ΕΜΠ 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Ι. Αργυράκος

1. Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ όπου $\displaystyle{\widehat{\Gamma}>\widehat{B}}$ . Έστω $\displaystyle{(O,R) }$ ο περιγεγραμμένος και $\displaystyle{(O',p ) }$ ο εγγεγραμμένος κύκλος αντίστοιχα στο τρίγωνο αυτό. Να δειχθεί οτι
α) αν η $\displaystyle{OO'}$ είναι παράλληλη προς την $\displaystyle{B\Gamma}$ τότε $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu B+\sigma\upsilon\nu \Gamma=1}$
β) αν τα σημεία $\displaystyle{O,O' }$ βρίσκονται εκατέρωθεν της $\displaystyle{B\Gamma}$ και ισαπέχουν από αυτήν, να δειχθεί οτι $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu B+\sigma\upsilon\nu \Gamma=1+\frac{2p}{R}}$

2. Έστω δυο κύκλοι $\displaystyle{(O_1,R_1) }$ και $\displaystyle{(O_2,R_2) }$ διερχόμενοι από δυο σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ κι εφαπτόμενοι σε ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon) }$ , την οποία τέμνει η $\displaystyle{AB}$ στο σημείο $\displaystyle{I}$ .
α) Να δειχθεί οτι οι ακτίνες $\displaystyle{R_1}$ και $\displaystyle{R_2}$ των κύκλων αυτών δίνονται από τις σχέσεις $\displaystyle{R_1=\frac{\alpha+\beta-2\sqrt{\alpha\beta}\sigma\upsilon\nu x}{2\eta\mu x},R_2=\frac{\alpha+\beta+2\sqrt{\alpha\beta}\sigma\upsilon\nu x}{2\eta\mu x}}$
όπου $\displaystyle{(IA)=\alpha,(IB)=\beta}$ και $\displaystyle{x }$ είναι η οξεία γωνία την οποία σχηματίζει η $\displaystyle{AB }$ με την $\displaystyle{ (\varepsilon)}$
β) Να βρεθούν τα $\displaystyle{\alpha,\beta,x }$ εαν γνωρίζουμε τις ακτίνες $\displaystyle{R_1}$ και $\displaystyle{R_2}$ και οτι οι κύκλοι τέμνονται υπό δοθείσα γωνία $\displaystyle{ \omega}$ .

3. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\frac{\eta\mu (x+\alpha)}{1+\sigma\upsilon(x+\alpha)}+ \frac{\eta\mu x}{1+\sigma\upsilon x}+ \frac{\eta\mu (x-\alpha)}{1+\sigma\upsilon(x-\alpha)}=0 }$ .
Εφαρμογή για $\displaystyle{\alpha=\frac{\pi}{12}}$

Υ.Γ. Όλα τα θέματα έπεσαν (σαν τα 3 από τα 4) και στις εξετάσεις Αλλοδαπών του ΕΜΠ (σχετικά)..

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

parmenides51 έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 26, 2014 10:26 pm
Εξεταστής: Ι. Αργυράκος

1. Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ όπου $\displaystyle{\widehat{\Gamma}>\widehat{B}}$ . Έστω $\displaystyle{(O,R) }$ ο περιγεγραμμένος και $\displaystyle{(O',p ) }$ ο εγγεγραμμένος κύκλος αντίστοιχα στο τρίγωνο αυτό. Να δειχθεί οτι
α) αν η $\displaystyle{OO'}$ είναι παράλληλη προς την $\displaystyle{B\Gamma}$ τότε $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu B+\sigma\upsilon\nu \Gamma=1}$
β) αν τα σημεία $\displaystyle{O,O' }$ βρίσκονται εκατέρωθεν της $\displaystyle{B\Gamma}$ και ισαπέχουν από αυτήν, να δειχθεί οτι $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu B+\sigma\upsilon\nu \Gamma=1+\frac{2p}{R}}$

To ίδιο ακριβώς θέμα έπεσε την ίδια χρονιά στην Τριγωνομετρία των Αγρονόμων Τοπογράφων του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 99#p198032
Ήταν και το τρίτο θέμα του ΠΜΔΜ 1960-1961.
Σύμπτωση ή σκοπιμότητα ; Δεν θα το μάθουμε...
Έχουν περάσει τόσα πολλά χρόνια και οι πρωταγωνιστές του 1963 έφυγαν από τη ζωή...

ΕΜΠ 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

ΕΜΠ 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Re: ΕΜΠ 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Μέλη σε σύνδεση