p_2 , x_2=p_2+4p_1}$

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} \displaystyle \frac{3xy}{2x-y}=3 \\ \displaystyle \frac{10xy}{4x+3y}=2 \end{cases}}$

Με $xy \ne 0$ , $y \ne 2x$ και $y \ne - \dfrac{4}{3}x$ οι εξισώσεις ισοδύναμα γίνονται:

$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{xy}}{{2x - y}} = 1\\ \dfrac{{5xy}}{{4x + 3y}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2x}}{{xy}} - \dfrac{y}{{xy}} = 1\\ \dfrac{{4x}}{{5xy}} + \dfrac{{3y}}{{5xy}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{2}{y} - \dfrac{1}{x} = 1\\ \dfrac{4}{{5y}} + \dfrac{3}{{5x}} = 1 \end{array} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{ \cdot 3} \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{6}{y} - \dfrac{3}{x} = 3\;\left( 1 \right)\\ \dfrac{4}{y} + \dfrac{3}{x} = 5\;\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Προσθέτοντας τις $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ παίρνουμε:

$\dfrac{{10}}{y} = 8 \Leftrightarrow y = \dfrac{5}{4}\;\left( 3 \right)$

$\left( 2 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} \dfrac{{16}}{5} + \dfrac{3}{x} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{3}{x} = \dfrac{9}{5} \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{3}$

Άρα $\left( {x,y} \right) = \left( {\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{4}} \right)$ τιμές που επαληθεύουν το σύστημα.

#3

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} \displaystyle \frac{3xy}{2x-y}=3 \\ \displaystyle \frac{10xy}{4x+3y}=2 \end{cases}}$

Κατ' αρχήν κανένας από τους x,y

δεν είναι

, γιατί δεν επαληθεύει τις εξισώσεις του συστήματος.
Για $\displaystyle{2x - y \ne 0,4x + 3y \ne 0}$ το σύστημα γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} xy = 2x - y\\ \\ xy = \frac{{4x + 3y}}{5} \end{array} \right.}$

Άρα: $\displaystyle{\frac{{4x + 3y}}{5} = 2x - y \Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x}$

Αντικαθιστώντας αυτή την τιμή στην πρώτη εξίσωση έχουμε:

$\displaystyle{\frac{3}{4}{x^2} = 2x - \frac{3}{4}x \Leftrightarrow 3{x^2} = 5x\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \ne 0} }$ $\boxed{x = \frac{5}{3}}$ , απ' όπου βρίσκουμε $\boxed{y = \frac{5}{4}}$

hlkampel · #4

parmenides51 έγραψε: 2. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^2-5x+\lambda+3=0}$ με ρίζες $\displaystyle{ p_1,p_2}$ .
Να προσδιορισθεί ο $\displaystyle{\lambda}$ ώστε να είναι $\displaystyle{3p_1-2p_2=10}$ .

Από

ισχύει: ${\rho _1} + {\rho _2} = 5 \Leftrightarrow {\rho _2} = 5 - {\rho _1}\;\left( 1 \right)$

$3{\rho _1} - 2{\rho _2} = 10\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} 3{\rho _1} - 10 + 2{\rho _1} = 10 \Leftrightarrow {\rho _1} = 4\;\left( 2 \right)$

$\left( 1 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} {\rho _2} = 1$

Όμως ${\rho _1} \cdot {\rho _2} = \lambda + 3 \Leftrightarrow \lambda + 3 = 4 \Leftrightarrow \lambda = 1$

hlkampel · #5

parmenides51 έγραψε: 3. Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{x^2-\alpha x+\beta}$ με ρίζες $\displaystyle{p_1,p_2}$ .
Να σχηματισθεί δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες $\displaystyle{x_1,x_2}$ όταν είναι $\displaystyle{x_1=p_1+4p_2 , x_2=p_2+4p_1}$

Από

είναι ${\rho _1} + {\rho _2} = \alpha$ και ${\rho _1} \cdot {\rho _2} = \beta$

$S = {x_1} + {x_2} = 5{\rho _1} + 5{\rho _2} = 5\left( {{\rho _1} + {\rho _2}} \right) \Leftrightarrow S = 5\alpha$

$P = {x_1} \cdot {x_2} = \left( {{\rho _1} + 4{\rho _2}} \right)\left( {{\rho _2} + 4{\rho _1}} \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle{P = {\rho _1}{\rho _2} + 4\rho _1^2 + 4\rho _2^2 + 16{\rho _1}{\rho _2} \Leftrightarrow }$

$P = 17{\rho _1}{\rho _2} + 4\left[ {{{\left( {{\rho _1} + {\rho _2}} \right)}^2} - 2{\rho _1}{\rho _2}} \right] \Leftrightarrow$

$P = 9{\rho _1}{\rho _2} + 4{\left( {{\rho _1} + {\rho _2}} \right)^2} \Leftrightarrow$

$P = 9\beta + 4{\alpha ^2}$

Άρα η ζητούμενη εξίσωση είναι η:

${x^2} - Sx + P = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 5\alpha x + 9\beta + 4{\alpha ^2} = 0$

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση