ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^3+3\alpha x^2+3\beta x +\gamma =0}$
α) Να βρεθεί σχέση μεταξύ των συντελεστών $\displaystyle{\alpha, \beta ,\gamma}$ ώστε οι ρίζες της δοθείσας εξίσωσης να αποτελούν
διαδοχικούς όρους αρμονικής προόδου.
β) Υπό την προϋπόθεση οτι οι συντελεστές $\displaystyle{\alpha, \beta ,\gamma }$ είναι πραγματικοί και $\displaystyle{\beta}$ θετικός,
ποια επιπλέον σχέση πρέπει να υπάρχει μεταξύ των $\displaystyle{\alpha, \beta ,\gamma }$ ώστε οι ρίζες της εξίσωσης να είναι όλες πραγματικές;
γ) Αν η σχέση που βρήκατε στο πρώτο ερώτημα, για $\displaystyle{\alpha =2, \gamma=16}$ μας δίνει εξίσωση ως προς $\displaystyle{\beta}$ με διπλή ρίζα,
να υπολογίσετε τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης.

2. Δίνονται τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ βαθμού $\displaystyle{\nu}$ και $\displaystyle{Q(x)}$ βαθμού $\displaystyle{ \mu}$ .
Να αποδειχθεί οτι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε τα δοθέντα πολυώνυμα να έχουν κοινή ρίζα είναι να υπάρχουν
δυο μη μηδενικά πολυώνυμα $\displaystyle{P_1(x)}$ βαθμού μικρότερου ή ίσου του $\displaystyle{ \nu -1}$ και $\displaystyle{Q_1(x)}$ βαθμού μικρότερου ή ίσου του $\displaystyle{ \mu-1}$
τέτοια ώστε να ισχύει $\displaystyle{P(x) Q_1(x)-Q(x)P_1(x)=0}$

3. α) Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των συνεχών συναρτήσεων και γνωρίζοντας ότι οι συναρτήσεις $\displaystyle{e^x}$ και $\displaystyle{\ln x}$ είναι συνεχείς,
να δείξετε οτι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\ln \frac{e^x-1}{x}}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$
β) Γνωρίζοντας οτι για κάθε $\displaystyle{\alpha >0}$ για την παραπάνω συνάρτηση ισχύει $\displaystyle{\alpha>f(\alpha)>0}$ ,
να δείξετε οτι η ακολουθία $\displaystyle{ x_{\nu}}$ για την οποία $\displaystyle{x_{\nu+1}=f(x_{\nu}) \,\,, x_1=\beta>0}$ συγκλίνει.
Μετά να δειχτεί οτι το όριο της ακολουθίας αυτής είναι ο αριθμός $\displaystyle{0}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Δίνονται τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ βαθμού $\displaystyle{\nu}$ και $\displaystyle{Q(x)}$ βαθμού $\displaystyle{ \mu}$ .
Να αποδειχθεί οτι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε τα δοθέντα πολυώνυμα να έχουν κοινή ρίζα είναι να υπάρχουν
δυο μη μηδενικά πολυώνυμα $\displaystyle{P_1(x)}$ βαθμού μικρότερου ή ίσου του $\displaystyle{ \nu -1}$ και $\displaystyle{Q_1(x)}$ βαθμού μικρότερου ή ίσου του $\displaystyle{ \mu-1}$
τέτοια ώστε να ισχύει $\displaystyle{P(x) Q_1(x)-Q(x)P_1(x)=0}$

εδώ

ArgirisM · #3

parmenides51 έγραψε: 3. α) Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των συνεχών συναρτήσεων και γνωρίζοντας ότι οι συναρτήσεις $\displaystyle{e^x}$ και $\displaystyle{\ln x}$ είναι συνεχείς,
να δείξετε οτι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\ln \frac{e^x-1}{x}}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$
β) Γνωρίζοντας οτι για κάθε $\displaystyle{\alpha >0}$ για την παραπάνω συνάρτηση ισχύει $\displaystyle{\alpha>f(\alpha)>0}$ ,
να δείξετε οτι η ακολουθία $\displaystyle{ x_{\nu}}$ για την οποία $\displaystyle{x_{\nu+1}=f(x_{\nu}) \,\,, x_1=\beta>0}$ συγκλίνει.
Μετά να δειχτεί οτι το όριο της ακολουθίας αυτής είναι ο αριθμός $\displaystyle{0}$ .

α) Η συνάρτηση είναι αποτέλεσμα της σύνθεσης της $g(x) = \frac{\epsilon ^x -1}{x}$ με την h(x) = lnx

. Γνωρίζουμε πως η

είναι συνεχής στο $(0, + \infty)$ , ως πηλίκο συνεχών σε αυτό συναρτήσεων. Ακόμη, για $x > 0 \Longrightarrow e^x > 1 \Longrightarrow \frac{e^x - 1}{x} > 0 \Longrightarrow g((0, + \infty)) \subseteq (0, + \infty)$ . Η λογαριθμική συνάρτηση είναι συνεχής στο σύνολο των θετικών πραγματικών, επομένως το ίδιο θα ισχύει και στο $g((0, + \infty))$ . Άρα η f = hog

θα είναι συνεχής στο $(0, + \infty)$ , ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων.
β) Από τη συνθήκη της εκφώνησης προκύπτει ότι $x_{\nu + 1} = f(x_{\nu}) < x_{\nu}$ , οπότε η ακολουθία είναι γνησίως φθίνουσα και έχει άνω φράγμα τον αριθμό $\beta$ και ως κάτω φράγμα το

. Συνεπώς η ακολουθία είναι συγκλίνουσα ως μονότονη και φραγμένη. Μένει τώρα να βρούμε το όριο της συνάρτησης. Από τις ιδιότητες της διάταξης για τα όρια προκύπτει ότι $0 \le \displaystyle{\lim_{\nu \to + \infty} x_{\nu} = l \le \beta}$ . Έστω $l \neq 0$ . Από τον αναδρομικό τύπο της ακολουθίας έχουμε $l = ln \frac{e^l - 1}{l} \Longleftrightarrow le^l = e^l -1 \Longleftrightarrow (l - 1)e^l + 1 = 0$ . Θεωρούμε τη συνάρτηση $F(x) = (x - 1)e^x + 1, D_F = (0, \beta]$ . Αυτή είναι παραγωγίσιμη στο $(0, \beta]$ ως πράξη παραγωγίσιμων σε αυτό συναρτήσεων, με F'(x) = xe^x > 0

για

. Επομένως πρόκειται για γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο συγκεκριμένο διάστημα. Το σύνολο τιμών της είναι $F((0, \beta]) = (\displaystyle{\lim_{x \to 0^+} F(x)}, F(\beta)] = (0, (\beta - 1)e^{\beta} + 1]$ . Το

δεν ανήκει στο σύνολο τιμών αυτής της συνάρτησης, επομένως δεν έχει κανένα σημείο μηδενισμού (άτοπο). Άρα πρέπει l = 0

. Πράγματι τότε έχουμε $l = 0 = \displaystyle{\lim_{\nu \to + \infty} ln \frac{e^{x_{\nu}} - 1}{x_{\nu}}$ , αφού για $u = x_{\nu}$ έχουμε $\displaystyle{\lim_{\nu \to + \infty} ln \frac{e^{x_{\nu}} - 1}{x_{\nu}} = \displaystyle{\lim_{u \to 0} ln \frac{e^u - 1}{u}$ . Είναι όμως $\displaystyle{\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ , οπότε θέτοντας $x = \frac{e^u - 1}{u}$ προκύπτει $\displaystyle{\lim_{x \to 1} lnx = 0}$ , το οποίο επιβεβαιώνει ότι l = 0

.

orestisgotsis · #4

parmenides51 έγραψε:1. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^3+3\alpha x^2+3\beta x +\gamma =0}$
α) Να βρεθεί σχέση μεταξύ των συντελεστών $\displaystyle{\alpha, \beta ,\gamma}$ ώστε οι ρίζες της δοθείσας εξίσωσης να αποτελούν
διαδοχικούς όρους αρμονικής προόδου.
β) Υπό την προϋπόθεση οτι οι συντελεστές $\displaystyle{\alpha, \beta ,\gamma }$ είναι πραγματικοί και $\displaystyle{\beta}$ θετικός,
ποια επιπλέον σχέση πρέπει να υπάρχει μεταξύ των $\displaystyle{\alpha, \beta ,\gamma }$ ώστε οι ρίζες της εξίσωσης να είναι όλες πραγματικές;
γ) Αν η σχέση που βρήκατε στο πρώτο ερώτημα, για $\displaystyle{\alpha =2, \gamma=16}$ μας δίνει εξίσωση ως προς $\displaystyle{\beta}$ με διπλή ρίζα,
να υπολογίσετε τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης.

α) Αν $\displaystyle{{{\rho }_{1}},\,{{\rho }_{2}},\,{{\rho }_{3}}\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,{{\rho }_{1}}\cdot {{\rho }_{2}}\cdot {{\rho }_{3}}\ne 0\Rightarrow \frac{2}{{{\rho }_{2}}}=\frac{1}{{{\rho }_{1}}}+\frac{1}{{{\rho }_{3}}}\,\,\,\left( 1 \right)}$ και $\displaystyle{{{\rho }_{1}}+{{\rho }_{2}}+{{\rho }_{3}}=-3\alpha ,\,\,\,{{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}+{{\rho }_{2}}{{\rho }_{3}}+{{\rho }_{3}}{{\rho }_{1}}=3\beta ,\,\,\,{{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}{{\rho }_{3}}=-\gamma \left( \ne 0 \right)\,\,\,\left( 2 \right)}$ .

$\displaystyle{\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2{{\rho }_{1}}{{\rho }_{3}}={{\rho }_{2}}{{\rho }_{3}}+{{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}\,\,\overset{\left( 2 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\,\,{{\rho }_{1}}{{\rho }_{3}}=\beta }$ και τότε $\displaystyle{{{\rho }_{2}}=-\frac{\gamma }{\beta }}$ ,

οπότε από $\displaystyle{{{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}+{{\rho }_{2}}{{\rho }_{3}}+{{\rho }_{3}}{{\rho }_{1}}=3\beta \Leftrightarrow {{\rho }_{2}}\left( {{\rho }_{1}}+{{\rho }_{3}} \right)+{{\rho }_{3}}{{\rho }_{1}}=3\beta \Rightarrow {{\rho }_{2}}\left( -3\alpha -{{\rho }_{2}} \right)+{{\rho }_{3}}{{\rho }_{1}}=3\beta }$

$\displaystyle{\Rightarrow \frac{\gamma }{\beta }\left( 3\alpha -\frac{\gamma }{\beta } \right)+\beta =3\beta \Rightarrow 3\alpha \beta \gamma -{{\gamma }^{2}}=2{{\beta }^{3}}\,\,\,\left( Z\eta \tau .\,\sigma \chi \right)}$ .

β) Από $\displaystyle{\left( {{\rho }_{1}}+{{\rho }_{2}}+{{\rho }_{3}}=-3\alpha ,\,\,\,{{\rho }_{2}}=-\frac{\gamma }{\beta } \right)\Rightarrow {{\rho }_{1}}+{{\rho }_{3}}=-3\alpha +\frac{\gamma }{\beta }\,\,\,\left( 3 \right)}$ και από $\displaystyle{{{\rho }_{1}}{{\rho }_{3}}=\beta }$ έχουμε ότι $\displaystyle{{{\rho }_{1}},\,{{\rho }_{3}}}$ , ρίζες της

$\displaystyle{{{x}^{2}}-\left( -3\alpha +\frac{\gamma }{\beta } \right)x+\beta =0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( 3\alpha -\frac{\gamma }{\beta } \right)x+\beta =0\,\,\underset{\beta \gamma \ne 0}{\overset{\left( Z\eta \tau .\,\sigma \chi \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}}\,\,\,{{x}^{2}}+\frac{2{{\beta }^{2}}}{\gamma }+\beta =0}$ .

(Είναι $\displaystyle{\left( {{\rho }_{1}}\cdot {{\rho }_{2}}\cdot {{\rho }_{3}}\ne 0,\,\,{{\rho }_{1}}{{\rho }_{3}}=\beta ,\,\,{{\rho }_{1}}\cdot {{\rho }_{2}}\cdot {{\rho }_{3}}=-\gamma \right)\Rightarrow \beta \gamma \ne 0}$ ) και $\displaystyle{\Delta =\frac{4{{\beta }^{4}}}{{{\gamma }^{2}}}-4\beta }$ .

Θέλουμε $\displaystyle{\Delta \ge 0\Leftrightarrow \frac{4{{\beta }^{4}}}{{{\gamma }^{2}}}-4\beta \ge 0\Leftrightarrow \beta \left( {{\beta }^{3}}-{{\gamma }^{2}} \right)\ge 0\,\,\overset{\beta >0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\,\,{{\beta }^{3}}\ge {{\gamma }^{2}}}$ .

γ) Από $\displaystyle{3\alpha \beta \gamma -{{\gamma }^{2}}=2{{\beta }^{3}}\Rightarrow 3\cdot 2\beta \cdot 16-{{16}^{2}}=2{{\beta }^{3}}\,\,\Leftrightarrow {{\beta }^{3}}-48\beta +128=0\,\,\,\left( 4 \right)}$ . Αφού αυτή έχει διπλή ρίζα, τότε αυτή θα είναι ρίζα και του

παραγώγου πολυωνύμου $\displaystyle{3{{\beta }^{2}}-48}$ , δηλαδή $\displaystyle{\beta =\pm 4}$ . Η $\left( 4 \right)$ για $\displaystyle{\beta =4}$ επαληθεύεται, οπότε οι ρίζες της $\left( 4 \right)$ είναι $\displaystyle{{{\beta }_{1}}=4,\,\,{{\beta }_{2}}=4,\,\,{{\beta }_{3}}=-8}$ και η

$\displaystyle{{{x}^{3}}+3\alpha {{x}^{2}}+3\beta x+\gamma =0}$ γίνεται $\displaystyle{{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+12x+16=0\Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}+4{{x}^{2}} \right)+\left( 2{{x}^{2}}+8x \right)+\left( 4x+16 \right)=0\Leftrightarrow \left( x+4 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)=0\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{{x}_{1}}=-4,\,\,\,{{x}_{2}}=-1+i\sqrt{3},\,\,\,{{x}_{3}}=-1-i\sqrt{3}}$ .

#5

Για το θεμα 3 πιο εύκολη λύση νομίζω ότι είναι
(γιΑ την εύρεση του ορίου)
$\displaystyle{l=ln\frac{e^l-1}{l}}$ τότε $\displaystyle{le^l=e^l-1}$ ή $\displaystyle{l=1-e^{-l}}$ kαι για $\displaystyle{y=-l}$ παίρνουμε $\displaystyle{e^y=1+y}$ που είναι γνωστο οτι εχει μοναδική λύση το $\displaystyle{0}$
αλλιώς η $\displaystyle{e^y-y-1 , y\ge 0}$ είναι αύξουσα και εχει προφανή λύση το 0

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση