ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Δίνεται η εξίσωση
α) Να βρεθεί σχέση μεταξύ των συντελεστών ώστε οι ρίζες της δοθείσας εξίσωσης να αποτελούν
διαδοχικούς όρους αρμονικής προόδου.
β) Υπό την προϋπόθεση οτι οι συντελεστές είναι πραγματικοί και θετικός,
ποια επιπλέον σχέση πρέπει να υπάρχει μεταξύ των ώστε οι ρίζες της εξίσωσης να είναι όλες πραγματικές;
γ) Αν η σχέση που βρήκατε στο πρώτο ερώτημα, για μας δίνει εξίσωση ως προς με διπλή ρίζα,
να υπολογίσετε τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης.
2. Δίνονται τα πολυώνυμα βαθμού και βαθμού .
Να αποδειχθεί οτι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε τα δοθέντα πολυώνυμα να έχουν κοινή ρίζα είναι να υπάρχουν
δυο μη μηδενικά πολυώνυμα βαθμού μικρότερου ή ίσου του και βαθμού μικρότερου ή ίσου του
τέτοια ώστε να ισχύει
3. α) Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των συνεχών συναρτήσεων και γνωρίζοντας ότι οι συναρτήσεις και είναι συνεχείς,
να δείξετε οτι η συνάρτηση είναι συνεχής στο
β) Γνωρίζοντας οτι για κάθε για την παραπάνω συνάρτηση ισχύει ,
να δείξετε οτι η ακολουθία για την οποία συγκλίνει.
Μετά να δειχτεί οτι το όριο της ακολουθίας αυτής είναι ο αριθμός .
α) Να βρεθεί σχέση μεταξύ των συντελεστών ώστε οι ρίζες της δοθείσας εξίσωσης να αποτελούν
διαδοχικούς όρους αρμονικής προόδου.
β) Υπό την προϋπόθεση οτι οι συντελεστές είναι πραγματικοί και θετικός,
ποια επιπλέον σχέση πρέπει να υπάρχει μεταξύ των ώστε οι ρίζες της εξίσωσης να είναι όλες πραγματικές;
γ) Αν η σχέση που βρήκατε στο πρώτο ερώτημα, για μας δίνει εξίσωση ως προς με διπλή ρίζα,
να υπολογίσετε τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης.
2. Δίνονται τα πολυώνυμα βαθμού και βαθμού .
Να αποδειχθεί οτι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε τα δοθέντα πολυώνυμα να έχουν κοινή ρίζα είναι να υπάρχουν
δυο μη μηδενικά πολυώνυμα βαθμού μικρότερου ή ίσου του και βαθμού μικρότερου ή ίσου του
τέτοια ώστε να ισχύει
3. α) Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των συνεχών συναρτήσεων και γνωρίζοντας ότι οι συναρτήσεις και είναι συνεχείς,
να δείξετε οτι η συνάρτηση είναι συνεχής στο
β) Γνωρίζοντας οτι για κάθε για την παραπάνω συνάρτηση ισχύει ,
να δείξετε οτι η ακολουθία για την οποία συγκλίνει.
Μετά να δειχτεί οτι το όριο της ακολουθίας αυτής είναι ο αριθμός .
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ
εδώparmenides51 έγραψε:2. Δίνονται τα πολυώνυμα βαθμού και βαθμού .
Να αποδειχθεί οτι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε τα δοθέντα πολυώνυμα να έχουν κοινή ρίζα είναι να υπάρχουν
δυο μη μηδενικά πολυώνυμα βαθμού μικρότερου ή ίσου του και βαθμού μικρότερου ή ίσου του
τέτοια ώστε να ισχύει
Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ
α) Η συνάρτηση είναι αποτέλεσμα της σύνθεσης της με την . Γνωρίζουμε πως η είναι συνεχής στο , ως πηλίκο συνεχών σε αυτό συναρτήσεων. Ακόμη, για . Η λογαριθμική συνάρτηση είναι συνεχής στο σύνολο των θετικών πραγματικών, επομένως το ίδιο θα ισχύει και στο . Άρα η θα είναι συνεχής στο , ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων.parmenides51 έγραψε: 3. α) Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των συνεχών συναρτήσεων και γνωρίζοντας ότι οι συναρτήσεις και είναι συνεχείς,
να δείξετε οτι η συνάρτηση είναι συνεχής στο
β) Γνωρίζοντας οτι για κάθε για την παραπάνω συνάρτηση ισχύει ,
να δείξετε οτι η ακολουθία για την οποία συγκλίνει.
Μετά να δειχτεί οτι το όριο της ακολουθίας αυτής είναι ο αριθμός .
β) Από τη συνθήκη της εκφώνησης προκύπτει ότι , οπότε η ακολουθία είναι γνησίως φθίνουσα και έχει άνω φράγμα τον αριθμό και ως κάτω φράγμα το . Συνεπώς η ακολουθία είναι συγκλίνουσα ως μονότονη και φραγμένη. Μένει τώρα να βρούμε το όριο της συνάρτησης. Από τις ιδιότητες της διάταξης για τα όρια προκύπτει ότι . Έστω . Από τον αναδρομικό τύπο της ακολουθίας έχουμε . Θεωρούμε τη συνάρτηση . Αυτή είναι παραγωγίσιμη στο ως πράξη παραγωγίσιμων σε αυτό συναρτήσεων, με για . Επομένως πρόκειται για γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο συγκεκριμένο διάστημα. Το σύνολο τιμών της είναι . Το δεν ανήκει στο σύνολο τιμών αυτής της συνάρτησης, επομένως δεν έχει κανένα σημείο μηδενισμού (άτοπο). Άρα πρέπει . Πράγματι τότε έχουμε , αφού για έχουμε . Είναι όμως , οπότε θέτοντας προκύπτει , το οποίο επιβεβαιώνει ότι .
τελευταία επεξεργασία από ArgirisM σε Παρ Νοέμ 22, 2013 7:39 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Αν κάτι μπορεί να πάει στραβά, θα πάει!
Νόμος του Μέρφυ
Νόμος του Μέρφυ
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ
ΠΕΡΙΤΤΑ
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Δευ Φεβ 26, 2024 1:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ
Για το θεμα 3 πιο εύκολη λύση νομίζω ότι είναι
(γιΑ την εύρεση του ορίου)
τότε ή kαι για παίρνουμε που είναι γνωστο οτι εχει μοναδική λύση το
αλλιώς η είναι αύξουσα και εχει προφανή λύση το 0
(γιΑ την εύρεση του ορίου)
τότε ή kαι για παίρνουμε που είναι γνωστο οτι εχει μοναδική λύση το
αλλιώς η είναι αύξουσα και εχει προφανή λύση το 0
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες