ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Ιούλ 09, 2013 1:27 pm

1. Να λυθεί και να διερευνηθεί το σύστημα \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\alpha x+\beta y =\gamma \\  
\alpha' x+\beta' y =\gamma' 
\end{matrix}\right}}
και να δοθεί η γεωμετρική ερμηνεία σε κάθε περίπτωση της διερεύνησης.


2. Δίνονται οι αριθμοί \displaystyle{x,y,z} και \displaystyle{\mu} όπου \displaystyle{x,y,z} είναι διαφορετικοί ανά δυο και διάφοροι του μηδενός.
Δίνεται επίσης η σχέση \displaystyle{x^3+y^3+\mu (x+y)= y^3+z^3+\mu (y+z)=z^3+x^3+\mu (z+x)}.
Να αποδειχτεί οτι η παράσταση \displaystyle{A= \left(\frac{x-y}{z}+\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}\right) \left(\frac{z}{x-y}+\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}\right)}
είναι ανεξάρτητη των \displaystyle{x,y,z,\mu}


3. Αν \displaystyle{z=x+yi} και \displaystyle{|z|=\sqrt{x^2+y^2}}, όπου \displaystyle{x,y \in \mathbb{R}},
να βρεθούν οι λύσεις και να γίνει η διερεύνηση της εξίσωσης \displaystyle{z^2-3|z|+\alpha^2=0} για \displaystyle{\alpha>0}


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1352
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Τετ Ιούλ 10, 2013 1:38 pm

parmenides51 έγραψε:

3. Αν \displaystyle{z=x+yi} και \displaystyle{|z|=\sqrt{x^2+y^2}}, όπου \displaystyle{x,y \in \mathbb{R}},
να βρεθούν οι λύσεις και να γίνει η διερεύνηση της εξίσωσης \displaystyle{z^2-3|z|+\alpha^2=0} για \displaystyle{\alpha>0}
Είναι,

\displaystyle{\begin{aligned}z^2-3\left|z\right|+\alpha^2=0&\Leftrightarrow \left(x+yi\right)^2-3\sqrt{x^2+y^2}+\alpha^2=0\\&\Leftrightarrow \left[\left(x^2-y^2\right)-3\sqrt{x^2+y^2}+\alpha^2\right]+2xy\,i=0\\&\Leftrightarrow \left[\left(x^2-y^2\right)-3\sqrt{x^2+y^2}+\alpha^2\right]=0\ \land xy=0\end{aligned}}

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις

\displaystyle{\alpha)\,\,x=0\,\,,y\neq 0}

Τότε,

\displaystyle{-y^2-3\left|y\right|+\alpha^2=0\Leftrightarrow y^2+3\left|y\right|-\alpha^2=0\,\,(I)}

Αν \displaystyle{y>0} , η \displaystyle{(I)} δίνει,

\displaystyle{y^2+3y=\alpha^2\Leftrightarrow \left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9+4\alpha^2}{4}\Leftrightarrow y=\frac{-3+\sqrt{9+4\alpha^2}}{2}\ \lor y=\frac{-3-\sqrt{9+4\alpha^2}}{2}}

Δεκτή είναι η τιμή \displaystyle{y=\frac{-3+\sqrt{9+4\alpha^2}}{2}}

Αν \displaystyle{y<0} , η \displaystyle{(I)} δίνει,

\displaystyle{y^2-3y=\alpha^2\Leftrightarrow \left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9+4\alpha^2}{4}\Leftrightarrow y=\frac{3+\sqrt{9+4\alpha^2}}{2}\ \lor y=\frac{3-\sqrt{9+4\alpha^2}}{2}}

Δεκτή είναι η τιμή \displaystyle{y=\frac{3-\sqrt{9+4\alpha^2}}{2}}

\displaystyle{\beta)\,\,x\neq 0\,\,,y=0}

Τότε,

\displaystyle{x^2-3\left|x\right|+\alpha^2=0\,\,(II)}

Αν \displaystyle{x>0} , η \displaystyle{(II)} δίνει,

\displaystyle{x^2-3x=-\alpha^2\Leftrightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9-4\alpha^2}{4}}

Για το \displaystyle{\alpha} διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις.

\displaystyle{i)\,\,9-4\alpha^2=0\Leftrightarrow \alpha^2=\frac{9}{4}\stackrel{\alpha>0}{\Leftrightarrow}\alpha=\frac{3}{2}}

Τότε, \displaystyle{x=\frac{3}{2}:\delta \iota \pi \lambda \eta\,\,\, \rho \iota \zeta \alpha}

\displaystyle{ii)\,\,9-4\alpha^2>0\Leftrightarrow \alpha^2<\frac{9}{4}\stackrel{\alpha>0}{\Leftrightarrow}\alpha\in\left(0,\frac{3}{2}\right)}

Τότε, \displaystyle{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9-4\alpha^2}{4}\Leftrightarrow x=\frac{3+\sqrt{9-4\alpha^2}}{2}\ \lor\, x=\frac{3-\sqrt{9-4\alpha^2}}{2}}

Δεχόμαστε την τιμή \displaystyle{x=\frac{3+\sqrt{9-4\alpha^2}}{2}}

\displaystyle{iii)\,\,9-4\alpha^2<0\Leftrightarrow \alpha^2>\frac{9}{4}\Leftrightarrow \alpha>\frac{3}{2}}

Τότε, η εξίσωση \displaystyle{\left(x-\frac{3}{2}\right)=\frac{9-4\alpha^2}{4}} είναι αδύνατη στους πραγματικούς.

Αν τώρα \displaystyle{x<0} η \displaystyle{(II)} δίνει,

\displaystyle{x^2+3x+\alpha^2=0\Leftrigtharrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9-4\alpha^2}{4}}

Όμοια με την προηγούμενη περίπτωση, έχουμε ότι

\displaystyle{x=-\frac{3}{2}\Leftrightarrow \alpha=\frac{3}{2}\,\,,x=\frac{-3-\sqrt{9-4\alpha^2}}{2}\Leftrightarrow \alpha\in\left(0,\frac{3}{2}\right)\,\,,\alpha>\frac{3}{2}\Rightarrow \nexists\,x\in\mathbb{R}:\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9-4\alpha^2}{4}}

\displaystyle{\gamma)\,\,x=y=0}.

Τότε έχουμε \displaystyle{\alpha^2=0\Leftrightarrow \alpha=0} , άτοπο.

Συνοψίζοντας, οι λύσεις της δοσμένης εξίσωσης δίνονται ως

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
                                     z=\pm \left(\frac{-3+\sqrt{9+4\alpha^2}}{2}\right)i\,\,,\alpha>0\\ 
                                     z=\pm \left(\frac{3+\sqrt{9-4\alpha^2}}{2}\right)\,\,\,,\alpha\in\left(0,\frac{3}{2}\right)\\ 
                                     z=\pm \frac{3}{2}\,\,\,,\alpha=\frac{3}{2}\\ 
                                    \end{matrix}}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
ArgirisM
Δημοσιεύσεις: 224
Εγγραφή: Δευ Απρ 16, 2012 10:38 pm

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ArgirisM » Πέμ Ιούλ 11, 2013 8:25 pm

parmenides51 έγραψε:2. Δίνονται οι αριθμοί \displaystyle{x,y,z} και \displaystyle{\mu} όπου \displaystyle{x,y,z} είναι διαφορετικοί ανά δυο και διάφοροι του μηδενός.
Δίνεται επίσης η σχέση \displaystyle{x^3+y^3+\mu (x+y)= y^3+z^3+\mu (y+z)=z^3+x^3+\mu (z+x)}.
Να αποδειχτεί οτι η παράσταση \displaystyle{A= \left(\frac{x-y}{z}+\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}\right) \left(\frac{z}{x-y}+\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}\right)}
είναι ανεξάρτητη των \displaystyle{x,y,z,\mu}
Είναι ισοδύναμα: x^3 + y^3 + \mu (x + y) = y^3 + z^3 + \mu (y + z) \Longleftrightarrow x^3 + \mu x = z^3 + \mu z \Longleftrightarrow (x - z)(x^2 + xz + z^2 + \mu) = 0 \Longleftrightarrow x^2 + xz + z^2 + \mu = 0 (x \neq z)(1).
Κυκλικά έχουμε x^2 + xy + y^2 + \mu = 0 (2), y^2 + yz + z^2 + \mu = 0(3).
Αφαιρώντας τις (1), (2) προκύπτει ότι: x(z - y) + (z - y)(z + y) = 0 \Longleftrightarrow (z - y)(x + y + z) = 0 \Longleftrightarrow x + y + z = 0 (4) (z \neq y).
Η παράσταση A παίρνει τη μορφή: A = 3 + \frac{x(x - y)}{z(y - z)} +\frac{y(x - y)}{z(z - x)} + \frac{z(y - z)}{x(x - y)} + \frac{y(y - z)}{x(z - x)} + \frac{z(z - x)}{y(x - y)} + \frac{z(z - x)}{y(y - z)} \Longleftrightarrow A = 3 + \frac{yz(y - z) + zx(z - x)}{xy(x - y)} + \frac{zx(z - x) + xy(x - y)}{yz(y - z)} + \frac{xy(x - y) + yz(y - z)}{zx(z - x)}.
Έχουμε: \frac{z(y^2 - yz + zx - x^2)}{xy(x - y)} = \frac{z[- (x - y)(x + y) + z(x - y)]}{xy(x - y)} = \frac{z(x - y)(z - x - y)}{xy(x - y)} = \frac{2z^2}{xy}(5) (z = - x - y).
Με ανάλογους χειρισμούς προκύπτουν κυκλικά παρεμφερείς τύποι, με αποτέλεσμα η παράσταση να παίρνει τη μορφή A = 3 + 2( \frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{zx} + \frac{z^2}{xy}) \Longleftrightarrow A = 3 + \frac{2(x^3 + y^3 + z^3)}{xyz} \Longleftrightarrow A = 3 + \frac{6xyz}{xyz} \Longleftrightarrow A = 9.
Στηριχτήκαμε στο ότι x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz, που προκύπτει από την ταυτότητα του Euler, αφού x + y + z = 0. Έτσι ολοκληρώθηκε η απόδειξη του ζητουμένου.


Αν κάτι μπορεί να πάει στραβά, θα πάει!
Νόμος του Μέρφυ
Άβαταρ μέλους
Στέλιος Μαρίνης
Δημοσιεύσεις: 525
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 16, 2009 9:45 pm
Τοποθεσία: Νέα Σμύρνη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Στέλιος Μαρίνης » Πέμ Μάιος 28, 2015 5:27 pm

Τι μου θύμισες;
2. Δίνονται οι αριθμοί \displaystyle{x,y,z} και \displaystyle{\mu} όπου \displaystyle{x,y,z} είναι διαφορετικοί ανά δυο και διάφοροι του μηδενός.
Δίνεται επίσης η σχέση \displaystyle{x^3+y^3+\mu (x+y)= y^3+z^3+\mu (y+z)=z^3+x^3+\mu (z+x)}.
Να αποδειχτεί οτι η παράσταση \displaystyle{A= \left(\frac{x-y}{z}+\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}\right) \left(\frac{z}{x-y}+\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}\right)}
είναι ανεξάρτητη των \displaystyle{x,y,z,\mu}

Ξεκίνησα τη λύση γράφοντας: Εκτελώ αρχικά τον μετασχηματισμό z=ω. Μου ήταν αδύνατο να μην μπερδεύω το z με το 2!!


Κάποτε οι καμπύλες των γραφικών παραστάσεων ζωντανεύουν, είναι διαφορίσιμες γιατί είναι λείες κι όμορφες, έχουν ακρότατες τιμές γιατί αρνούνται τη μονοτονία, δεν έχουν όριο πραγματικό, αλλά μπορείς και τις φαντάζεσαι στο άπειρο και η ασύμπτωτη ευθεία είναι το καράβι που σε ταξιδεύει πλάι τους.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7087
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 28, 2015 6:27 pm

Στέλιος Μαρίνης έγραψε:Τι μου θύμισες;
2. Δίνονται οι αριθμοί \displaystyle{x,y,z} και \displaystyle{\mu} όπου \displaystyle{x,y,z} είναι διαφορετικοί ανά δυο και διάφοροι του μηδενός.
Δίνεται επίσης η σχέση \displaystyle{x^3+y^3+\mu (x+y)= y^3+z^3+\mu (y+z)=z^3+x^3+\mu (z+x)}.
Να αποδειχτεί οτι η παράσταση \displaystyle{A= \left(\frac{x-y}{z}+\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}\right) \left(\frac{z}{x-y}+\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}\right)}
είναι ανεξάρτητη των \displaystyle{x,y,z,\mu}

Ξεκίνησα τη λύση γράφοντας: Εκτελώ αρχικά τον μετασχηματισμό z=ω. Μου ήταν αδύνατο να μην μπερδεύω το z με το 2!!
Γεια σου Στέλιο.

Το ίδιο θέμα είχαμε όλοι μας. Ο καθηγητής που είχα τότε στο φροντιστήριο, ο Λάζαρος Θρουμουλόπουλος (φοβερός μαθηματικός), μας έλεγε να προσθέτουμε τη μεσοπαράλληλη στο z, ώστε να μη μοιάζει με το 2.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Εξετάσεις Σχολών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης