Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

KARKAR · #21

: D.png (26.23 KiB) Προβλήθηκε 1090 φορές

Δ3 . Στις ενδεικτικές λύσεις προτείνεται το ( σωστό ασφαλώς ) : Αρκεί να δείξουμε ότι : $x_{1}<2-x_{1}<x_{2}$ .

Ελάχιστα απλούστερο είναι το : $1<2-x_{1}<x_{2}$ , το οποίο επιπλέον μικραίνει το διάστημα .

Christos.N · #22

Διανθίζοντας τις προσεγγίσεις σαν μίγμα του σκεπτικού αυτού αλλά και την γνώση της κυρτότητας - ελαχίστου θα μπορούσαμε να δούμε το εξής

emouroukos έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 06, 2022 5:23 pm
.......
Θεωρούμε τη συνάρτηση

$\displaystyle{g\left( x \right) =2f\left( x \right) +\ln 3-1-f'\left( x_2 \right) \left( x-x_2 \right) ,}$

με .

Η είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ , με

$\displaystyle{g'\left( x \right) =2f{'}\left( x \right) -f'\left( x_2 \right) = 2\left( 1-\frac{1}{x} \right) -\left( 1-\frac{1}{x_2} \right) =1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x_2} }$

για κάθε .

Είναι:

$\displaystyle{ g{'}\left( x \right) =0\Longleftrightarrow 1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x_2}=0\Longleftrightarrow \frac{2}{x}=\frac{x_2+1}{x_2}\Longleftrightarrow x=x_0:=\frac{2x_2}{x_2+1} }$

και

$\displaystyle{ g{'}\left( x \right) >0\Longleftrightarrow 1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x_2}>0\Longleftrightarrow \frac{2}{x}<\frac{x_2+1}{x_2}\Longleftrightarrow x>x_0. }$

Eπομένως, η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο . Θα αποδείξουμε ότι , οπότε θα είναι για κάθε και η δοσμένη εξίσωση είναι αδύνατη. Πράγματι, είναι:

στην συνέχεια παρατηρώντας ότι $\displaystyle{x_0=\frac{2x_2}{x_2+1}>1}$ αλλά και $\displaystyle{x_0=\frac{2x_2}{x_2+1}\neq x_2}$

που σημαίνει ότι f(x_0)>f(1)

καθώς

είναι το ολικό ελάχιστο της

και $f(x_0)>f{'}(x_2)(x-x_2)$ καθώς η συνάρτηση είναι κυρτή άρα η C_f

βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη εκτός του σημείου επαφής.

$\displaystyle{ g\left( x_0 \right) =2f\left( x_0 \right) +\ln 3-1-f{'}\left( x_2 \right) \left( x_0-x_2 \right) =f(x_0)-f(1)+f(x_0)-f{'}\left( x_2 \right) \left( x_0-x_2 \right)>0 }$

που ισχύει.

KARKAR · #23

Μια ενδιαφέρουσα τεχνική για τον υπολογισμό του εμβαδού : Γνωρίζοντας ότι :

$f(x)\leq 0 , x \in[x_{1} , x_{2}}]$ , $f(x_{1})=f(x_{2})=0$ και $f'(x)=\dfrac{x-1}{x}$ , έχουμε :

$E=\displaystyle \int_{x_{2}}^{x_{1}}f(x)dx=\int_{x_{2}}^{x_{1}}x'f(x)dx$ $=\displaystyle\left [ xf(x) \right ]_{x_{1}}^{x_{2}}-\int_{x_{2}}^{x_{1}}x\dfrac{x-1}{x}dx$

$=\displaystyle \int_{x_{1}}^{x_{2}}(\dfrac{x^2-2x}{2})'dx=\dfrac{1}{2}(x_{2}-x_{1})((x_{2}+x_{1}-2)$ .

#24

Λύση για το Δ3 που χρησιμοποιεί MONON την 0<x_1<1

:

Θεωρούμε την h(x)=f(2-x)-f(x)=[2-x-ln(6-3x)]-[x-ln(3x)]

, για την οποία ισχύει $h'(x)=\dfrac{2(x-1)^2}{x(2-x)}$ . Η

είναι θετική στο (0,2)

, συνεπώς από την 0<x_1<1

προκύπτει η f(2-x_1)=h(x_1)<h(1)=0

.

#25

gbaloglou έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 11, 2022 10:09 pm
Λύση για το Δ3 που χρησιμοποιεί MONON την :

Θεωρούμε την , για την οποία ισχύει $h'(x)=\dfrac{2(x-1)^2}{x(2-x)}$ . Η είναι θετική στο , συνεπώς από την προκύπτει η .

Όμορφο!

Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Μέλη σε σύνδεση