ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Πάνω στην διάμετρο $\displaystyle{ EZ}$ δοθέντος κύκλου $\displaystyle{O}$ λαμβάνουμε δυο ίσα τμήματα $\displaystyle{OM,ON}$ . Έστω $\displaystyle{ \Gamma}$ τυχαίο σημείο του κύκλου. Φέρνουμε τις χορδές $\displaystyle{\Gamma NA,\Gamma MB}$ και την διάμετρο $\displaystyle{\Gamma O T}$ . Επίσης φέρνουμε την $\displaystyle{AB}$ , η οποία τέμνει την διάμετρο $\displaystyle{EZ}$ , προεκτεινόμενη στο σημείο $\displaystyle{\Theta}$ . Εαν φέρουμε την $\displaystyle{\Theta T}$ , να αποδειχθεί οτι αυτή θα είναι εφαπτομένη του κύκλου $\displaystyle{O}$ .

2. Από σημείο $\displaystyle{O}$ που βρίσκεται στο εσωτερικό γωνίας, να αχθεί ευθύγραμμο με άκρα πάνω στις πλευρές της γωνίας, που τις τέμνει στα σημεία $\displaystyle{ \Gamma,\Delta}$ έτσι ώστε $\displaystyle{(O\Gamma)(O\Delta)=\kappa}$ (όπου $\displaystyle{ \kappa}$ δοθέν ευθύγραμμο τμήμα)

3. Τα σημεία των οποίων οι αποστάσεις από δυο δοθέντα σημεία έχουν λόγο δοθέντα αριθμό βρίσκονται σε κύκλο.

4. Εαν ένα ευθύγραμμο τμήμα είναι διαφορά δυο άλλων ευθυγράμμων τμημάτων, το τετράγωνο του θα αποτελείται από τα τετράγωνα των δυο άλλων, αφού αφαιρεθούν από αυτά δυο ορθογώνια με βάση το ένα από τα δυο αυτά τμήματα και ύψος το άλλο από τα δυο αυτά τμήματα .

KARKAR · #2

parmenides51 έγραψε:1. Πάνω στην διάμετρο $\displaystyle{ EZ}$ δοθέντος κύκλου $\displaystyle{O}$ λαμβάνουμε δυο ίσα τμήματα $\displaystyle{OM,ON}$ .

Έστω $\displaystyle{ \Gamma}$ τυχαίο σημείο του κύκλου. Φέρνουμε τις χορδές $\displaystyle{\Gamma NA,\Gamma MB}$ και την διάμετρο $\displaystyle{\Gamma O T}$ .

Επίσης φέρνουμε την $\displaystyle{AB}$ , η οποία τέμνει την διάμετρο $\displaystyle{EZ}$ , προεκτεινόμενη στο σημείο $\displaystyle{\Theta}$ .

Εαν φέρουμε την $\displaystyle{\Theta T}$ , να αποδειχθεί οτι αυτή θα είναι εφαπτομένη του κύκλου $\displaystyle{O}$ .

Έξοχη άσκηση , έχει πάντως συζητηθεί εδώ ( Λύση Λουρίδα )

#3

parmenides51 έγραψε: 4. Εαν ένα ευθύγραμμο τμήμα είναι διαφορά δυο άλλων ευθυγράμμων τμημάτων, το τετράγωνο του θα αποτελείται από τα τετράγωνα των δυο άλλων, αφού αφαιρεθούν από αυτά δυο ορθογώνια με βάση το ένα από τα δυο αυτά τμήματα και ύψος το άλλο από τα δυο αυτά τμήματα .

Καλησπέρα.

Δεν μπορώ να πω ότι ήταν και πολύ σαφείς στις εκφωνήσεις τους εκείνη την εποχή.

Αν κατάλαβα καλά, ζητούν να αποδείξουμε την ταυτότητα $\displaystyle{{(\alpha - \beta )^2} = {\alpha ^2} - 2\alpha \beta + {\beta ^2}}$

: Δοκίμων 1931.png (7.14 KiB) Προβλήθηκε 2614 φορές

Έστω ένα ευθύγραμμο τμήματα k=a-b

.
Κατασκευάζω τετράγωνο ABCD

με πλευρά

και πάνω στην

παίρνω σημείο

, ώστε

, οπότε θα είναι EB=k

.
Παίρνω ακόμα πάνω στην

σημείο

, ώστε

και από τα σημεία E, Q

φέρνω παράλληλες στις πλευρές του τετραγώνου που τέμνουν τις απέναντι πλευρές στα σημεία H, P

και μεταξύ τους τέμνονται στο

.

Είναι (EBPS)=(ABCD)-(QSHD)-(AESQ)-(SPCH)

$\displaystyle{ \Leftrightarrow {k^2} = {a^2} - {b^2} - 2b(a - b) = {a^2} + {b^2} - 2ab}$
που είναι και το ζητούμενο.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

parmenides51 έγραψε: 3. Τα σημεία των οποίων οι αποστάσεις από δυο δοθέντα σημεία έχουν λόγο δοθέντα αριθμό βρίσκονται σε κύκλο.

Κλασσικό θέμα θεωρίας...
Πρόκειται για τον Απολλώνειο κύκλο.

ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση