Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Επιτροπή Θεμάτων 2024
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2016 9:41 am

Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Επιτροπή Θεμάτων 2024 » Τρί Ιουν 06, 2023 9:23 am

Αγαπητές/τοί φίλες/οι

Στο θέμα αυτό θα αναρτηθούν (αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου) και, αποκλειστικά, θα λυθούν τα θέματα των Μαθηματικών 2023 (των ημερησίων ΓΕΛ). Επομένως σχολιασμοί-κριτική επί της δυσκολίας κ.λ.π. των θεμάτων θα απομακρύνονται από αυτήν την συζήτηση. Αυτές μπορούν να γίνουν στο Σχόλια στα Μαθηματικά ΓΕΛ 2023


MATHIMATIKA_ΟΡ_HM_2023_04.pdf
(247.77 KiB) Μεταφορτώθηκε 681 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2938
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Ιουν 06, 2023 10:39 am

Δ1. Έστω η συνάρτηση h με \displaystyle{h(x)=\frac{f(x)-2x}{x-1},\;x \in (0,1)\cup(1,2),}
για την οποία ισχύει \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}h(x)= \ell .}
Τότε για  x \in (0,1)\cup(1,2), έχουμε ότι
\displaystyle{h(x)(x-1)=f(x)-2x \Leftrightarrow}
\displaystyle{\Leftrightarrow f(x)=h(x)(x-1)+2x}
και αφού
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1} \left[ h(x)(x-1)+2x\right]=\ell \cdot 0 +2 \cdot1=2,}
έχουμε ότι
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}f(x)=2 \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 1}\left[ln(2-x)-\frac{1}{x}+\kappa \right]=2 \Leftrightarrow -1+\kappa=2 \Leftrightarrow \kappa =3,}
δεδομένου ότι
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}ln(2-x)=ln1=0,}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}\frac{1}{x}=1.}


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2008
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τρί Ιουν 06, 2023 10:41 am

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2023.docx
(101.42 KiB) Μεταφορτώθηκε 347 φορές


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Energy Engineer
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 02, 2010 9:05 pm
Τοποθεσία: Γερμανία

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Energy Engineer » Τρί Ιουν 06, 2023 11:04 am

Η γνώμη μου για τα Σωστό -Λάθος μετά από 17 χρόνια μακριά από το αντικείμενο:

α) Σωστό (Τελικά είναι Λάθος, νόμιζα πως ελεγε 0, όχι 1)
β) Λάθος
γ) Σωστό
δ) Λάθος (Σωστό, δεν το πρόσεξα)
ε) Σωστό
τελευταία επεξεργασία από Energy Engineer σε Τρί Ιουν 06, 2023 11:23 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


math
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 22, 2012 10:23 pm

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από math » Τρί Ιουν 06, 2023 11:09 am

α. Λ
β. Λ
γ. Λ
δ. Σ
ε. Σ


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2938
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Ιουν 06, 2023 11:17 am

Δ2. Για \kappa=3, έχουμε
\displaystyle{f(x)=ln(2-x)-\frac{1}{x}+3,\;x\in(0,2).}
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0,2), ως άθροισμα των παραγωγίσιμων συναρτήσεων ln(2-x) [σύνθεση των παραγωγίσιμων lnx,\;2-x] και -\frac{1}{x} [ρητή] και 3 [σταθερή], με
\displaystyle{f’(x)_=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x^2}=\frac{x^2+x-2}{x^2(x-2)}=\frac{(x-1)(x+2)}{x^2(x-2)},\;x \in (0,2).}
Τότε για x \in (0,2), έχουμε
\displaystyle{f'(x)=0 \Leftrightarrow (x-1)(x+2) =0 0 \Leftrightarrow x=1,}
αφού -2 \notin (0,2).
Τότε:
ΣΥΝΗΜΜΕΝΟ ΣΧΗΜΑ

Συνεπώς
* για x \in (0,1), ισχύει f'(x)>0, και αφού η f είναι συνεχής στο (0,2) η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,1],
* για x \in (1,2), ισχύει f'(x)<0, και αφού η f είναι συνεχής στο (0,2) η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [1,2).
Επίσης
# για x \in A_1=(0,1), η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα
\displaystyle{f(A_1)=\left(\lim_{x \rightarrow 0^+}f(x), \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)\right)=(-\infty,2),}
#για x \in A_2=[1,2), η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα
\displaystyle{f(A_2)=\left(\lim_{x \rightarrow 2^-}f(x),f(1)\right)=(-\infty,2].}
Συνεπώς 0 \in f(A_1),f(A_2), οπότε η f(x)=0 έχει από μία τουλάχιστον ρίζα στα A_1,A_2, αντίστοιχα και αφού είναι γνησίως μονότονη σε κάθε ένα από αυτά, η εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς από μία λύση στα A_1,A_2.
Έστω x_1,x_2 οι δύο ρίζες με x_1 \in (0,1), x_2 \in [1,2), οπότε 0<x_1<1<x_2<2.
Έστω ότι \displaystyle{x_1 \geq \frac{1}{3}.}
Αφού \displaystyle{x_1,\frac{1}{3} \in(0,1), } όπου η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,1) ισχύει
\displaystyle{f(x_1) \geq f\left(\frac{1}{3} \right) \Rightarrow 0 \geq \ln\frac{5}{3}>ln1=0,}
που είναι άτοπο, άρα \displaystyle{x_1 < \frac{1}{3}}
και συγκεντρωτικά \displaystyle{0<x_1 < \frac{1}{3}<1<x_2<2.}

Υ.Γ. Μου είχαν ξεφύγει τα βέλη της μονοτονίας. Ευχαριστώ τον Pilgrim για την υπόδειξη
Συνημμένα
pan_2023_sxhma_d2.png
pan_2023_sxhma_d2.png (12.85 KiB) Προβλήθηκε 18889 φορές
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Τρί Ιουν 06, 2023 11:41 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Energy Engineer
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 02, 2010 9:05 pm
Τοποθεσία: Γερμανία

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Energy Engineer » Τρί Ιουν 06, 2023 11:24 am

math έγραψε:
Τρί Ιουν 06, 2023 11:09 am
α. Λ
β. Λ
γ. Λ
δ. Σ
ε. Σ
Ένα αντιπαράδειγμα για το γ;


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2938
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Ιουν 06, 2023 11:26 am

Energy Engineer έγραψε:
Τρί Ιουν 06, 2023 11:24 am
math έγραψε:
Τρί Ιουν 06, 2023 11:09 am
α. Λ
β. Λ
γ. Λ
δ. Σ
ε. Σ
Ένα αντιπαράδειγμα για το γ;
f(x)=x^3.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2938
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Ιουν 06, 2023 11:38 am

Δ3. Η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο \left[x_1,\dfrac{1}{3} \right], αφού:
* η f είναι συνεχής στο \left[x_1,\dfrac{1}{3} \right],
* η f είναι παραγωγίσιμη στο \left(x_1,\dfrac{1}{3} \right),
οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi \in \left(x_1,\dfrac{1}{3} \right), τέτοιο ώστε
\displaystyle{f'(\xi)=\frac{f\left(\frac{1}{3}\right)-f(x_1)}{\frac{1}{3}-x_1}=\frac{f\left(\frac{1}{3}\right)-0}{\frac{1-3x_1}{3}}=\frac{3f\left(\frac{1}{3}\right)}{1-3x_1}.}
Τέλος αφού \left(x_1,\dfrac{1}{3} \right) \subseteq (0,1),
υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi \in (0,1), τέτοιο ώστε
\displaystyle{f'(\xi)=\frac{3f\left(\frac{1}{3}\right)}{1-3x_1}.}
Επίσης η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,2),
με
\displaystyle{f''(x)=-\frac{1}{(x-2)^2}-\frac{2}{x^3}<0,}
οπότε η f' είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,2),
άρα το \xi που βρήκαμε είναι μοναδικό.
Επομένως, υπάρχει μοναδικό σημείο M \left( \xi ,f\left( \xi  \right) \right), με \xi \in \left( 0,1 \right), τέτοιο, ώστε η κλίση {f}'(\xi ) της {{C}_{f}} στο M να είναι ίση με \frac{3f\left( \frac{1}{3} \right)}{1-3{{x}_{1}}}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
abgd
Δημοσιεύσεις: 455
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Τρί Ιουν 06, 2023 11:51 am

Μια απάντηση για το πολύ καλό Δ4.

i) Είναι F(x)=G(x)+c, \ \ \forall x\in (0,2)

Για x=x_1 έχουμε c=-G(x_1)

Για x=x_2 έχουμε c=F(x_2)\Rightarrow -G(x_1)=F(x_2)\Rightarrow F(x_2)+G(x_1)=0

ii) Λόγω της μονοτονίας της συνάρτησης f, (γνησίως αύξουσα στο [x_1,1] και γνησίως φθίνουσα στο [1,x_2]),

θα είναι f(x)>0,\ \ \forall x\in (x_1,x_2)

Αφού F'(x)=G'(x)=f(x)>0 ,\ \ \forall x\in (x_1,x_2), οι συναρτήσεις F,G θα είναι γνησίως αύξουσες στο [x_1,x_2].

Έτσι θα ισχύουν G(x_1)<G(x_2)=0 και F(x_2)>F(x_1)=0 .

Έστω η συνάρτηση \boxed{h(x)=x_1F(x)+x_2G(x)+2x-x_1-x_2}, \ \ x\in [x_1,x_2].

Είναι h(x_1)=x_2G(x_1)+x_1-x_2<0 και h(x_2)=x_1F(x_2)+x_2-x_1>0.

Από θεώρημα Bolzano η εξίσωση h(x)=0 θα έχει ρίζα στο x_1,x_2, η οποία θα είναι μοναδική, καθώς η h είναι γνησίως αύξουσα:

h'(x)=x_1f(x)+x_2f(x)+2>0, \ \ \forall x\in (x_1,x_2).


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5567
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Ιουν 06, 2023 12:06 pm

Καλημέρα και από δω !
Πριν ανεβάσει ο Γιώργος το πρώτο Δελτίο, θα έλεγα να μου το στείλει, να κάνω μια ελαφριά γλωσσική επιμέλεια και να δώσω σε όλο το κείμενο την ίδια περίπου ροή.
Δεν θα αλλάξω τίποτα άλλο, παρά μόνο πιθανές εκφραστικές ατέλειες κλπ.

Σε ένα τέταρτο θα το έχω ετοιμάσει.

Ας μου το στείλετε, μια κλήση θα ήταν καλή για το δω αμέσως.
Καλή δύναμη και καλά αποτελέσματα !


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3017
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Ιουν 06, 2023 12:16 pm

Μια άλλη ιδέα για το Δ4.

Είναι \int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt=F(x_2)-F(x_1)=F(x_2) και \int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt=G(x_2)-G(x_1)=-G(x_1).

Συνεπώς, F(x_2)=-G(x_1) και άρα F(x_2)+G(x_1)=0,

Επίσης, αφού f(x)>0 για κάθε x\in(x_1,x_2) έπεται ότι \int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt>0. Συνεπώς, G(x_1)<0<F(x_2).

Τα υπόλοιπα όπως παραπάνω.

Φιλικά,

Αχιλλέας


DIMITRIS585
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 02, 2021 9:43 pm

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από DIMITRIS585 » Τρί Ιουν 06, 2023 12:59 pm

achilleas έγραψε:
Τρί Ιουν 06, 2023 12:16 pm
Μια άλλη ιδέα για το Δ4.

Είναι \int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt=F(x_2)-F(x_1)=F(x_2) και \int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt=G(x_2)-G(x_1)=-G(x_1).

Συνεπώς, F(x_2)=-G(x_1) και άρα F(x_2)+G(x_1)=0,

Επίσης, αφού f(x)>0 για κάθε x\in(x_1,x_2) έπεται ότι \int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt>0. Συνεπώς, G(x_1)<0<F(x_2).

Τα υπόλοιπα όπως παραπάνω.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Μαθητής είμαι. Και εγώ έτσι οπως είπατε τα έλυσα τα 2 ερωτήματα αλλα δεν βρήκα πουθενά τέτοια λύση και αγχώθηκα χωρίς λόγο.Καλο θα είναι όσοι ανεβάζουν λύσεις στα σαιτ να μην γράφουν μόνο μια λύση γιατί τα μαθηματικά είναι φαντασία και δεν πρέπει να περιορίζονται σε μία λύση.Επίσης μπορεί να ξεφεύγω απο το θέμα της συζήτησης αλλά ενώ απο μικρό παιδι συμμετέχω σε μαθηματικούς διαγωνισμούς, δεν μου αρέσουν καθόλου τα μαθηματικά της γ λυκείου. καθε καλοκαιρι ασχολουμαι μονος μου με πραγματα ομορφα για τα μαθηματικα. Εχουν καταντήσει τα μαθηματικά τυποποιημένες λύσεις και θεωρούνται και δύσκολα απο κάποιους!! Σας ευχαριστώ και συγγνώμη αν ξεφυγα απο το θεμα της συζήτησης αλλα ήθελα να πω την άποψη μου!! Καλο υπόλοιπο.


ohgreg
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 26, 2021 11:22 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ohgreg » Τρί Ιουν 06, 2023 1:20 pm

Το Δ3 χωρίς Θ.Μ.Τ. μπορεί να βγει και με σύνολο τιμών της δεύτερης παραγώγου. Είναι:
f'(x)=-\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{x^2}, \: f''(x)=-\dfrac{1}{(x-2)^2}-\dfrac{2}{x^3}<0 για x\in(0,2)

Οπότε η f' είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,2) και:
f'((0,2))=(\lim_{x\rightarrow2^-}f'(x), \lim_{x\rightarrow0^+}f'(x))=\mathbb{R}, αφού είναι:

\lim_{x\rightarrow2^-}f'(x)=lim_{x\rightarrow2^-}-\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{x^2}=-\infty,
\lim_{x\rightarrow0^+}f'(x)=lim_{x\rightarrow0^+}-\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{x^2}=+\infty

Άρα, και λόγω της μονοτονίας, υπάρχει μοναδικό \xi\in(0,2), τέτοιο ώστε η f' να παίρνει την ζητούμενη τιμή.
Θα δείξουμε τώρα ότι θα πρέπει \xi\in(0,1).

Είναι:
\dfrac{2f(1/3)}{1-3x_1}>0, αφού:
x_1<\frac{1}{3}\Leftrightarrow1-3x_1>0,
1/3\in(x_1,x_2)\Rightarrow f(1/3)>0

Δηλαδή είναι:
f'(\xi)>0\Leftrightarrow f'(\xi)>f'(1)\overset{f'\searrow}{\Leftrightarrow} \xi<1
τελευταία επεξεργασία από ohgreg σε Τρί Ιουν 06, 2023 4:32 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Ντερέκης Γρηγόρης
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 792
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τρί Ιουν 06, 2023 1:32 pm

achilleas έγραψε:
Τρί Ιουν 06, 2023 12:16 pm
Μια άλλη ιδέα για το Δ4.

Είναι \int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt=F(x_2)-F(x_1)=F(x_2) και \int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt=G(x_2)-G(x_1)=-G(x_1).

Συνεπώς, F(x_2)=-G(x_1) και άρα F(x_2)+G(x_1)=0,

Επίσης, αφού f(x)>0 για κάθε x\in(x_1,x_2) έπεται ότι \int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt>0. Συνεπώς, G(x_1)<0<F(x_2).

Τα υπόλοιπα όπως παραπάνω.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Το έλυσε μαθητής μου με διπλό Θ.Μ.Τ για τις F και G που είναι ουσιαστικά το ίδιο πραγμα :)


perpant
Δημοσιεύσεις: 461
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpant » Τρί Ιουν 06, 2023 3:01 pm

Αλγεβρική επίλυση στο Β2ii από μαθητή μου

\displaystyle \frac{{4 - {\pi ^2}}}{{4 - {e^2}}} > \frac{\pi }{e} \Leftrightarrow \frac{{{\pi ^2} - 4}}{{{e^2} - 4}} > \frac{\pi }{e} \Leftrightarrow

\displaystyle  \Leftrightarrow e\left( {{\pi ^2} - 4} \right) > \pi \left( {{e^2} - 4} \right)

\displaystyle  \Leftrightarrow e{\pi ^2} - \pi {e^2} - 4e + 4\pi  > 0

\displaystyle  \Leftrightarrow e\pi \left( {\pi  - e} \right) + 4\left( {\pi  - e} \right) > 0

\displaystyle  \Leftrightarrow \left( {\pi  - e} \right)\left( {e\pi  + 4} \right) > 0


Παντούλας Περικλής
Επιτροπή Θεμάτων 2024
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2016 9:41 am

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Επιτροπή Θεμάτων 2024 » Τρί Ιουν 06, 2023 5:10 pm

Στην αρχική σελίδα αναρτήθηκε η 1η έκδοση του δελτίου Λύσεων των θεμάτων της σημερινής εξέτασης.

Μπορείτε να τα κατεβάσετε και από εδώ .


chris97
Δημοσιεύσεις: 46
Εγγραφή: Τετ Ιαν 22, 2014 10:47 pm

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris97 » Τρί Ιουν 06, 2023 6:20 pm

Μια προσέγγιση για το δ4 i) (νομίζω αλλάζει λίγο η παρουσίαση , που βασίζεται στις συνέπειες θμτ και αποδεικνύει στην πορεία το πόρισμα, αλλά η ουσία είναι ίδια ..)
Θα χρησιμοποιήσουμε ότι αφού F,G είναι αρχικές της f στο (0,2) τότε:
F'(x)=f(x) (1) για κάθε x στο (0,2) και επιπλέον
G'(x)=f(x) (2) για κάθε x στο (0,2)
Αν αφαιρέσουμε κατά μέλη τις (1),(2) παίρνουμε:
(F(x)-G(x))'=0 στο (0,2) και επομένως
(F(x)-G(x))'= (c)' στο (0,2) με c στο R
Όμως τότε (από συνέπειες ΘΜΤ)
F(x)-G(x) = c+l (3) για κάθε x στο (0,2) και c,l στο R
Θέτω τώρα στην (3) διαδοχικά x=x_1 και x=x_2 και προκύπτει ότι F(x_1)-G(x_1)=F(x_2)-G(x_2) δηλαδη το ζητούμενο λόγο υπόθεσης.


Ο Αρχιμήδης θα μνημονεύεται, όταν ο Αισχύλος θα έχει ξεχαστεί, γιατί, ενώ οι γλώσσες πεθαίνουν, οι μαθηματικές ιδέες είναι διαχρονικές..

Χρήστος Κ.
math80
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Παρ Ιουν 18, 2021 10:50 pm

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από math80 » Τρί Ιουν 06, 2023 6:21 pm

Στο Δ2 η ανίσωση για το x_1 βγαίνει και ως εξής:

{x_1} < 1 \Leftrightarrow 2 - {x_1} > 1 \Leftrightarrow \ln \left( {2 - {x_1}} \right) > 0{\text{    }}\left( 1 \right)

Όμως είναι f\left( {{x_1}} \right) = 0 \Leftrightarrow \ln \left( {2 - {x_1}} \right) - \frac{1}{{{x_1}}} + 3 = 0 \Leftrightarrow \ln \left( {2 - {x_1}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - 3

οπότε αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε \frac{1}{{{x_1}}} - 3 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{{x_1}}} > 3 \Leftrightarrow {x_1} < \frac{1}{3}


ΝΛΙ
Δημοσιεύσεις: 29
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 25, 2009 10:36 pm

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΛΙ » Τρί Ιουν 06, 2023 11:00 pm

ΛΑΘΟΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΟ ΘΕΜΑ Γ4 ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΤΗΣ 6-6-23
Παίρνω αφορμή από το σημερινό (6-6-23) θέμα Γ4 των Μαθηματικών των Πανελληνίων εξετάσεων για τη λύση του οποίου διαφωνώ με τη συντριπτική πλειονότητα των συναδέλφων που είδα τις λύσεις τους.
Έχω τονίσει σε πολλά από τα 55 βιντεομαθήματά μου με την ύλη της Γ΄ Λυκείου, αλλά και σε διάφορες εισηγήσεις μου έχω αναφέρει ότι, τα όσα ισχυρίζομαι στηρίζονται στα θεωρήματα και τους ορισμούς των σχολικών βιβλίων και φυσικά και σε όλα τα βοηθήματα που ακολουθούν πιστά το σχολικό βιβλίο.
Έχω κάνει ιδιαίτερη αναφορά στη διατύπωση ενός προβλήματος που αφορά τα εμβαδά καμπυλόγραμμων ή μικτόγραμμων χωρίων για τα οποία αναφέρω τα εξής:
ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ως εμβαδόν ενός τέτοιου χωρίου που περικλείεται από 3 ή περισσότερες γραμμές νοείται ΚΑΘΕ εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ 2 ή περισσοτέρων από τις δοθείσες γραμμές. Αυτό γίνεται καταφανές από τις σελίδες 227 και 228 του σχολικού βιβλίου, αλλά και από όλα τα βοηθήματα που το ακολουθούν και υπολογίζουν τέτοια εμβαδά.
Για την αποκατάσταση της τάξης, προτείνω να συμπληρώνεται η εκφώνηση ενός τέτοιου προβλήματος με τη φράση: «Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΩΣ από τις τάδε γραμμές» ή «Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από 2 ή περισσότερες από τις τάδε γραμμές». Αν η εκφώνηση ενός τέτοιου προβλήματος δεν συμπληρωθεί με τον παραπάνω τρόπο, το ερώτημα για το ποιο εμβαδόν ζητείται γίνεται ασαφές. Δηλ. ψάχνουμε κάθε εμβαδόν που περικλείεται από τις δοθείσες γραμμές ή ψάχνουμε μόνο εκείνο το εμβαδόν που περικλείεται ταυτόχρονα από όλες τις γραμμές;
Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο, όταν δεν γίνεται αυτή η απαραίτητη διευκρίνιση, βρίσκουμε το άθροισμα όλων των εμβαδών που περικλείονται από τις δοθείσες γραμμές. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα του ερωτήματος Γ4 λοιπόν, έπρεπε να βρούμε ΟΛΑ τα εμβαδά που περικλείονται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη της cf στο σημείο x0=1, τον άξονα των x και την ευθεία x=e και όχι μόνο το εμβαδόν που περικλείεται ταυτόχρονα από τις 4 παραπάνω γραμμές.
Στις λύσεις που είδα, ο υπολογισμός του εμβαδού έγινε μόνο για το χωρίο που περικλείεται ταυτόχρονα και από τις 4 γραμμές, κάτι που δε συμφωνεί με τη λογική του σχολικού βιβλίου. Υπάρχει και εμβαδόν που περικλείεται και από τις εξής γραμμές: Τον άξονα των x, την εφαπτομένη στο σημείο x=1 και την ευθεία x=e.
Έτσι, θεωρώ ότι σωστή είναι η λύση (σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο) που υπολογίζει και αυτό το εμβαδόν κάτι που δεν είδα σε καμιά λύση.
Πιο αναλυτικές πληροφορίες σχετικές για το εν λόγω θέμα μπορείτε να δείτε στο βιντεομάθημά μου Νο 54 στη διεύθυνση:
https://www.youtube.com/watch?v=Z2UErF- ... E%AConline
καθώς και στην εισήγησή μου με τίτλο «Ολοκληρώµατα Επισηµάνσεις - ∆ιευκρινίσεις» στις σελίδες 13 και 14 στη διεύθυνση:
http://users.sch.gr/mipapagr/images/ios ... _meros.pdf
Για πολύ περισσότερες παρατηρήσεις και διευκρινίσεις στα ολοκληρώματα, υπάρχουν 5 ακόμη βιντεομαθήματά μου συνολικής διάρκειας σχεδόν 7 ωρών με τίτλους «Ολοκληρώματα: Παρατηρήσεις - Διευκρινίσεις (α), (β), (γ), (δ), (ε)»
(Στα 5 αυτά μαθήματα περιέχονται άλλες παρατηρήσεις και διευκρινίσεις που δεν σχετίζονται με το συγκεκριμένο θέμα).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Πανελλήνιες Εξετάσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης