ΕΜΠ 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΕΜΠ 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Δεκ 17, 2013 4:30 am

Εξεταστής Φ.Βασιλείου


1. α) Θεωρούμε πολυώνυμο \displaystyle{f(x,y)} δυο αγνώστων \displaystyle{x,y} με συντελεστές ακεραίους αριθμούς, τέτοιο ώστε η εξίσωση \displaystyle{f(x,y)=0} να επαληθεύεται από το ζεύγος \displaystyle{ \xi_1=-\sqrt3, \xi_2=\sqrt3} των ριζών της εξίσωσης \displaystyle{g(x)=x^2-3=0}. Να δείξετε οτι το πολυώνυμο \displaystyle{f(x,-x)} του ενός αγνώστου \displaystyle{x}, το οποίο προκύπτει από το \displaystyle{f(x,y)} με την αντικατάσταση του \displaystyle{y} από το \displaystyle{-x}, διαιρείται από το \displaystyle{g(x)}, οτι δηλαδή στην σχέση \displaystyle{ f(x,-x)=g(x)\pi(x)+\upsilon (x)}, όπου \displaystyle{ \pi(x)  } είναι το πηλίκο και \displaystyle{\upsilon (x)} το υπόλοιπο της διαίρεσης του \displaystyle{ f(x,-x)} με το \displaystyle{g(x)}, το \displaystyle{\upsilon (x) } είναι ταυτοτικά ίσο με \displaystyle{0}. Να συμπεράνετε τότε από αυτό, οτι το ζεύγος \displaystyle{\xi_2,\xi_1} επαληθεύει την εξίσωση \displaystyle{ f(x,y)=0}.
β) Με ποιο διώνυμο του x αν αντικατασταθεί το \displaystyle{y} στο \displaystyle{f(x,y)} ισχύει γενικώς η πρόταση για \displaystyle{g(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma}, όταν οι συντελεστές \displaystyle{\alpha,\beta,\gamma} είναι ακέραιοι, το \displaystyle{\beta^2-4\alpha \gamma} είναι θετικό και δεν είναι τετράγωνο ακεραίου.
γ) Αντίθετα για \displaystyle{g(x)=x^2-4}, να δείξετε με ένα παράδειγμα, παίρνοντας κατάλληλο \displaystyle{f(x,y)} ότι στην παραπάνω σχέση διαίρεσης το \displaystyle{ \upsilon (x)} μπορεί να μην είναι ταυτοτικά \displaystyle{0}.


2. α) Να δείξετε οτι εαν οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{x,y,z} δεν είναι και οι τρεις ίσοι μεταξύ τους και τα υπόρριζα τους δεύτερου μέλους της παράστασης \displaystyle{ w=\sqrt{1-4xy}+\sqrt{1-4yz}} είναι μεγαλύτερα ή ίσα του μηδενός, τότε από την σχέση \displaystyle{w\ge 4y} έπεται οτι τουλάχιστον ένας από τους \displaystyle{x,y,z} είναι μικρότερος του \displaystyle{\frac{1}{\sqrt8}}.
β) Τι ονομάζεται βαθμός πολυωνύμου του \displaystyle{x}; Ποια πολυώνυμα είναι μηδενικού βαθμού; Μιλάμε για βαθμό για τα ταυτοτικά ίσα με το \displaystyle{0} πολυώνυμα και γιατί;


3. α) Πως η επίλυση μια διοφαντικής εξίσωσης με τρεις αγνώστους μπορεί να αναχθεί στην επίλυση περισσοτέρων διοφαντικών εξισώσεων με δυο αγνώστους;
β) Να βρείτε σαν εφαρμογή όλες τις περιπτώσεις κατά τις οποίες μπορεί κάποιος να αγοράσει με ποσό ακριβώς \displaystyle{600} δρχ. ταινίες μαγνητοφώνου, από τρια τέτοια είδη, αξίας κάθε ταινίας του πρώτου είδους \displaystyle{60}, του δευτέρου \displaystyle{72} και του τρίτου \displaystyle{90} δραχμών.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1276
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: ΕΜΠ 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Οκτ 05, 2016 10:47 pm

parmenides51 έγραψε:2. α) Να δείξετε οτι εαν οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{x,y,z} δεν είναι και οι τρεις ίσοι μεταξύ τους και τα υπόρριζα τους δεύτερου μέλους της παράστασης \displaystyle{ w=\sqrt{1-4xy}+\sqrt{1-4yz}} είναι μεγαλύτερα ή ίσα του μηδενός, τότε από την σχέση \displaystyle{w\ge 4y} έπεται οτι τουλάχιστον ένας από τους \displaystyle{x,y,z} είναι μικρότερος του \displaystyle{\frac{1}{\sqrt8}}.
Καλησπέρα!

Αν υποθέταμε ότι x,y,z > \dfrac{1}{\sqrt{8}}, τότε, θα είχαμε xy>\dfrac{1}{8},yz>\dfrac{1}{8}

\dfrac{4}{\sqrt{8}}<4y \leq \sqrt{1-4xy}+\sqrt{1-4yz} < \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\dfrac{4}{\sqrt{8}}, που είναι προφανώς αδύνατο.

Συνεπώς, ένας τουλάχιστον εκ των x,y,z είναι \leq \dfrac{1}{8}.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Απάντηση

Επιστροφή σε “Εξετάσεις Σχολών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης