Σελίδα 1 από 3
Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 9:05 am
από Επιτροπή Θεμάτων 2023
Αγαπητές/τοί φίλες/οι
Στο θέμα αυτό θα αναρτηθούν (αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου) και, αποκλειστικά, θα λυθούν τα θέματα των
Μαθηματικών προσανατολισμού 2018 των Ημερησίων ΓΕΛ. Επομένως σχολιασμοί-κριτική επί της δυσκολίας κ.λ.π. των θεμάτων θα απομακρύνονται από αυτήν την συζήτηση. Μπορούν να γίνουν στο
Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2018
edit: Προστέθηκαν τα θέματα.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 10:24 am
από xr.tsif
ανεβάζω τα θέματα σε .docx
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 11:15 am
από Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Δ1. Η συνάρτηση
με
και
είναι ορισμένη και συνεχής στο
ως διαφορά των συνεχών συναρτήσεων με τύπους
(συνεχής ως σύνθεση των συνεχών
-γινόμενο εκθετικής με σταθερά- και της
-πολυωνυμική) και
(συνεχής ως πολυωνυμική).
Επίσης η συνάρτηση
είναι παραγωγίσιμη στο
ως διαφορά των παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τύπους
(παραγωγίσιμη ως σύνθεση των παραγωγίσιμων
-γινόμενο εκθετικής με σταθερά- και της
-πολυωνυμική) και
(παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική) με
.
Επίσης η συνάρτηση
είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο
ως διαφορά των παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τύπους
(παραγωγίσιμη ως σύνθεση των παραγωγίσιμων
-γινόμενο εκθετικής με σταθερά- και της
-πολυωνυμική) και
(παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική) με
.
Τότε:
,
και
,
δηλαδή η
παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής το
δηλαδή το
.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 11:23 am
από Γιώργος Ρίζος
Γ1. Έστω
η πλευρά του τετραγώνου, άρα
η περίμετρός του, οπότε
η περίμετρος
του κύκλου ακτίνας
με
.
Τότε
, οπότε
.
Γ2. Η συνάρτηση
που δίνει το ολικό εμβαδό είναι παραγωγίσιμη στο Π.Ο. της με
Από πίνακα μονοτονίας-ακροτάτων βρίσκουμε ότι έχει ολικό ελάχιστο για
.
Τότε η πλευρά του τετραγώνου είναι
και η διάμετρος του κύκλου είναι
Γ3. Παίρνουμε τη γενίκευση της συνάρτησης
στο
.
Είναι
και
.
Είναι
.
Οπότε, αφού η
είναι συνεχής, γν. φθίνουσα στο
και γν. αύξουσα στο
υπάρχει ένα μοναδικό
στο
τέτοιο ώστε
.
edit: Διόρθωσα ένα τυπογραφικό λάθος.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 11:31 am
από gbaloglou
Για το Δ4: ευθεία λύση (χωρίς χρήση των προηγηθέντων μερών) από την γνωστή (ή έστω εύκολα αποδεικνυόμενη) ανισότητα
, αφού προηγηθεί ακριβής υπολογισμός του ολοκληρώματος
: αρκεί να χρησιμοποιηθεί η προφανής αντικατάσταση
στο ολοκλήρωμα
. (Η ίδια αντικατάσταση και για το πρώτο ολοκλήρωμα.)
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 11:33 am
από mick7
Έχουν αναρτηθεί οι λύσεις από τον κ. Ξένο...Καλή επιτυχία σε όλους τους διαγωνιζόμενους...
http://omathimatikos.gr/%CE%B4%CE%B5%CE ... %BF%CF%83/
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 11:35 am
από gavrilos
Καλημέρα και καλή επιτυχία στους υποψήφιους.
Η (μάλλον "λογική") απάντηση στο (δύσκολο) Δ4.
Η
είναι κυρτή στο διάστημα
άρα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της
στο
.Η ευθεία αυτή έχει εξίσωση
.
Συνεπώς
.
Edit: Μία ακόμη λύση,με όχι σχολικά εργαλεία,θα μπορούσε να προκύψει με αλλαγή μεταβλητής
και χρήση της
.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 11:37 am
από pavlospallas
Το θέμα Γ στην πιο γενική του μορφή είναι η άσκηση 6 στη σελίδα 46 του βιβλίου της Γενικής.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 11:44 am
από Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Δ2. Έχουμε ότι:
*
,
*
, αφού
και
και
*
, αφού
,
(αφού τηρούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος De L' Hospital).
Από το Δ1 αποδείξαμε ότι η συνάρτηση
είναι κοίλη στο
και κυρτή στο
,
οπότε η
είναι γνησίως φθίνουσα στο
και γνησίως αύξουσα στο
.
Η
είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) και γνησίως φθίνουσα στο
, οπότε
.
Επίσης
είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) και γνησίως αύξουσα στο
, οπότε
.
Αφού
,
οπότε
και γνησίως μονότονη σε κάθε ένα από τα
,
οπότε η
έχει από μία ακριβώς ρίζα σε κάθε ένα από τα διαστήματα
, έστω
.
Συνεπώς:
**
, άρα η
είναι γνησίως αύξουσα στο
,
**
, άρα η
είναι γνησίως φθίνουσα στο
,
**
, άρα η
είναι γνησίως φθίνουσα στο
,
**
, άρα η
είναι γνησίως αύξουσα στο
.
Επιπλέον η συνάρτηση
είναι συνεχής στο
, οπότε είναι γνησίως φθίνουσα στο
.
Συνεπώς η συνάρτηση
παρουσιάζει μοναδικό τοπικό μέγιστο για
και μοναδικό τοπικό ελάχιστο για
.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 11:50 am
από efakop
Στο Δ3 πρέπει να αποδείξεις ότι
για να πεις ότι η εξίσωση δεν έχει λύση. Και αποδεικνύεται αφού
και
γν. φθίνουσα στο
με
ρίζα της παραγώγου.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 11:55 am
από kkoudas
Το Δ3 του κ. Ξένου είναι λάθος. Εφάρμοσε την μονοτονία του
, για να γνωματεύσει περί ανισότητας για το
. Πρέπει να δειχθεί ότι
.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 12:08 pm
από killbill
Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Δευ Ιουν 11, 2018 11:23 am
Γ1. Έστω
η πλευρά του τετραγώνου, οπότε
η περίμετρος
του κύκλου ακτίνας
με
.
Τότε
, οπότε
.
Γ2. Η συνάρτηση
που δίνει το ολικό εμβαδό είναι παραγωγίσιμη στο Π.Ο. της με
Είναι -64χ και όχι -64π, οπότε είναι λάθος και όλος ο υπόλοιπος συλλογισμός
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 12:19 pm
από diomides
θεμα Γ υπαρχει στα μαθηματικα γενικης παιδειας σελ.45
παλιοτερα το καναμε παντα, κλασσικο θεμα
τα δυο πρωτα ερωτηματα
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 12:25 pm
από evry
Η πλευρά του τετραγώνου δεν είναι
, αφού το
είναι η περίμετρος του τετραγώνου;
Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Δευ Ιουν 11, 2018 11:23 am
Γ1. Έστω
η πλευρά του τετραγώνου, οπότε
η περίμετρος
του κύκλου ακτίνας
με
.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 12:36 pm
από ΛΕΥΤΕΡΗΣ
Η συνάρτηση του Δ θεματος υπάρχει ακριβώς ίδια στο σχολικό βιβλιο σελ 278 ασκ2 β ομαδας
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 12:37 pm
από achilleas
Δ1. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση
είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με
και
Η 2η παράγωγος της
υπάρχει για κάθε
, οπότε αναζητούμε τις τετμημένες των σημείων καμπής στις λύσεις τις
.
Είναι
Λόγω της μονοτονίας της εκθετικής συνάρτησης είναι
για
, και
για
.
Συνεπώς, η
αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του
.
Έτσι, η συνάρτηση
έχει μοναδικό σημείο καμπής το
Δ2. Θεωρούμε τη συνάρτηση
με
για
και παρατηρούμε ότι
η
αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του
.
Μάλιστα, η
είναι γνησίως φθίνουσα για
και γνησίως αύξουσα για
Επιπλέον, είναι
,
,
και
, όπου
είναι τέτοιο ώστε
(η ύπαρξη του
έπεται από το ότι
)
Από Bolzano υπάρχουν
και
τέτοια ώστε
Από την μονοτονία της
στα διαστήματα
και
έπεται η μοναδικότητα των
και το ότι η
έχει τοπικό μέγιστο στο
και τοπικό ελάχιστο στο
, αφού η
θα διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα
(θετικό),
(αρνητικό) και
(θετικό).
Δ3. Έστω ότι υπήρχε
τέτοιο ώστε
Από ΘΜΤ θα υπήρχε
τέτοιο ώστε
, δηλ.
. Αφού
, αναγκαστικά θα είναι
, άτοπο, αφού
Δ4. Η εφαπτομένη της
στο
έχει εξίσωση
Αφού
η εξίσωση γράφεται
Λόγω της κυρτότητας της
στο
είναι
για κάθε
και άρα
,
όπως θέλαμε.
****************************
Επεξεργασία 2:54μμ:
Αλλιώς για την ύπαρξη του : Η συνάρτηση
με
έχει
κι άρα είναι αύξουσα στο
με
για
.
Έτσι, είναι
για κάθε
, οπότε
για
****************************
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 12:52 pm
από killbill
Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Δευ Ιουν 11, 2018 11:23 am
Γ3. Παίρνουμε τη γενίκευση της συνάρτησης
στο
.
Είναι
και
.
Είναι
.
Οπότε, αφού η
είναι συνεχής, γν. φθίνουσα στο
και γν. αύξουσα στο
υπάρχει ένα μοναδικό
στο
τέτοιο ώστε
.
edit: Διόρθωσα ένα τυπογραφικό λάθος.
Το τυπογραφικό λάθος που ορθώς διόρθωσες, συνεπάγεται και διόρθωση των τιμών
και
στη συνέχεια
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 12:57 pm
από killbill
ΛΕΥΤΕΡΗΣ έγραψε: ↑Δευ Ιουν 11, 2018 12:36 pm
Η συνάρτηση του Δ θεματος υπάρχει ακριβώς ίδια στο σχολικό βιβλιο σελ 278 ασκ2 β ομαδας
σελίδα 160 στην τρέχουσα έκδοση
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 1:37 pm
από margk
Διεγραψα την απαντηση στο Δ3 διοτι ηταν λανθασμενη.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 1:44 pm
από stranton
Το Γ3 απ' ευθείας
Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση
έχει μοναδική λύση στο διάστημα
.
Είναι
.
Είναι
.
Οι λύσεις της εξίσωσης είναι:
Όμως η
αφού
Ακόμα
αφού
και
αφού
Πράγματι, το τριώνυμο
είναι αρνητικό όταν
και το
ανήκει σ' αυτό το διάστημα.