ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Έστω πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστάς και .
α) να δείξετε ότι , όπου πολυώνυμον με άκεραίους συντελεστάς .
β) Έστω ακέραιος διάφορος του μηδενός και του και η αναδρομική σχέση
Να δείξετε ότι o είναι πρώτος ως προς τους .
2. Έστω με ρίζες και οι σχέσεις και .
α) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις , να αποδείξετε οτι ισχύει και η άλλη κι αντίστροφα .
β) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις και ισχύει , να λύσετε την εξίσωση .
3.΄Έστω συνάρτησις με τιμές στο . Αν ισχύει για , τότε
α) Να δείξετε ότι .
β) Αν ρητός άριθμός , να δείξετε ότι
γ) Αν ακέραιοι και ισχύει , να δείξετε ότι για ακέραιο , ο είναι ακέραιος.
edit
προσθήκη αριθμού στο 2β, κάτι υποψιάστηκε ο Δημήτρης
α) να δείξετε ότι , όπου πολυώνυμον με άκεραίους συντελεστάς .
β) Έστω ακέραιος διάφορος του μηδενός και του και η αναδρομική σχέση
Να δείξετε ότι o είναι πρώτος ως προς τους .
2. Έστω με ρίζες και οι σχέσεις και .
α) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις , να αποδείξετε οτι ισχύει και η άλλη κι αντίστροφα .
β) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις και ισχύει , να λύσετε την εξίσωση .
3.΄Έστω συνάρτησις με τιμές στο . Αν ισχύει για , τότε
α) Να δείξετε ότι .
β) Αν ρητός άριθμός , να δείξετε ότι
γ) Αν ακέραιοι και ισχύει , να δείξετε ότι για ακέραιο , ο είναι ακέραιος.
edit
προσθήκη αριθμού στο 2β, κάτι υποψιάστηκε ο Δημήτρης
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Παρ Ιουν 21, 2013 2:14 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ
εδώparmenides51 έγραψε:1. Έστω πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστάς και .
α) να δείξετε ότι , όπου πολυώνυμον με άκεραίους συντελεστάς .
β) Έστω ακέραιος διάφορος του μηδενός και του και η αναδρομική σχέση
Να δείξετε ότι o είναι πρώτος ως προς τους .
α) εδώ κι εδώparmenides51 έγραψε:2. Έστω με ρίζες και οι σχέσεις και .
α) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις , να αποδείξετε οτι ισχύει και η άλλη κι αντίστροφα .
β) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις και ισχύει , να λύσετε την εξίσωση .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ
(α) Από vieta έχουμε:parmenides51 έγραψε:2. Έστω με ρίζες και οι σχέσεις και .
α) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις , να αποδείξετε οτι ισχύει και η άλλη κι αντίστροφα .
β) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις και ισχύει , να λύσετε την εξίσωση .
Τώρα:
, (δεδομένου ότι δίνεται )
Tώρα:
Και αντιστρόφως, έστω ότι
Άρα: και από προηγουμένως, είδαμε ότι από εδώ έπεται ότι:
Για το (β) ερώτημα, βλέπω ότι θα έβγαινε άμεσα, αν στην εκφώνηση η επί πλέον συνθήκη, δινόταν ,
αντί του . Parmenides, ξανακοίταξε την πηγή της εκφώνησης, μήπως χρειάζεται κάποια διόρθωση
για να μην ασχοληθώ άδικα τέτοια ώρα ( )
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ
parmenides51 έγραψε:2. Έστω με ρίζες και οι σχέσεις και .
α) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις , να αποδείξετε οτι ισχύει και η άλλη κι αντίστροφα .
β) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις και ισχύει , να λύσετε την εξίσωση .
edit
προσθήκη αριθμού στο 2β, κάτι υποψιάστηκε ο Δημήτρης
Ας δούμε και το (β) ερώτημα, μιας και δόθηκε η διόρθωση του τυπογραφικού.
Πιστεύω ότι χρειαζόταν να δοθεί η διευκρίνιση ότι , ενώ αναζητούμε τις λύσεις της δοσμένης εξίσωσης στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών.
Από το (α) ερώτημα, έχουμε δει ότι ισχύει η σχέση: , ενώ επί πλέον δίνεται και η
Άρα: και .
Αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές στην εξίσωση , και έχουμε να λύσουμε την εξίσωση:
.
Άρα ή
Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι
Άρα οι ρίζες αυτο'υ είναι: και
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν η άσκηση ήθελε να βρεθούν οι λύσεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, τότε θα έπρεπε να απαιτούσαμε , και οι ρίζες της εξίσωσης θα ήσαν
- Σ. Διονύσης
- Δημοσιεύσεις: 190
- Εγγραφή: Τρί Φεβ 19, 2013 5:17 pm
- Τοποθεσία: Milky Way,Orion Arm, Solar System, 3rd Planet(Earth)
Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ
α)parmenides51 έγραψε: 3.΄Έστω συνάρτησις με τιμές στο . Αν ισχύει για , τότε
α) Να δείξετε ότι .
β) Αν ρητός άριθμός , να δείξετε ότι
γ) Αν ακέραιοι και ισχύει , να δείξετε ότι για ακέραιο , ο είναι ακέραιος.
Για παίρνουμε
Για πράγματι:
β)
Για :
Για :
Για :
προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:
Τώρα για το γ) τι δικαιολόγηση μπορεί να θέλει...δεν είναι προφανές;
Αν με τότε το γινόμενο ακεραίων δε δίνει ακέραιο;
τελευταία επεξεργασία από Σ. Διονύσης σε Παρ Ιουν 21, 2013 10:43 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
My System:
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
-
- Δημοσιεύσεις: 1156
- Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ
Η συναρτησιακή εξίσωση Cauchy έχει λύση μόνο τις όταν η είναι συνεχής (που εδώ δεν αναφέρεται).Σ. Διονύσης έγραψε: α,β)Αν εκμεταλευτούμε την συναρτησιακή τότε εύκολα (συναρτησιακή Cauchy) είναι η
Σχετικά : εδώ και περιοδικό Εκθέτης , άρθρο του Νίκου Μαυρογιάννη , εδώ
Κώστας Ζερβός
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ
είναιΣ. Διονύσης έγραψε:Τώρα για το γ) τι δικαιολόγηση μπορεί να θέλει...δεν είναι προφανές;
Αν με τότε το γινόμενο ακεραίων δε δίνει ακέραιο;
- Σ. Διονύσης
- Δημοσιεύσεις: 190
- Εγγραφή: Τρί Φεβ 19, 2013 5:17 pm
- Τοποθεσία: Milky Way,Orion Arm, Solar System, 3rd Planet(Earth)
Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ
Ναι, εντάξει.Ας είναι η ορισμένη στοparmenides51 έγραψε:είναιΣ. Διονύσης έγραψε:Τώρα για το γ) τι δικαιολόγηση μπορεί να θέλει...δεν είναι προφανές;
Αν με τότε το γινόμενο ακεραίων δε δίνει ακέραιο;
Το όμως που δίνεται στην εκφώνηση είναι ακέραιος.Δηλαδή αγνοώ τα που δεν είναι ακέραιοι και ορίζω την στο υποσύνολο των ακεραίων και τη μελετάω μόνο εκεί.Είναι προφανές ότι το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης που προκύπτει από γινόμενο ακεραίων είναι ακέραιος.Σωστά;
My System:
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ
Σ. Διονύσης έγραψε:Ναι, εντάξει.Ας είναι η ορισμένη στοparmenides51 έγραψε:είναιΣ. Διονύσης έγραψε:Τώρα για το γ) τι δικαιολόγηση μπορεί να θέλει...δεν είναι προφανές;
Αν με τότε το γινόμενο ακεραίων δε δίνει ακέραιο;
Το όμως που δίνεται στην εκφώνηση είναι ακέραιος.Δηλαδή αγνοώ τα που δεν είναι ακέραιοι και ορίζω την στο υποσύνολο των ακεραίων και τη μελετάω μόνο εκεί.Είναι προφανές ότι το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης που προκύπτει από γινόμενο ακεραίων είναι ακέραιος.Σωστά;
Σωστά. Ποιων ακεραίων όμως;
Η σχέση ισχύει για κάποια όχι για όλα...
Είναι όμως για κάθε (απόδειξη με επαγωγή + περιττή συμμετρία) οπότε
οπότε πράγματι ισχύει το ζητούμενο. (Θέλουμε και πχ δεν ισχύει για την )
Θανάσης Κοντογεώργης
- Σ. Διονύσης
- Δημοσιεύσεις: 190
- Εγγραφή: Τρί Φεβ 19, 2013 5:17 pm
- Τοποθεσία: Milky Way,Orion Arm, Solar System, 3rd Planet(Earth)
Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ
understoodsocrates έγραψε:Σ. Διονύσης έγραψε:Ναι, εντάξει.Ας είναι η ορισμένη στοparmenides51 έγραψε:είναιΣ. Διονύσης έγραψε:Τώρα για το γ) τι δικαιολόγηση μπορεί να θέλει...δεν είναι προφανές;
Αν με τότε το γινόμενο ακεραίων δε δίνει ακέραιο;
Το όμως που δίνεται στην εκφώνηση είναι ακέραιος.Δηλαδή αγνοώ τα που δεν είναι ακέραιοι και ορίζω την στο υποσύνολο των ακεραίων και τη μελετάω μόνο εκεί.Είναι προφανές ότι το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης που προκύπτει από γινόμενο ακεραίων είναι ακέραιος.Σωστά;
Σωστά. Ποιων ακεραίων όμως;
Η σχέση ισχύει για κάποια όχι για όλα...
Είναι όμως για κάθε (απόδειξη με επαγωγή + περιττή συμμετρία) οπότε
οπότε πράγματι ισχύει το ζητούμενο. (Θέλουμε και πχ δεν ισχύει για την )
parmenides51 έγραψε:Δεν βλέπω πως βρήκες τον τύπο της
My System:
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ
διαφορετικά (αντιγράφοντας την ιδέα από εφημερίδα της εποχής)
Υ.Γ. όπως προανέφερε ο Θανάσης έπρεπε να αναφέρει το η εκφώνηση
γ) για και :parmenides51 έγραψε: 3.΄Έστω συνάρτησις με τιμές στο . Αν ισχύει για , τότε
α) Να δείξετε ότι .
β) Αν ρητός άριθμός , να δείξετε ότι
γ) Αν ακέραιοι και ισχύει , να δείξετε ότι για ακέραιο , ο είναι ακέραιος.
Υ.Γ. όπως προανέφερε ο Θανάσης έπρεπε να αναφέρει το η εκφώνηση
Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ
Μια ακόμη λύση για το
1Α
άρα οπότε τότε
σημαίνει δηλαδη
Συνεπώς και το ζητούμενο έπεται άμεσα.
Οι συντελεστές του πηλίκου είναι ακέραιοι στην διαίρεση του με το εκτελώντας την διαίρεση
1Α
άρα οπότε τότε
σημαίνει δηλαδη
Συνεπώς και το ζητούμενο έπεται άμεσα.
Οι συντελεστές του πηλίκου είναι ακέραιοι στην διαίρεση του με το εκτελώντας την διαίρεση
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες