ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Έστω πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)}$ με ακέραιους συντελεστάς και $\displaystyle{P(0) =P(1) = 1}$ .
α) να δείξετε ότι $\displaystyle{P(x) =x(x- 1)\sigma(x) + 1}$ , όπου $\displaystyle{\sigma(x)}$ πολυώνυμον με άκεραίους συντελεστάς .
β) Έστω $\displaystyle{x_o}$ ακέραιος διάφορος του μηδενός και του $\displaystyle{1}$ και η αναδρομική σχέση $\displaystyle{x_{\nu+1} = P( x_{\nu}) \,\,\,, \nu = 0 ,1 ,2 ,3 , ...}$
Να δείξετε ότι o $\displaystyle{x_{\nu}}$ είναι πρώτος ως προς τους $\displaystyle{x_{0} , x_1 , ...,x_{\nu-1}}$ .

2. Έστω $\displaystyle{E(x) = x^3 +\alpha x^2 + \beta x + \gamma \,\, , \alpha \ne 0}$ με ρίζες $\displaystyle{r_1,r_2,r_3}$ και οι σχέσεις $\displaystyle{r_1^3+r_2^3+r_3^3 = -3\gamma}$ και $\displaystyle{r_1^2+r_2^2+r_3^2 = \beta}$ .
α) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις , να αποδείξετε οτι ισχύει και η άλλη κι αντίστροφα .
β) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις και ισχύει $\displaystyle{\alpha + \beta+ \gamma ={\color{red}-} 1}$ , να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{E(x) = 0 }$ .

3.΄Έστω συνάρτησις $\displaystyle{f(x)}$ με τιμές στο $\displaystyle{ \mathbb{R} }$ . Αν ισχύει $\displaystyle{f(x +y) = f(x) + f(y)}$ για $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ , τότε
α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{f(- x) = - f(x) , x \in \mathbb{R}}$ .
β) Αν $\displaystyle{\rho}$ ρητός άριθμός , να δείξετε ότι $\displaystyle{f(\rho x) = \rho f(x), \rho \in \mathbb{R} , x \in \mathbb{R}}$
γ) Αν $\displaystyle{\alpha, \kappa }$ ακέραιοι και ισχύει $\displaystyle{f(\alpha) = \kappa \alpha}$ , να δείξετε ότι για ακέραιο $\displaystyle{b}$ , ο $\displaystyle{f(b)}$ είναι ακέραιος.

edit
προσθήκη αριθμού στο 2β, κάτι υποψιάστηκε ο Δημήτρης

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Έστω πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)}$ με ακέραιους συντελεστάς και $\displaystyle{P(0) =P(1) = 1}$ .
α) να δείξετε ότι $\displaystyle{P(x) =x(x- 1)\sigma(x) + 1}$ , όπου $\displaystyle{\sigma(x)}$ πολυώνυμον με άκεραίους συντελεστάς .
β) Έστω $\displaystyle{x_o}$ ακέραιος διάφορος του μηδενός και του $\displaystyle{1}$ και η αναδρομική σχέση $\displaystyle{x_{\nu+1} = P( x_{\nu}) \,\,\,, \nu = 0 ,1 ,2 ,3 , ...}$
Να δείξετε ότι o $\displaystyle{x_{\nu}}$ είναι πρώτος ως προς τους $\displaystyle{x_{0} , x_1 , ...,x_{\nu-1}}$ .

εδώ

parmenides51 έγραψε:2. Έστω $\displaystyle{E(x) = x^3 +\alpha x^2 + \beta x + \gamma \,\, , \alpha \ne 0}$ με ρίζες $\displaystyle{r_1,r_2,r_3}$ και οι σχέσεις $\displaystyle{r_1^3+r_2^3+r_3^3 = -3\gamma}$ και $\displaystyle{r_1^2+r_2^2+r_3^2 = \beta}$ .
α) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις , να αποδείξετε οτι ισχύει και η άλλη κι αντίστροφα .
β) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις και ισχύει $\displaystyle{\alpha + \beta+ \gamma = 1}$ , να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{E(x) = 0 }$ .

α) εδώ κι εδώ

#3

parmenides51 έγραψε:2. Έστω $\displaystyle{E(x) = x^3 +\alpha x^2 + \beta x + \gamma \,\, , \alpha \ne 0}$ με ρίζες $\displaystyle{r_1,r_2,r_3}$ και οι σχέσεις $\displaystyle{r_1^3+r_2^3+r_3^3 = -3\gamma}$ και $\displaystyle{r_1^2+r_2^2+r_3^2 = \beta}$ .
α) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις , να αποδείξετε οτι ισχύει και η άλλη κι αντίστροφα .
β) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις και ισχύει $\displaystyle{\alpha + \beta+ \gamma = 1}$ , να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{E(x) = 0 }$ .

(α) Από vieta έχουμε:

$\displaystyle{r_1 +r_2 +r_3 =-a , r_1 r_2 +r_2 r_3 +r_3 r_1 =\beta , r_1 r_2 r_3 =-\gamma}$

Τώρα: $\displaystyle{r_1 ^3 +r_2 ^3 +r_3 ^3 =-3\gamma \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(r_1 +r_2 +r_3 )^3 -3r_1 r_2 (r_1 +r_2)-3r_2 r_3 (r_2 +r_3 )-3r_1 r_3 (r_1 +r_3 )-6r_1 r_2 r_3=-3\gamma\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{-a^3 -3r_1 r_2 (-a-r_3 )-3r_2 r_3 (-a-r_1 )-3r_1 r_3 (-a-r_2 )-6(-\gamma )=-3\gamma \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{-a^3 +3a(r_1 r_2 +r_2 r_3 +r_3 r_1 )+9(-\gamma)+6\gamma =-3\gamma \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{-a^3 +3a\beta -9\gamma +6\gamma =-3\gamma \Leftrightarrow a^2 =3\beta}$ , (δεδομένου ότι δίνεται $\displaystyle{a\neq 0}$ )

Tώρα: $\displaystyle{r_1 ^2 +r_2 ^2 +r_3 ^2 =(r_1 +r_2 +r_3 )^2 -2(r_1 r_2 +r_2 r_3 +r_3 r_1 )=a^2 -2\beta =3\beta -2\beta =\beta}$

Και αντιστρόφως, έστω ότι $\displaystyle{r_1 ^2 +r_2 ^2 +r_3 ^2 = \beta \Rightarrow (r_1 +r_2 +r_3 )^2 -2(r_1 r_2 +r_2 r_3 +r_3 r_1 )=\beta}$

Άρα: $\displaystyle{a^2 -2\beta =\beta \Rightarrow a^2 =3\beta}$ και από προηγουμένως, είδαμε ότι από εδώ έπεται ότι:

$\displaystyle{r_1 ^3 +r_2 ^3 +r_3 ^3 =-3\gamma}$

Για το (β) ερώτημα, βλέπω ότι θα έβγαινε άμεσα, αν στην εκφώνηση η επί πλέον συνθήκη, δινόταν $\displaystyle{a+\beta\gamma =-1}$ ,

αντί του $\displaystyle{a+\beta +\gamma =1}$ . Parmenides, ξανακοίταξε την πηγή της εκφώνησης, μήπως χρειάζεται κάποια διόρθωση

για να μην ασχοληθώ άδικα τέτοια ώρα (

)

#4

parmenides51 έγραψε:2. Έστω $\displaystyle{E(x) = x^3 +\alpha x^2 + \beta x + \gamma \,\, , \alpha \ne 0}$ με ρίζες $\displaystyle{r_1,r_2,r_3}$ και οι σχέσεις $\displaystyle{r_1^3+r_2^3+r_3^3 = -3\gamma}$ και $\displaystyle{r_1^2+r_2^2+r_3^2 = \beta}$ .
α) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις , να αποδείξετε οτι ισχύει και η άλλη κι αντίστροφα .
β) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις και ισχύει $\displaystyle{\alpha + \beta+ \gamma ={\color{red}-} 1}$ , να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{E(x) = 0 }$ .
edit
προσθήκη αριθμού στο 2β, κάτι υποψιάστηκε ο Δημήτρης

Ας δούμε και το (β) ερώτημα, μιας και δόθηκε η διόρθωση του τυπογραφικού.

Πιστεύω ότι χρειαζόταν να δοθεί η διευκρίνιση ότι $\displaystyle{a,\beta ,\gamma \in R}$ , ενώ αναζητούμε τις λύσεις της δοσμένης εξίσωσης στο σύνολο $\displaystyle{C}$ των μιγαδικών αριθμών.

Από το (α) ερώτημα, έχουμε δει ότι ισχύει η σχέση: $\displaystyle{a^2 =3\beta}$ , ενώ επί πλέον δίνεται και η $\displaystyle{a+\beta +\gamma =-1}$

Άρα: $\displaystyle{\beta =\frac{a^2}{3}}$ και $\displaystyle{\gamma = -1 -a -\beta}$ .

Αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές στην εξίσωση $\displaystyle{E(x)=0}$ , και έχουμε να λύσουμε την εξίσωση:

$\displaystyle{3x^3 +3ax^2 +a^2 x -3-3a-a^2 =0\Leftrightarrow 3(x-1)(x^2 +x+1)+3a(x-1)(x+1)+a^2 (x-1)=0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(x-1)[3x^2 +3(a+1)x+a^2 +3a+3]=0}$ .

Άρα $\displaystyle{x=1}$ ή $\displaystyle{3x^2 +3(a+1)x+a^2 +3a+3=0}$

Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι $\displaystyle{\Delta =-3(a+3)^2}$

Άρα οι ρίζες αυτο'υ είναι: $\displaystyle{r_1 = \frac{-3a-3+i(a+3)\sqrt{3}}{6} }$ και $\displaystyle{r_2 =\frac{-3a-3-i(a+3)\sqrt{3}}{6}}$

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν η άσκηση ήθελε να βρεθούν οι λύσεις στο σύνολο $\displaystyle{R}$ των πραγματικών αριθμών, τότε θα έπρεπε να απαιτούσαμε $\displaystyle{a=-3}$ , και οι ρίζες της εξίσωσης θα ήσαν $\displaystyle{r_1 =r_2 =r_3 =1}$

Σ. Διονύσης · #5

parmenides51 έγραψε: 3.΄Έστω συνάρτησις $\displaystyle{f(x)}$ με τιμές στο $\displaystyle{ \mathbb{R} }$ . Αν ισχύει $\displaystyle{f(x +y) = f(x) + f(y)}$ για $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ , τότε
α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{f(- x) = - f(x) , x \in \mathbb{R}}$ .
β) Αν $\displaystyle{\rho}$ ρητός άριθμός , να δείξετε ότι $\displaystyle{f(\rho x) = \rho f(x), \rho \in \mathbb{R} , x \in \mathbb{R}}$
γ) Αν $\displaystyle{\alpha, \kappa }$ ακέραιοι και ισχύει $\displaystyle{f(\alpha) = \kappa \alpha}$ , να δείξετε ότι για ακέραιο $\displaystyle{b}$ , ο $\displaystyle{f(b)}$ είναι ακέραιος.

α)
Για $y\rightarrow 0$ παίρνουμε f(0)=0

Για $x\rightarrow -x$ πράγματι: f(-x)=-f(x)

β)
Για $y\rightarrow (\rho -1)x$ : $f(\rho x)=f(x)+f[(\rho -1)x]$

Για $y\rightarrow (\rho -2)x$ : $f[(\rho -1) x]=f(x)+f[(\rho -2)x]$

Για $y\rightarrow (\rho -(\rho -2))x$ : f(3 x)=f(x)+f(2x)=f(x) +2f(x)=3f(x)

προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:

$\displaystyle{f(\rho x)+f[(\rho -1)x]+...+f[(\rho -(\rho -2)+1)x]=\mathop\underbrace{f(x)+f(x)+...+f(x)}_{(\rho -3) \; \; o\rho o\iota}+f[(\rho -1)x]+...+f[(\rho -(\rho -2)+1)x] +3f(x)$

$\displaystyle{\Leftrightarrow f(\rho x)=\rho f(x) \; , \; \rho \in \mathbb{R} , x \in \mathbb{R}}$

Τώρα για το γ) τι δικαιολόγηση μπορεί να θέλει...δεν είναι προφανές;

Αν $\displaystle{f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}}$ με $f(x)=kx \; , \; k\in\mathbb{Z}$ τότε το γινόμενο ακεραίων δε δίνει ακέραιο;

kostas_zervos · #6

Σ. Διονύσης έγραψε: α,β)Αν εκμεταλευτούμε την συναρτησιακή τότε εύκολα (συναρτησιακή Cauchy) είναι η $f(x)=cx \; , \; c,x\in\mathbb{R}$

Η συναρτησιακή εξίσωση Cauchy έχει λύση μόνο τις $f(x)=cx\; , \; c,x\in\mathbb{R}$ όταν η

είναι συνεχής (που εδώ δεν αναφέρεται).

Σχετικά : εδώ και περιοδικό Εκθέτης , άρθρο του Νίκου Μαυρογιάννη , εδώ

parmenides51 · #7

Σ. Διονύσης έγραψε:Τώρα για το γ) τι δικαιολόγηση μπορεί να θέλει...δεν είναι προφανές;

Αν $\displaystle{f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}}$ με $f(x)=kx \; , \; k\in\mathbb{Z}$ τότε το γινόμενο ακεραίων δε δίνει ακέραιο;

είναι $\displaystle{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}$

Σ. Διονύσης · #8

parmenides51 έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:Τώρα για το γ) τι δικαιολόγηση μπορεί να θέλει...δεν είναι προφανές;

Αν $\displaystle{f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}}$ με $f(x)=kx \; , \; k\in\mathbb{Z}$ τότε το γινόμενο ακεραίων δε δίνει ακέραιο;
είναι $\displaystle{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}$

Ναι, εντάξει.Ας είναι η

ορισμένη στο $\mathbb{R}$
Το $\alpha$ όμως που δίνεται στην εκφώνηση είναι ακέραιος.Δηλαδή αγνοώ τα

που δεν είναι ακέραιοι και ορίζω την

στο υποσύνολο των ακεραίων και τη μελετάω μόνο εκεί.Είναι προφανές ότι το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης που προκύπτει από γινόμενο

ακεραίων είναι ακέραιος.Σωστά;

parmenides51 · #9

Δεν βλέπω πως βρήκες τον τύπο της $\displaystyle{f}$

#10

Σ. Διονύσης έγραψε:
parmenides51 έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:Τώρα για το γ) τι δικαιολόγηση μπορεί να θέλει...δεν είναι προφανές;

Αν $\displaystle{f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}}$ με $f(x)=kx \; , \; k\in\mathbb{Z}$ τότε το γινόμενο ακεραίων δε δίνει ακέραιο;
είναι $\displaystle{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}$
Ναι, εντάξει.Ας είναι η ορισμένη στο $\mathbb{R}$
Το $\alpha$ όμως που δίνεται στην εκφώνηση είναι ακέραιος.Δηλαδή αγνοώ τα που δεν είναι ακέραιοι και ορίζω την στο υποσύνολο των ακεραίων και τη μελετάω μόνο εκεί.Είναι προφανές ότι το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης που προκύπτει από γινόμενο ακεραίων είναι ακέραιος.Σωστά;

Σωστά. Ποιων ακεραίων όμως;

Η σχέση f(a)=ka

ισχύει για κάποια $a,k\in \Bbb{Z}$ όχι για όλα...

Είναι όμως f(x)=f(1)x

για κάθε $x\in \Bbb{Z}$ (απόδειξη με επαγωγή + περιττή συμμετρία) οπότε $ka=f(a)=f(1)a\stackrel{a\ne 0}{\implies} f(1)=k\in \Bbb{Z},$

οπότε πράγματι ισχύει το ζητούμενο. (Θέλουμε και $a\ne 0,$ πχ δεν ισχύει για την f(x)=x/2.

)

Σ. Διονύσης · #11

socrates έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:
parmenides51 έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:Τώρα για το γ) τι δικαιολόγηση μπορεί να θέλει...δεν είναι προφανές;

Αν $\displaystle{f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}}$ με $f(x)=kx \; , \; k\in\mathbb{Z}$ τότε το γινόμενο ακεραίων δε δίνει ακέραιο;
είναι $\displaystle{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}$
Ναι, εντάξει.Ας είναι η ορισμένη στο $\mathbb{R}$
Το $\alpha$ όμως που δίνεται στην εκφώνηση είναι ακέραιος.Δηλαδή αγνοώ τα που δεν είναι ακέραιοι και ορίζω την στο υποσύνολο των ακεραίων και τη μελετάω μόνο εκεί.Είναι προφανές ότι το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης που προκύπτει από γινόμενο ακεραίων είναι ακέραιος.Σωστά;

Σωστά. Ποιων ακεραίων όμως;

Η σχέση ισχύει για κάποια $a,k\in \Bbb{Z}$ όχι για όλα...

Είναι όμως για κάθε $x\in \Bbb{Z}$ (απόδειξη με επαγωγή + περιττή συμμετρία) οπότε $ka=f(a)=f(1)a\stackrel{a\ne 0}{\implies} f(1)=k\in \Bbb{Z},$

οπότε πράγματι ισχύει το ζητούμενο. (Θέλουμε και $a\ne 0,$ πχ δεν ισχύει για την )

understood

parmenides51 έγραψε:Δεν βλέπω πως βρήκες τον τύπο της $\displaystyle{f}$

parmenides51 · #12

διαφορετικά (αντιγράφοντας την ιδέα από εφημερίδα της εποχής)

parmenides51 έγραψε: 3.΄Έστω συνάρτησις $\displaystyle{f(x)}$ με τιμές στο $\displaystyle{ \mathbb{R} }$ . Αν ισχύει $\displaystyle{f(x +y) = f(x) + f(y)}$ για $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ , τότε
α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{f(- x) = - f(x) , x \in \mathbb{R}}$ .
β) Αν $\displaystyle{\rho}$ ρητός άριθμός , να δείξετε ότι $\displaystyle{f(\rho x) = \rho f(x), \rho \in \mathbb{R} , x \in \mathbb{R}}$
γ) Αν $\displaystyle{\alpha, \kappa }$ ακέραιοι και ισχύει $\displaystyle{f(\alpha) = \kappa \alpha}$ , να δείξετε ότι για ακέραιο $\displaystyle{b}$ , ο $\displaystyle{f(b)}$ είναι ακέραιος.

γ) για $\displaystyle{\alpha, \kappa , b\in \mathbb{Z}}$ και $\displaystyle{\alpha \ne 0 }$ : $\displaystyle{f(b)=f\left(\frac{b}{\alpha}\alpha\right)\mathtop \limits{_{=}^{\frac{b}{\alpha}\in Q}\frac{b}{\alpha}f(\alpha)= \frac{b}{\alpha} \kappa \alpha=\kappa b\in \mathbb{Z}}$

Υ.Γ. όπως προανέφερε ο Θανάσης έπρεπε να αναφέρει το $\displaystyle{\alpha \ne 0 }$ η εκφώνηση

#13

Μια ακόμη λύση για το
1Α

$\displaystyle{P(0)=0}$ άρα $\displaystyle{P(x)=a_nx^n+...+a_1x+1}$ οπότε $\displaystyle{P(x)-1=x(a_nx^{n-1}+...+a_1)}$ τότε

$\displaystyle{P(1)=1}$ σημαίνει $\displaystyle{(a_n+...+a_1)=0}$ δηλαδη $\displaystyle{x-1/(a_nx^{n-1}+...+a_1)}$

Συνεπώς $\displaystyle{a_nx^{n-1}+...+a_1=(x-1)Q(x)}$ και το ζητούμενο έπεται άμεσα.

Οι συντελεστές του πηλίκου $\displaystyle{Q}$ είναι ακέραιοι στην διαίρεση του $\displaystyle{P}$ με το $\displaystyle{x-1}$ εκτελώντας την διαίρεση

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση