ΕΜΠ 1955 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΕΜΠ 1955 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Οκτ 24, 2013 2:53 pm

1. α) Τρίγωνο με μήκη πλευρών \displaystyle{\alpha=2k-1, \beta=2k, \gamma=2k+1} έχει εμβαδόν \displaystyle{E=\frac{1}{4}(k-1)k(k+1)}. Ζητείται το μήκος του \displaystyle{k}.

β) Απλοποιήστε την παράσταση \displaystyle{\sqrt[3]{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3}} όπου \alpha=3(3-x^3) ,\beta=x(3^2+x^3),\gamma=x(3^2-x^3).


2. Να λύσετε το σύστημα \left\{ \begin{array}{l} 
x^2+xy^2+y=3 \\ 
y^2+yx^2+x=3 
\end{array} \right. εαν
α) \displaystyle{x\ne y}
β) \displaystyle{x=y} έχοντας υπόψη ότι υπάρχει η λύση \displaystyle{x=y=1}


3. Να δείξετε οτι για να είναι δυνατή η επίλυση των εξισώσεων \begin{array}{l} 
\delta x_1=\gamma y_2-\beta z_2 \\ 
\delta y_1=\alpha z_2-\gamma x_2 \\ 
\delta z_1=\beta x_2-\alpha y_2  
\end{array} \right. και \begin{array}{l} 
\delta x_2=\gamma y_1-\beta z_1 \\ 
\delta y_2=\alpha z_1-\gamma x_1 \\ 
\delta z_2=\beta x_1-\alpha y_1  
\end{array} \right.

όταν ούτε ο \displaystyle{\delta} ούτε όλοι οι αριθμοί \displaystyle{x_1,y_1,x_2,y_2,z_2} να ισούνται με \displaystyle{0}, πρέπει \displaystyle{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2=0}.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: ΕΜΠ 1955 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Πέμ Οκτ 24, 2013 3:21 pm

parmenides51 έγραψε:1. α) Τρίγωνο με μήκη πλευρών \displaystyle{\alpha=2k-1, \beta=2k, \gamma=2k+1} έχει εμβαδόν \displaystyle{E=\frac{1}{4}(k-1)k(k+1)}. Ζητείται το μήκος του \displaystyle{k}.
Για να είναι τρίγωνο πρέπει \displaystyle{k>\frac{1}{2}} και \displaystyle{k\ne 1} αφού για \displaystyle{k=1} έχουμε μήκη : \displaystyle{1,2,3} που δεν είναι πλευρές τριγώνου.

Υπολογίζουμε την ημιπερίμετρο : \displaystyle{\tau=\frac{2k-1+2k+2k+1}{2}=3k} και \displaystyle{\tau-a=k+1,\tau-\beta=k,\tau-\gamma=k-1}.

Aπό τον τύπο του Ήρωνα έχουμε : \displaystyle{E=\sqrt{\tau(\tau-a)(\tau-\beta)(\tau-\gamma)}=\sqrt{3k^2(k+1)(k-1)}}.

Eπομένως, \displaystyle{\frac{1}{4}(k-1)k(k+1)=\sqrt{3k^2(k+1)(k-1)}\Leftrightarrow k^2(k+1)^2(k-1)^2=48k^2(k+1)(k-1)\Leftrightarrow}

\displaystyle{(k+1)(k-1)=48\Leftrightarrow k^2=49\Leftrightarrow k=7}


Γιώργος
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1025
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΕΜΠ 1955 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Πέμ Μαρ 25, 2021 10:46 pm

parmenides51 έγραψε:
Πέμ Οκτ 24, 2013 2:53 pm

β) Απλοποιήστε την παράσταση \displaystyle{\sqrt[3]{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3}} όπου \alpha=3(3-x^3) ,\beta=x(3^2+x^3),\gamma=x(3^2-x^3).
Aς λυθεί κι αυτό το σκέλος...
Ίσως κάποιο παιδί εκτιμήσει τον κόπο που κάνω...


a^{3}=(9-3x^{3})^{3}=9^{3}-3\cdot 9^{2}\cdot 3x^{3}+3\cdot 9\cdot 9x^{6}-27x^{9}= 
9^{3}-9^{3} x^{3}+3\cdot 9^{2}x^{6}-27x^{9}

\beta ^{3}=\left ( 9x+x^{4} \right )^{3}=9^{3}x^{3}+3\cdot 9^{2}x^{2}\cdot x^{4}+3\cdot 9x\cdot x^{8}+x^{12}= 
           9^{3}x^{3}+3\cdot 9^{2}x^{6}+3\cdot 9x^{9}+x^{12}

\gamma  ^{3}=\left ( 9x-x^{4} \right )^{3}=9^{3}x^{3}-3\cdot 9^{2}x^{2}\cdot x^{4}+3\cdot 9x\cdot x^{8}-x^{12}= 
                                 9^{3}x^{3}-3\cdot 9^{2}x^{6}+3\cdot 9x^{9}-x^{12}

Συνεπώς έχουμε ότι
a^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}=9^{3}+9^{3}x^{3}+3\cdot 9^{2}x^{6}+27x^{9}=27(27+27x^{3}+9x^{6}+x^{9})=3^{3}\left ( 3+x^{3} \right )^{3}

Έτσι λοιπόν \displaystyle{\sqrt[3]{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3}}=\sqrt[3]{3^{3}\left ( 3+x^{3} \right )^{3}}=3\left ( 3+x^{3} \right )=9+3x^{3}


Tην εποχή που τέθηκε το θέμα, οι υπόριζες ποσότητες ριζικών περιττής τάξης μπορούσαν να είναι και αρνητικές.
Συνεπώς η ρίζα περιττής τάξης μπορούσε να είναι αρνητική ποσότητα.
Έτσι το είχα διδαχθεί κι εγώ ως μαθητής...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Εξετάσεις Σχολών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης