ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
1. Σε τετράεδρο η βάση είναι ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς .
Η είναι κάθετος στην έδρα και η είναι κάθετος στην .
Να βρεθούν τα εμβαδά των σφαιρικών ζωνών των εκατέρωθεν της έδρας
που ορίζονται από την περιγεγραμμένη γύρω από το τετράεδρο σφαίρα.
2. Τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα και τέμνονται στο .
Από το σημείο φέρνουμε τις αντίστοιχα κάθετες στις .
Να δειχτεί οτι οι ευθείες και διχοτομούνται.
3. Τι ονομάζεται σφαιρική ζώνη; Να βρεθεί ο τύπος ο οποίος δίνει το εμβαδόν της.
4. Σε ισοσκελές τρίγωνο ( ) παίρνουμε πάνω στις πλευρές και τα σημεία
και αντίστοιχα τέτοια ώστε να είναι . Εαν είναι το μέσον της
και η τομή των και , να δειχτεί οτι .
Η είναι κάθετος στην έδρα και η είναι κάθετος στην .
Να βρεθούν τα εμβαδά των σφαιρικών ζωνών των εκατέρωθεν της έδρας
που ορίζονται από την περιγεγραμμένη γύρω από το τετράεδρο σφαίρα.
2. Τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα και τέμνονται στο .
Από το σημείο φέρνουμε τις αντίστοιχα κάθετες στις .
Να δειχτεί οτι οι ευθείες και διχοτομούνται.
3. Τι ονομάζεται σφαιρική ζώνη; Να βρεθεί ο τύπος ο οποίος δίνει το εμβαδόν της.
4. Σε ισοσκελές τρίγωνο ( ) παίρνουμε πάνω στις πλευρές και τα σημεία
και αντίστοιχα τέτοια ώστε να είναι . Εαν είναι το μέσον της
και η τομή των και , να δειχτεί οτι .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (οι απέναντι γωνίες του ορθές).parmenides51 έγραψε: 2. Τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα και τέμνονται στο .
Από το σημείο φέρνουμε τις αντίστοιχα κάθετες στις .
Να δειχτεί οτι οι ευθείες και διχοτομούνται.
Άρα .
Τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα για τον ίδιο λόγο. Άρα, και .
Αλλά, (εγγεγραμμένη γωνία και γωνίες χορδής κι εφαπτομένης που βαίνουν στο ίδιο τόξο).
Οπότε οι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους και παραπληρωματικές της . Επομένως το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο και κατά συνέπεια οι διαγώνιες του διχοτομούνται.
Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Αν , σημείο της , τότε (1) , από το ισοσκελές τραπέζιοparmenides51 έγραψε:4. Σε ισοσκελές τρίγωνο ( ) παίρνουμε πάνω στις πλευρές και τα σημεία
και αντίστοιχα τέτοια ώστε να είναι . Εαν είναι το μέσον της
και η τομή των και , να δειχτεί οτι .
Φέρνω , με σημείο της . Στο τρίγωνο το είναι μέσο της και ,
οπότε το είναι μέσο του , δηλαδή (2)
Από οπότε το είναι μέσο της
Στο τρίγωνο το είναι μέσο της και , δηλαδή το είναι μέσο της άρα .
- Συνημμένα
-
- Ναυτ. Δοκιμων 1976 4ο.png (11.6 KiB) Προβλήθηκε 2548 φορές
Ηλίας Καμπελής
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Προεκτείνω την κατά τμήμα και έστω το κοινό σημείο της με τη . Στο τρίγωνο , η είναι διατέμνουσα και από θεώρημα Μενελάου έχουμε:parmenides51 έγραψε: 4. Σε ισοσκελές τρίγωνο ( ) παίρνουμε πάνω στις πλευρές και τα σημεία
και αντίστοιχα τέτοια ώστε να είναι . Εαν είναι το μέσον της
και η τομή των και , να δειχτεί οτι .
.
Αλλά, , οπότε θα είναι .
Στο τρίγωνο , είναι τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα. Άρα .
Άρα στο τρίγωνο , αφού , το θα είναι ο μέσο της .
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
“Χτίζουμε” το ορθογώνιο του σχήματος και από παραλληλόγραμμο , οπότε από Θ. Κεντρικής δέσμης το ζητούμενο έπεται.parmenides51 έγραψε:4. Σε ισοσκελές τρίγωνο ( ) παίρνουμε πάνω στις πλευρές και τα σημεία
και αντίστοιχα τέτοια ώστε να είναι . Εαν είναι το μέσον της
και η τομή των και , να δειχτεί οτι .
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Ορίζουμε το , ως το σημείο τομής της από την δια του σημείου παράλληλη ευθεία προς την και αρκεί, ως ισοδύναμο ζητούμενο, να αποδειχθεί ότι η περνάει από το μέσον του τμήματος .
Αυτό όμως αληθεύει λόγω του παραλληλογράμμου , από και και , από το ισοσκελές τρίγωνο .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ.(17-01-2019) Για το σχήμα, βλέπε την 8η δημοσίευση πιο κάτω, με το εδώ αντί του εκεί.
Αυτό όμως αληθεύει λόγω του παραλληλογράμμου , από και και , από το ισοσκελές τρίγωνο .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ.(17-01-2019) Για το σχήμα, βλέπε την 8η δημοσίευση πιο κάτω, με το εδώ αντί του εκεί.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Πέμ Ιαν 17, 2019 3:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:parmenides51 έγραψε: ↑Πέμ Νοέμ 21, 2013 11:38 pm1. Σε τετράεδρο η βάση είναι ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς .
Η είναι κάθετος στην έδρα και η είναι κάθετος στην .
Να βρεθούν τα εμβαδά των σφαιρικών ζωνών των εκατέρωθεν της έδρας
που ορίζονται από την περιγεγραμμένη γύρω από το τετράεδρο σφαίρα.
Επειδή η είναι κάθετη στο επίπεδο της έδρας θα είναι και κάθετης στις ακμές
κι ακόμα η ακμή είναι κάθετη στην ακμή η στερεά γωνία της κορυφής είναι μια
τρισορθογώνια στερεά γωνία.
Θα δείξουμε ότι οι τρεις ακμές είναι ίσες. Πράγματι:
Τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα γιατί έχουν την κοινή, και τις
ίσες. Άρα:
Όμοια δείχνεται ότι και τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα. Άρα:
Από τις (1) και (2) προκύπτει τελικά ότι:
Κατασκευή του κέντρου της περιγεγγραμμένης σφαίρας
Είναι το σημείο τομής των καθέτων στα περίκεντρα των εδρών
του τετραέδρου(ή το σημείο τομής των μεσοκαθέτων επιπέδων
στις ακμές του)
Έτσι στο ανωτέρω σχήμα το ζητούμενο κέντρο είναι το σημείο
στο οποίο τμήθηκε η με την γιατί το σημείο
είναι το περίκεντρο του ισοπλεύρου τριγώνου και το σημείο
είναι το περίκεντρο του του ισοκελούς και ορθογωνίου τριγώνου .
Άρα:
Επίσης από το ορθογώνιο τρίγωνο και επειδή προκύπτει:
Ακόμα από το ορθογώνιο τρίγωνο και από τη σχέση:
προκύπτει:
η οποία είναι και η ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας του τετραέδρου.
Σφαιρικές ζώνες
Η πρώτη από αυτές φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:(σχεδίασα ένα μέρος της...)
Το εμβαδό αυτής δίνεται από τον τύπο:
όπου και .
Άρα:
Όμοια βρίσκεται και η άλλη...
Κώστας Δόρτσιος
Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Χωρίς λόγιαparmenides51 έγραψε: ↑Πέμ Νοέμ 21, 2013 11:38 pm4. Σε ισοσκελές τρίγωνο ( ) παίρνουμε πάνω στις πλευρές και
τα σημεία και αντίστοιχα τέτοια ώστε να είναι . Εαν είναι
το μέσον της και η τομή των και , να δειχτεί οτι .
Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1976 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Εστω ότιparmenides51 έγραψε: ↑Πέμ Νοέμ 21, 2013 11:38 pm1. Σε τετράεδρο η βάση είναι ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς .
Η είναι κάθετος στην έδρα και η είναι κάθετος στην .
Να βρεθούν τα εμβαδά των σφαιρικών ζωνών των εκατέρωθεν της έδρας
που ορίζονται από την περιγεγραμμένη γύρω από το τετράεδρο σφαίρα.
2. Τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα και τέμνονται στο .
Από το σημείο φέρνουμε τις αντίστοιχα κάθετες στις .
Να δειχτεί οτι οι ευθείες και διχοτομούνται.
3. Τι ονομάζεται σφαιρική ζώνη; Να βρεθεί ο τύπος ο οποίος δίνει το εμβαδόν της.
4. Σε ισοσκελές τρίγωνο ( ) παίρνουμε πάνω στις πλευρές και τα σημεία
και αντίστοιχα τέτοια ώστε να είναι . Εαν είναι το μέσον της
και η τομή των και , να δειχτεί οτι .
Από τα όμοια τρίγωνα
Από τα όμοια τρίγωνα
Στο τραπέζιο το τμήμα είναι διάμεσος άρα
και λογω των
Οπότε στο ορθογώνιο τρίγωνο
Γιάννης
- Συνημμένα
-
- ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1976-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ πρόβλημα 4.png (62.16 KiB) Προβλήθηκε 2164 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες