ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Ιαν 19, 2014 9:45 pm

Εξεταστές: Φαιδρός - Σφήκας


1. Εαν είναι \displaystyle{\varepsilon\phi x=\frac{2\beta}{\alpha-\gamma}}, να υπολογισθούν τα \displaystyle{y,z} που ορίζονται από τις σχέσεις
\displaystyle{y=\alpha\eta\mu^2x+2\sigma\upsilon\nu \alpha\sigma\upsilon\nu \beta+\gamma \sigma\upsilon\nu^2x}
\displaystyle{z=\alpha\sigma\upsilon\nu^2x-2\sigma\upsilon\nu \alpha\sigma\upsilon\nu \beta+\gamma\eta\mu^2x}


2. Να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του τόξου \displaystyle{\frac{\pi}{12}} και να αποδειχθεί η σχέση \displaystyle{\varepsilon\phi^2\frac{\pi}{12} +\varepsilon\phi^2\frac{5\pi}{12}=14 }.


3. Εαν \displaystyle{(O,R)} και \displaystyle{(O',R')} είναι ο περιγεγραμμένος και εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου \displaystyle{ AB\Gamma} αντίστοιχα, να αποδειχθεί οτι
α) εαν η ευθεία που συνδέει τα κέντρα \displaystyle{O,O'} είναι παράλληλη προς την \displaystyle{B\Gamma} τότε \displaystyle{ \sigma\upsilon\nu B+\sigma\upsilon\nu\Gamma=1}
β) εαν τα \displaystyle{O,O'} ισαπέχουν από την \displaystyle{B\Gamma} και βρίσκονται εκατέρωθεν της, τότε θα είναι \displaystyle{ \sigma\upsilon\nu B+\sigma\upsilon\nu\Gamma=1+\frac{2R'}{R}}


4. Εαν οι \displaystyle{\frac{\pi}{7},\frac{2\pi}{7},\frac{4\pi}{7}} αποτελούν γωνίες τριγώνου, να αποδειχθεί οτι \displaystyle{\sigma\upsilon\nu \frac{\pi}{7}\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi}{7}\sigma\upsilon\nu\frac{4\pi}{7} =-\frac{1}{8}}


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 934
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Ιαν 19, 2014 10:05 pm

parmenides51 έγραψε:2. Να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του τόξου \displaystyle{\frac{\pi}{12}} και να αποδειχθεί η σχέση \displaystyle{\varepsilon\phi^2\frac{\pi}{12} +\varepsilon\phi^2\frac{5\pi}{12}=14 }.
\displaystyle\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{6} = 2\sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{\pi }{{12}} - 1 \Leftrightarrow \sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{\pi }{{12}} = \frac{{\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{6} + 1}}{2} \Leftrightarrow

\displaystyle\sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{\pi }{{12}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1}}{2} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{{12}} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2}

\displaystyle\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{6} = 1 - 2\eta {\mu ^2}\frac{\pi }{{12}} \Leftrightarrow \eta {\mu ^2}\frac{\pi }{{12}} = \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{6}}}{2} \Leftrightarrow

\displaystyle\eta {\mu ^2}\frac{\pi }{{12}} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{2} \Leftrightarrow \eta \mu \frac{\pi }{{12}} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}

\displaystyle{\varepsilon \varphi \frac{\pi }{{12}} = \frac{{\eta \mu \frac{\pi }{{12}}}}{{\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{{12}}}} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}}

\displaystyle{\sigma \varphi \frac{\pi }{{12}} = \frac{{\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{{12}}}}{{\eta \mu \frac{\pi }{{12}}}} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}}

Είναι \displaystyle\frac{\pi }{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \frac{{5\pi }}{{12}} = \sigma \varphi \frac{\pi }{{12}} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}

\displaystyle\varepsilon {\varphi ^2}\frac{\pi }{{12}} + \varepsilon {\varphi ^2}\frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }} + \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }} = \frac{{4 - 2\sqrt 3  + 3 + 4 + 2\sqrt 3  + 3}}{{4 - 3}} = 14


Ηλίας Καμπελής
gauss1988
Δημοσιεύσεις: 178
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 24, 2011 5:17 pm

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gauss1988 » Δευ Ιαν 20, 2014 9:36 am

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Φαιδρός - Σφήκας


1. Εαν είναι \displaystyle{\varepsilon\phi x=\frac{2\beta}{\alpha-\gamma}}, να υπολογισθούν τα \displaystyle{y,z} που ορίζονται από τις σχέσεις
\displaystyle{y=\alpha\eta\mu^2x+2\sigma\upsilon\nu \alpha\sigma\upsilon\nu \beta+\gamma \sigma\upsilon\nu^2x}
\displaystyle{z=\alpha\sigma\upsilon\nu^2x-2\sigma\upsilon\nu \alpha\sigma\upsilon\nu \beta+\gamma\eta\mu^2x}
Προσθέτουμε καtά μέλη: y+z=a+\gamma \rightarrow (1)
Aφαιρούμε κατά μέλη και γνωρίζοντας ότι \sigma\upsilon\n ^2 x=\frac{1}{1+\epsilon\phi ^2 x} , \eta\mu ^2 x=\frac{\epsilon\phi ^2 x}{1+\epsilon\phi ^2 x} , βρίσκουμε

y-z=4\sigma\upsilon\nu a\sigma\upsilon\nu\beta -(a-\gamma)\frac{(a-\gamma)^2 -4\beta ^2}{(a-\gamma)^2 +4\beta ^2} \rightarrow (2)

Aπό (1),(2) με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη, θα βρούμε τα y,z


Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1723
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Ιαν 20, 2014 9:53 am

parmenides51 έγραψε: 4. Εαν οι \displaystyle{\frac{\pi}{7},\frac{2\pi}{7},\frac{4\pi}{7}} αποτελούν γωνίες τριγώνου, να αποδειχθεί οτι \displaystyle{\sigma\upsilon\nu \frac{\pi}{7}\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi}{7}\sigma\upsilon\nu\frac{4\pi}{7} =-\frac{1}{8}}

Είναι \displaystyle\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{7}\sigma \upsilon \nu \frac{2\pi }{7}\sigma \upsilon \nu \frac{4\pi }{7}=\frac{\eta \mu \frac{2\pi }{7}}{2\eta \mu \frac{\pi }{7}}\frac{\eta \mu \frac{4\pi }{7}}{2\eta \mu \frac{2\pi }{7}}\frac{\eta \mu \frac{8\pi }{7}}{2\eta \mu \frac{4\pi }{7}}=\frac{\eta \mu \frac{8\pi }{7}}{8\eta \mu \frac{\pi }{7}}=\frac{\eta \mu (\pi +\frac{\pi }{7})}{8\eta \mu \frac{\pi }{7}}=\frac{-\eta \mu \frac{\pi }{7}}{8\eta \mu \frac{\pi }{7}}=-\frac{1}{8}

όπου χρησιμοποιήθηκε η σχέση \sigma \upsilon \nu a=\frac{\eta \mu 2\alpha }{2\eta \mu \alpha }, όπου και \eta \mu \alpha \neq 0,\alpha =\frac{\pi }{7},\frac{2\pi }{7},\frac{4\pi }{7}, αφού αυτές ως γωνίες τριγώνου δεν μπορεί να είναι ούτε 0^{o}, ούτε 180^{o}


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 863
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Πέμ Ιούλ 09, 2015 9:06 am

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Φαιδρός - Σφήκας

3. Εαν \displaystyle{(O,R)} και \displaystyle{(O',R')} είναι ο περιγεγραμμένος και εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου \displaystyle{ AB\Gamma} αντίστοιχα, να αποδειχθεί οτι
α) εαν η ευθεία που συνδέει τα κέντρα \displaystyle{O,O'} είναι παράλληλη προς την \displaystyle{B\Gamma} τότε \displaystyle{ \sigma\upsilon\nu B+\sigma\upsilon\nu\Gamma=1}
β) εαν τα \displaystyle{O,O'} ισαπέχουν από την \displaystyle{B\Gamma} και βρίσκονται εκατέρωθεν της, τότε θα είναι \displaystyle{ \sigma\upsilon\nu B+\sigma\upsilon\nu\Gamma=1+\frac{2R'}{R}}
Η λύση στην παρακάτω δημοσίευση.Πρόκειται για το τρίτο θέμα. Εντύπωση κάνει το γεγονός ότι οι θεματοδέτες πήραν αυτούσιο θέμα από το διαγωνισμό της ΕΜΕ για να το βάλουν σε εισαγωγικές εξετάσεις....
viewtopic.php?f=58&t=38373


Απάντηση

Επιστροφή σε “Εξετάσεις Σχολών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης