Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1955
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Σεπ 05, 2017 8:52 pm

Τα θέματα των επαναληπτικών. Έχουν μεγάλο ενδιαφέρον.

http://www.minedu.gov.gr/publications/d ... 170905.pdf



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3503
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Σεπ 05, 2017 9:14 pm

Όντως απο μια πρώτη ματιά φαίνονται όμορφα θέματα !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3503
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Σεπ 05, 2017 9:22 pm

Ας πιάσουμε το θέμα Α.

Α1. Θεωρία.
Α2. Ο ισχυρισμός είναι λάθος. Το βλέπουμε άμεσα αν πάρουμε την f(x)=x^4\; , \; x \in \mathbb{R} η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με f''(0) =0 . Εντούτοις στο μηδέν δεν παρουσιάζει η f καμπή.

Α3. (δ)

Α4. α) Σ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Λ
τελευταία επεξεργασία από Tolaso J Kos σε Τρί Σεπ 05, 2017 10:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1030
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Τρί Σεπ 05, 2017 9:44 pm

Καλησπέρα. Μήπως εννοείς ως αντιπαράδειγμα την f(x)=x^4....

Χρειάζεται πράγματι αντιπαράδειγμα; Ποια η γνώμη σας; Δεν αρκεί ο ορισμός του σ.κ;


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3503
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Σεπ 05, 2017 9:51 pm

Θέμα Β

Εφόσον η πλευρά του τετραγώνου {\rm AB} \Gamma \Delta είναι 2 τότε η {\rm AE} είναι 2-x.


(α) Το τρίγωνο {\rm AE} \Theta είναι ορθογώνιο. Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι
\displaystyle{\begin{aligned} 
\Theta {\rm E}  &= {\rm EZ} \\  
 &=\sqrt{x^2 + \left ( 2-x \right )^2} \\  
 &=\sqrt{x^2+4-4x+x^2} \\  
 &= \sqrt{2x^2-4x+4} 
\end{aligned}} (β) Το εμβαδόν του τετραγώνου \Theta {\rm EZH} είναι ίσο με
\displaystyle{{\rm E}(x) = \sqrt{2x^2-4x+4} \cdot \sqrt{2x^2-4x+4} = 2x^2-4x + 4 \quad ,  \quad x \in [0, 2]} άρα όντως δίδεται από τη συνάρτηση αυτή.

(γ) Η συνάρτηση είναι παραβολή και ορισμένη σε κλειστό διάστημα. Συνεπώς , επειδή \alpha>0 , θα παίρνει μεγίστη τιμή στα άκρα του διαστήματος , δηλ. όταν x=0 ή x=2. Μάλιστα για x=0 το εμβαδόν θα είναι 4 πράγμα εντελώς λογικό αφού το μέσα τετράγωνο θα συμπέσει με το έξω τετράγωνο. Για x=2 το εμβαδόν θα είναι ίσο με 4 πάλι. Το ελάχιστο της παραβολής ή του τριωνύμου θα εμφανιστεί στο σημείο -\frac{\beta}{2\alpha} = 1 και η τιμή του εμβαδού τότε θα είναι ίση με 2.

(δ) Θα δούμε ότι η εξίσωση δεν έχει λύση. Θεωρούμε συνάρτηση
\displaystyle{g(x) = 2x^2-4x -4e^x +3} η οποία είναι συνεχής και παραγωγισίμη στο (0, 2) με παράγωγο f'(x)= 4(x-1-e^x) < 0. Άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα. Επίσης f(0)=-1<0 και το συμπέρασμα έπεται.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3503
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Σεπ 05, 2017 9:52 pm

pana1333 έγραψε:Καλησπέρα. Μήπως εννοείς ως αντιπαράδειγμα την f(x)=x^4....

Χρειάζεται πράγματι αντιπαράδειγμα; Ποια η γνώμη σας; Δεν αρκεί ο ορισμός του σ.κ;
Ευχαριστώ διορθώνω !! Λέει δικαιολογήστε την απάντηση .. τι θα μπορούσε να πει ο μαθητής σε αυτό το σημείο ;

Edit:
τελευταία επεξεργασία από Tolaso J Kos σε Τρί Σεπ 05, 2017 10:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Σεπ 05, 2017 9:56 pm

Θέμα Γ
Μια πιθανή συνάρτηση \displaystyle{f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 2}
Η γραφική παράσταση
Συνημμένα
Untitled.png
Untitled.png (16.2 KiB) Προβλήθηκε 2509 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1488
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Σεπ 05, 2017 10:39 pm

Στο A3 o ποσοδείκτης "για κάθε" συνεχή συνάρτηση ...., μου φαίνεται ύπουλος.

Ποια είναι η σωστή απάντηση που προτείνει η επιτροπή;;


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Σεπ 05, 2017 11:24 pm

Θέμα Γ
Έστω συνάρτηση \displaystyle{f}, ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα \displaystyle{[0,3]},…..
….. Η \displaystyle{f} δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα \displaystyle{[0,3]}.

Άρα είναι συνεχής και όχι συνεχής ;


Kαλαθάκης Γιώργης
gomichael
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:12 am

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gomichael » Τρί Σεπ 05, 2017 11:29 pm

Δύο παρατηρήσεις στα θέματα των επαναληπτικών
α. στο θέμα Β το χ έπρεπε να δίνεται ότι είναι μετρημένο σε cm
(βέβαια και στο σχολικό δεν αναφέρεται...)
β. στο θέμα Γ στο καθορισμό του εμβαδού δεν αναφέρεται- όπως θα έπρεπε- ο άξονας χ΄χ !!!
τελευταία επεξεργασία από gomichael σε Τετ Σεπ 06, 2017 3:40 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1488
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Σεπ 05, 2017 11:36 pm

exdx έγραψε:Θέμα Γ
Έστω συνάρτηση \displaystyle{f}, ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα \displaystyle{[0,3]},…..
….. Η \displaystyle{f} δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα \displaystyle{[0,3]}.

Άρα είναι συνεχής και όχι συνεχής ;

f(0)=f(3)


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τετ Σεπ 06, 2017 12:03 am

Καλησπέρα Κώστα
Το ξέρω αυτό .
Παριστάνω το δικηγόρο του διαβόλου . Ήταν ανάγκη να χρησιμοποιηθεί ο πληθυντικός ;
Κάποιοι ενδεχομένως να έψαχναν και τη συνέχεια .


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
giannisn1990
Δημοσιεύσεις: 252
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 11:29 pm
Τοποθεσία: Greece

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisn1990 » Τετ Σεπ 06, 2017 12:04 am

Tolaso J Kos έγραψε:Ας πιάσουμε το θέμα Α.

Α1. Θεωρία.
Α2. Ο ισχυρισμός είναι λάθος. Το βλέπουμε άμεσα αν πάρουμε την f(x)=x^4\; , \; x \in \mathbb{R} η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με f''(0) =0 . Εντούτοις στο μηδέν δεν παρουσιάζει η f καμπή.

Α3. (δ)

Α4. α) Σ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Λ
και το Α4 β ειναι Λ καθως λεει υπαρχουν και οχι για καθε. Με προβληματιζει το Δ4 καθως δεν βγαζω τα καταλληλα φραγματα


Γιάννης
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1488
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Σεπ 06, 2017 12:18 am

exdx έγραψε:Καλησπέρα Κώστα
Το ξέρω αυτό .
Παριστάνω το δικηγόρο του διαβόλου . Ήταν ανάγκη να χρησιμοποιηθεί ο πληθυντικός ;
Κάποιοι ενδεχομένως να έψαχναν και τη συνέχεια .
Σωστός!!


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1955
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Σεπ 06, 2017 12:35 am

Αποψη μου είναι ότι το θέμα Γ είναι επιεικώς απαράδεκτο.


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 832
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Σεπ 06, 2017 2:01 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Αποψη μου είναι ότι το θέμα Γ είναι επιεικώς απαράδεκτο.
Είμαι ξάπλα στο κρεβάτι εδώ και μία εβδομάδα από γαστρεντερίτιδα και περίμενα τα θέματα των επαναληπτικών λόγω περιέργειας. Δεν μπορώ να πω πως είμαι χαρούμενος γι' αυτά που βλέπω. Ας πω και γω τις απόψεις μου:

Θέμα Α

Α1. Απόδειξη θεωρήματος

Α2. Απόδειξη ισχυρισμού. Έχουν γράψει και άλλοι τις απόψεις τους μιας και η ίδια ερώτηση υπήρχε και στις κανονικές εξετάσεις. Δεν θέλω να επεκταθώ.

Α3. Κακή επιλογή. Θεωρώ πως δεν έπρεπε να υπάρχει το εν λόγω ερώτημα, μιας και ξεφεύγει (κατά τη γνώμη μου) από τις οδηγίες.

Α4. Σωστό-Λάθος. Προσοχή υπάρχουν παγίδες, με τους ποσοδείκτες!

π.χ. Το (β) είναι Λάθος, για να είναι σωστό το "αν υπάρχουν", θα έπρεπε να αντικατασταθεί από το "για οποιαδήποτε".

Θέμα Β

Δε θα επεκταθώ πολύ. Είναι άσκηση του σχολικού βιβλίου (αυτούσια μάλιστα). Καλή άσκηση, για εξέταση ακροτάτων και μονοτονίας. Αυτό που δε μου άρεσε είναι το κολλάζ που έγινε στο Β4. Το ερώτημα θεωρώ ότι δεν εξυπηρετούσε κάποιο μαθηματικό σκοπό και απλά μπήκε για να καλύψει το "κενό" που δημιουργήθηκε από την έλλειψη τέταρτου ερωτήματος. Μία τέτοια άσκηση θέλει μαεστρία για να βγάλεις όλο το "ζουμί" της.

Θέμα Γ

Προσωπικά, πιστεύω ότι η εκφώνηση είναι λανθασμένη.

Παραγωγίσιμη \Rightarrow συνεχής
Δεν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Ε.Τ. \Rightarrow ασυνεχής

Άρα δεν υπάρχει τέτοια, συνάρτηση.

Θέμα Δ

Δ1. Θεωρώ ότι το ερώτημα "πετάει στα σκουπίδια" το θεώρημα Lagrange που είναι εξαιρετικής σημασίας στα μαθηματικά. Υπάρχουν, εξαιρετικές εφαρμογές και αυτή δεν είναι μία από αυτές.

Τα υπόλοιπα ερωτήματα τα θεωρώ λίγο-πολύ κοντά σε αυτά που είχαμε δει και τα προηγούμενα χρόνια.

Φιλικά,
Μάριος


Υ.Γ. Θα ήθελα να δω από του χρόνου τι θα βάλουν, αφού όπως φαίνεται έχει αρχίσει να στραγγίζει το "πηγάδι" της θεματολογίας του σχολικού βιβλίου. Το θέμα Δ, προσωπικά, δείχνει μια στροφή στα... παλιά!


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
NIZ
Δημοσιεύσεις: 254
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από NIZ » Πέμ Σεπ 07, 2017 12:12 am

M.S.Vovos έγραψε:Θέμα Γ

Προσωπικά, πιστεύω ότι η εκφώνηση είναι λανθασμένη.

Παραγωγίσιμη \Rightarrow συνεχής
Δεν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Ε.Τ. \Rightarrow ασυνεχής

Άρα δεν υπάρχει τέτοια, συνάρτηση.
Επειδή η f είναι συνεχής στο [0,3] , αλλά δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών θα είναι f(3)=f(0)


Νίκος Ζαφειρόπουλος
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 832
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Πέμ Σεπ 07, 2017 12:30 am

NIZ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Θέμα Γ

Προσωπικά, πιστεύω ότι η εκφώνηση είναι λανθασμένη.

Παραγωγίσιμη \Rightarrow συνεχής
Δεν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Ε.Τ. \Rightarrow ασυνεχής

Άρα δεν υπάρχει τέτοια, συνάρτηση.
Επειδή η f είναι συνεχής στο [0,3] , αλλά δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών θα είναι f(3)=f(0)
Δεν είναι σωστά διατυπωμένο το ερώτημα. Και εξηγούμαι:

Είναι άλλο να πούμε:

"Δεν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών..." και άλλο,

"Δεν ικανοποιείται το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών στο διάστημα [0,3]"

Η επιτροπή θεωρώ, πως εννοούσε το δεύτερο, αλλά δώθηκε το πρώτο.

Επομένως, συνεπάγεται ότι η συνάρτηση είναι ταυτόχρονα συνεχής και ασυνεχής. Μα πως γίνεται αυτό;

Λεπτομέρεια, είναι μεν, βασική όμως δε!

Και για να είμαστε ειλικρινής! Ο κ. Μιχάλης ας με διαψεύσει:

Είναι Μαθηματικά αυτά;

Πιστεύω, πως σε καμία περίπτωση...

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9902
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Σεπ 07, 2017 9:07 am

giannisn1990 έγραψε: Με προβληματιζει το Δ4 καθως δεν βγαζω τα καταλληλα φραγματα
φράγματα  ολοκληρώματος.png
φράγματα ολοκληρώματος.png (14.96 KiB) Προβλήθηκε 1883 φορές
Δεδομένης της μονοτονίας τα φράγματα του ολοκληρώματος είναι σχεδόν προφανή .

Φυσικά είναι : \displaystyle\int_{0}^{2}(x^3-3x^2+2)dx=0


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Σεπ 07, 2017 9:47 am

KARKAR έγραψε: Φυσικά είναι : \displaystyle\int_{0}^{2}(x^3-3x^2+2)dx=0
Καλημέρα Θανάση . Εννοείς ότι:
Όλα οι πολυωνυμικές τρίτου βαθμού είναι συμμετρικές ως προς το σημείο καμπής τους
Μια απόδειξη π.χ. εδώ


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Πανελλήνιες Εξετάσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης