ΕΜΠ 1950 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΕΜΠ 1950 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.
1. Να βρεθούν τρεις ακέραιοι θετικοί αριθμοί των οποίων ο ΜΚΔ να είναι η μονάδα, το άθροισμα τους να είναι και μεταξύ τους να ισχύει .
2. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιες και θετικές τιμές του ώστε η παράσταση να είναι τέλειο τετράγωνο.
3. Να υπολογισθεί το άθροισμα όπου για .
4. Να βρεθεί για ποιες πραγματικές τιμές του επαληθεύεται η ανισότητα , όπου παράμετρος
2. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιες και θετικές τιμές του ώστε η παράσταση να είναι τέλειο τετράγωνο.
3. Να υπολογισθεί το άθροισμα όπου για .
4. Να βρεθεί για ποιες πραγματικές τιμές του επαληθεύεται η ανισότητα , όπου παράμετρος
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΕΜΠ 1950 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.
Η παράσταση γράφεται η οποία γίνεται τέλειο τετράγωνο ακεραίου όταν και μόνο όταν το είναι τετράγωνο ακεραίου και μάλιστα περιττού. Δηλαδή όταν απ' όπου , με .parmenides51 έγραψε:2. Να βρεθούν όλες οι ακέραιες και θετικές τιμές του ώστε η παράσταση να είναι τέλειο τετράγωνο.
Οι λύσεις λοιπόν είναι οι με .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΕΜΠ 1950 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.
Λόγω της σχέσης και επειδή οι είναι πρώτοι μεταξύ τους, η τριάδα είναι πρωταρχική πυθαγόρεια τριάδα. Συνεπώς υπάρχουν ακέραιοι ώστε να ισχύουν τα εξής:parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν τρεις ακέραιοι θετικοί αριθμοί των οποίων ο ΜΚΔ να είναι η μονάδα, το άθροισμα τους να είναι και μεταξύ τους να ισχύει .
Όμως απ' όπου . Το μόνο ζεύγος ακεραίων ώστε οι να είναι θετικοί ακέραιοι είναι το απ' όπου (Λόγω συμμετρίας των έχουμε και τη λύση )
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΕΜΠ 1950 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.
Θα χρησιμοποιήσω τη μέθοδο ανάλυσης σε απλά κλάσματα , κάτι που μαθητές και φοιτητές το χρησιμοποιούν πιο πολύ στον υπολογισμό κάποιων ολοκληρωμάτων.parmenides51 έγραψε:
3. Να υπολογισθεί το άθροισμα όπου για .
Aφού θέλω αυτό το κλάσμα να ισούται με το
προκύπτει το γραμμικό σύστημα
που αν λυθεί δίνει
δηλαδή έχω
Για έχω
Για έχω
Για έχω
Για έχω
Για έχω
...................................................................
...................................................................
...................................................................
Για έχω
Για έχω
Για έχω
Για έχω
Για έχω
Αν προστεθούν οι το πλήθος ισότητες και γίνουν οι απλοποιήσεις προκύπτει ότι το ζητούμενο άθροισμα είναι ίσο με
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΕΜΠ 1950 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.
Αναζητώντας κάποια παλιά θέματα, παρατήρησα ότι το (4ο) θέμα δεν είχε απαντηθεί.
Επιχειρώ μια διερεύνηση στο, ομολογουμένως, περίπλοκο θέμα των υποψηφίων Μηχανολόγων του 1950.
Λύση 4ου θέματος:
Για να έχει νόημα στους πραγματικούς αριθμούς η ανίσωση (Α) πρέπει (1).
• Αν τότε , οπότε η ανίσωση (Α) επαληθεύεται για κάθε που είναι λύση του συστήματος
Αν , τότε η (1) επαληθεύεται για κάθε , οπότε λύση του Σ1 είναι το .
Αν , τότε η (1) επαληθεύεται από εκείνα τα x οποία ισχύει .
Αφού , η ανίσωση (4) είναι αδύνατη.
Διερευνούμε τις λύσεις της ανίσωσης (3):
Αν , τότε , οπότε η ανίσωση (Α) επαληθεύεται για κάθε .
Αν , τότε η ανίσωση (Α) επαληθεύεται για κάθε .
• Αν και για εκείνες τις τιμές των που ισχύει η (1), την οποία τετραγωνίζουμε ισοδύναμα:
(5)
οπότε η ανίσωση επαληθεύεται για κάθε που είναι λύση του συστήματος
Αν , τότε η (1) επαληθεύεται για κάθε , οπότε το Σ2 επαληθεύεται για κάθε , με .
Aπό (5) και (6) έχουμε (7), οπότε αν , τότε η (1) επαληθεύεται από εκείνα τα οποία ισχύει
.
Η (4) γράφεται
,
που είναι αδύνατη, αφού .
Η (3) γράφεται
,
οπότε το Σ2 επαληθεύεται από κάθε , με .
Συνδυάζοντας τις παραπάνω περιπτώσεις, έχουμε:
• Αν , τότε η ανίσωση (Α) επαληθεύεται για κάθε .
• Αν , τότε η ανίσωση (Α) επαληθεύεται για κάθε .
• Αν , τότε η ανίσωση (Α) επαληθεύεται για κάθε .
Επιχειρώ μια διερεύνηση στο, ομολογουμένως, περίπλοκο θέμα των υποψηφίων Μηχανολόγων του 1950.
Λύση 4ου θέματος:
Για να έχει νόημα στους πραγματικούς αριθμούς η ανίσωση (Α) πρέπει (1).
• Αν τότε , οπότε η ανίσωση (Α) επαληθεύεται για κάθε που είναι λύση του συστήματος
Αν , τότε η (1) επαληθεύεται για κάθε , οπότε λύση του Σ1 είναι το .
Αν , τότε η (1) επαληθεύεται από εκείνα τα x οποία ισχύει .
Αφού , η ανίσωση (4) είναι αδύνατη.
Διερευνούμε τις λύσεις της ανίσωσης (3):
Αν , τότε , οπότε η ανίσωση (Α) επαληθεύεται για κάθε .
Αν , τότε η ανίσωση (Α) επαληθεύεται για κάθε .
• Αν και για εκείνες τις τιμές των που ισχύει η (1), την οποία τετραγωνίζουμε ισοδύναμα:
(5)
οπότε η ανίσωση επαληθεύεται για κάθε που είναι λύση του συστήματος
Αν , τότε η (1) επαληθεύεται για κάθε , οπότε το Σ2 επαληθεύεται για κάθε , με .
Aπό (5) και (6) έχουμε (7), οπότε αν , τότε η (1) επαληθεύεται από εκείνα τα οποία ισχύει
.
Η (4) γράφεται
,
που είναι αδύνατη, αφού .
Η (3) γράφεται
,
οπότε το Σ2 επαληθεύεται από κάθε , με .
Συνδυάζοντας τις παραπάνω περιπτώσεις, έχουμε:
• Αν , τότε η ανίσωση (Α) επαληθεύεται για κάθε .
• Αν , τότε η ανίσωση (Α) επαληθεύεται για κάθε .
• Αν , τότε η ανίσωση (Α) επαληθεύεται για κάθε .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες