mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 05, 2017 8:52 pm**

Τα θέματα των επαναληπτικών. Έχουν μεγάλο ενδιαφέρον.

http://www.minedu.gov.gr/publications/d ... 170905.pdf

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 05, 2017 9:14 pm**

Όντως απο μια πρώτη ματιά φαίνονται όμορφα θέματα !!

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 05, 2017 9:22 pm**

Ας πιάσουμε το θέμα Α.

Α1. Θεωρία.
Α2. Ο ισχυρισμός είναι λάθος. Το βλέπουμε άμεσα αν πάρουμε την $f(x)=x^4\; , \; x \in \mathbb{R}$ η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με f''(0) =0

. Εντούτοις στο μηδέν δεν παρουσιάζει η

καμπή.

Α3. (δ)

Α4. α) Σ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Λ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 05, 2017 9:44 pm**

Καλησπέρα. Μήπως εννοείς ως αντιπαράδειγμα την f(x)=x^4

....

Χρειάζεται πράγματι αντιπαράδειγμα; Ποια η γνώμη σας; Δεν αρκεί ο ορισμός του σ.κ;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 05, 2017 9:51 pm**

Θέμα Β

Εφόσον η πλευρά του τετραγώνου ${\rm AB} \Gamma \Delta$ είναι

τότε η ${\rm AE}$ είναι 2-x

.

(α) Το τρίγωνο ${\rm AE} \Theta$ είναι ορθογώνιο. Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι
$\displaystyle{\begin{aligned} \Theta {\rm E} &= {\rm EZ} \\ &=\sqrt{x^2 + \left ( 2-x \right )^2} \\ &=\sqrt{x^2+4-4x+x^2} \\ &= \sqrt{2x^2-4x+4} \end{aligned}}$ (β) Το εμβαδόν του τετραγώνου $\Theta {\rm EZH}$ είναι ίσο με
$\displaystyle{{\rm E}(x) = \sqrt{2x^2-4x+4} \cdot \sqrt{2x^2-4x+4} = 2x^2-4x + 4 \quad , \quad x \in [0, 2]}$ άρα όντως δίδεται από τη συνάρτηση αυτή.

(γ) Η συνάρτηση είναι παραβολή και ορισμένη σε κλειστό διάστημα. Συνεπώς , επειδή $\alpha>0$ , θα παίρνει μεγίστη τιμή στα άκρα του διαστήματος , δηλ. όταν x=0

ή

. Μάλιστα για x=0

το εμβαδόν θα είναι

πράγμα εντελώς λογικό αφού το μέσα τετράγωνο θα συμπέσει με το έξω τετράγωνο. Για x=2

το εμβαδόν θα είναι ίσο με

πάλι. Το ελάχιστο της παραβολής ή του τριωνύμου θα εμφανιστεί στο σημείο $-\frac{\beta}{2\alpha} = 1$ και η τιμή του εμβαδού τότε θα είναι ίση με

.

(δ) Θα δούμε ότι η εξίσωση δεν έχει λύση. Θεωρούμε συνάρτηση
$\displaystyle{g(x) = 2x^2-4x -4e^x +3}$ η οποία είναι συνεχής και παραγωγισίμη στο (0, 2)

με παράγωγο f'(x)= 4(x-1-e^x) < 0

. Άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα. Επίσης f(0)=-1<0

και το συμπέρασμα έπεται.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 05, 2017 9:52 pm**

pana1333 έγραψε:Καλησπέρα. Μήπως εννοείς ως αντιπαράδειγμα την ....

Χρειάζεται πράγματι αντιπαράδειγμα; Ποια η γνώμη σας; Δεν αρκεί ο ορισμός του σ.κ;

Ευχαριστώ διορθώνω !! Λέει δικαιολογήστε την απάντηση .. τι θα μπορούσε να πει ο μαθητής σε αυτό το σημείο ;

Edit:

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 05, 2017 9:56 pm**

Θέμα Γ
Μια πιθανή συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 2}$
Η γραφική παράσταση

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 05, 2017 10:39 pm**

Στο

o ποσοδείκτης "για κάθε" συνεχή συνάρτηση ...., μου φαίνεται ύπουλος.

Ποια είναι η σωστή απάντηση που προτείνει η επιτροπή;;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 05, 2017 11:24 pm**

Θέμα Γ
Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f}$ , ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα $\displaystyle{[0,3]}$ ,…..
….. Η $\displaystyle{f}$ δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα $\displaystyle{[0,3]}$ .

Άρα είναι συνεχής και όχι συνεχής ;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 05, 2017 11:29 pm**

Δύο παρατηρήσεις στα θέματα των επαναληπτικών
α. στο θέμα Β το χ έπρεπε να δίνεται ότι είναι μετρημένο σε cm
(βέβαια και στο σχολικό δεν αναφέρεται...)
β. στο θέμα Γ στο καθορισμό του εμβαδού δεν αναφέρεται- όπως θα έπρεπε- ο άξονας χ΄χ !!!

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 05, 2017 11:36 pm**

exdx έγραψε:Θέμα Γ
Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f}$ , ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα $\displaystyle{[0,3]}$ ,…..
….. Η $\displaystyle{f}$ δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα $\displaystyle{[0,3]}$ .

Άρα είναι συνεχής και όχι συνεχής ;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 06, 2017 12:03 am**

Καλησπέρα Κώστα
Το ξέρω αυτό .
Παριστάνω το δικηγόρο του διαβόλου . Ήταν ανάγκη να χρησιμοποιηθεί ο πληθυντικός ;
Κάποιοι ενδεχομένως να έψαχναν και τη συνέχεια .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 06, 2017 12:04 am**

Tolaso J Kos έγραψε:Ας πιάσουμε το θέμα Α.

Α1. Θεωρία.
Α2. Ο ισχυρισμός είναι λάθος. Το βλέπουμε άμεσα αν πάρουμε την $f(x)=x^4\; , \; x \in \mathbb{R}$ η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με . Εντούτοις στο μηδέν δεν παρουσιάζει η καμπή.

Α3. (δ)

Α4. α) Σ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Λ

και το Α4 β ειναι Λ καθως λεει υπαρχουν και οχι για καθε. Με προβληματιζει το Δ4 καθως δεν βγαζω τα καταλληλα φραγματα

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 06, 2017 12:18 am**

exdx έγραψε:Καλησπέρα Κώστα
Το ξέρω αυτό .
Παριστάνω το δικηγόρο του διαβόλου . Ήταν ανάγκη να χρησιμοποιηθεί ο πληθυντικός ;
Κάποιοι ενδεχομένως να έψαχναν και τη συνέχεια .

Σωστός!!

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 06, 2017 12:35 am**

Αποψη μου είναι ότι το θέμα Γ είναι επιεικώς απαράδεκτο.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 06, 2017 2:01 am**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Αποψη μου είναι ότι το θέμα Γ είναι επιεικώς απαράδεκτο.

Είμαι ξάπλα στο κρεβάτι εδώ και μία εβδομάδα από γαστρεντερίτιδα και περίμενα τα θέματα των επαναληπτικών λόγω περιέργειας. Δεν μπορώ να πω πως είμαι χαρούμενος γι' αυτά που βλέπω. Ας πω και γω τις απόψεις μου:

Θέμα Α

Α1. Απόδειξη θεωρήματος

Α2. Απόδειξη ισχυρισμού. Έχουν γράψει και άλλοι τις απόψεις τους μιας και η ίδια ερώτηση υπήρχε και στις κανονικές εξετάσεις. Δεν θέλω να επεκταθώ.

Α3. Κακή επιλογή. Θεωρώ πως δεν έπρεπε να υπάρχει το εν λόγω ερώτημα, μιας και ξεφεύγει (κατά τη γνώμη μου) από τις οδηγίες.

Α4. Σωστό-Λάθος. Προσοχή υπάρχουν παγίδες, με τους ποσοδείκτες!

π.χ. Το (β) είναι Λάθος, για να είναι σωστό το "αν υπάρχουν", θα έπρεπε να αντικατασταθεί από το "για οποιαδήποτε".

Θέμα Β

Δε θα επεκταθώ πολύ. Είναι άσκηση του σχολικού βιβλίου (αυτούσια μάλιστα). Καλή άσκηση, για εξέταση ακροτάτων και μονοτονίας. Αυτό που δε μου άρεσε είναι το κολλάζ που έγινε στο Β4. Το ερώτημα θεωρώ ότι δεν εξυπηρετούσε κάποιο μαθηματικό σκοπό και απλά μπήκε για να καλύψει το "κενό" που δημιουργήθηκε από την έλλειψη τέταρτου ερωτήματος. Μία τέτοια άσκηση θέλει μαεστρία για να βγάλεις όλο το "ζουμί" της.

Θέμα Γ

Προσωπικά, πιστεύω ότι η εκφώνηση είναι λανθασμένη.

Παραγωγίσιμη $\Rightarrow$ συνεχής
Δεν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Ε.Τ. $\Rightarrow$ ασυνεχής

Άρα δεν υπάρχει τέτοια, συνάρτηση.

Θέμα Δ

Δ1. Θεωρώ ότι το ερώτημα "πετάει στα σκουπίδια" το θεώρημα Lagrange που είναι εξαιρετικής σημασίας στα μαθηματικά. Υπάρχουν, εξαιρετικές εφαρμογές και αυτή δεν είναι μία από αυτές.

Τα υπόλοιπα ερωτήματα τα θεωρώ λίγο-πολύ κοντά σε αυτά που είχαμε δει και τα προηγούμενα χρόνια.

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Θα ήθελα να δω από του χρόνου τι θα βάλουν, αφού όπως φαίνεται έχει αρχίσει να στραγγίζει το "πηγάδι" της θεματολογίας του σχολικού βιβλίου. Το θέμα Δ, προσωπικά, δείχνει μια στροφή στα... παλιά!

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 07, 2017 12:12 am**

M.S.Vovos έγραψε:Θέμα Γ

Προσωπικά, πιστεύω ότι η εκφώνηση είναι λανθασμένη.

Παραγωγίσιμη $\Rightarrow$ συνεχής
Δεν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Ε.Τ. $\Rightarrow$ ασυνεχής

Άρα δεν υπάρχει τέτοια, συνάρτηση.

Επειδή η

είναι συνεχής στο [0,3]

, αλλά δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών θα είναι f(3)=f(0)

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 07, 2017 12:30 am**

NIZ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Θέμα Γ

Προσωπικά, πιστεύω ότι η εκφώνηση είναι λανθασμένη.

Παραγωγίσιμη $\Rightarrow$ συνεχής
Δεν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Ε.Τ. $\Rightarrow$ ασυνεχής

Άρα δεν υπάρχει τέτοια, συνάρτηση.

Επειδή η είναι συνεχής στο , αλλά δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών θα είναι

Δεν είναι σωστά διατυπωμένο το ερώτημα. Και εξηγούμαι:

Είναι άλλο να πούμε:

"Δεν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών..." και άλλο,

"Δεν ικανοποιείται το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών στο διάστημα [0,3]

"

Η επιτροπή θεωρώ, πως εννοούσε το δεύτερο, αλλά δώθηκε το πρώτο.

Επομένως, συνεπάγεται ότι η συνάρτηση είναι ταυτόχρονα συνεχής και ασυνεχής. Μα πως γίνεται αυτό;

Λεπτομέρεια, είναι μεν, βασική όμως δε!

Και για να είμαστε ειλικρινής! Ο κ. Μιχάλης ας με διαψεύσει:

Είναι Μαθηματικά αυτά;

Πιστεύω, πως σε καμία περίπτωση...

Φιλικά,
Μάριος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 07, 2017 9:07 am**

giannisn1990 έγραψε: Με προβληματιζει το Δ4 καθως δεν βγαζω τα καταλληλα φραγματα

: φράγματα ολοκληρώματος.png (14.96 KiB) Προβλήθηκε 4823 φορές

Δεδομένης της μονοτονίας τα φράγματα του ολοκληρώματος είναι σχεδόν προφανή .

Φυσικά είναι : $\displaystyle\int_{0}^{2}(x^3-3x^2+2)dx=0$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 07, 2017 9:47 am**

KARKAR έγραψε: Φυσικά είναι : $\displaystyle\int_{0}^{2}(x^3-3x^2+2)dx=0$

Καλημέρα Θανάση . Εννοείς ότι:
Όλα οι πολυωνυμικές τρίτου βαθμού είναι συμμετρικές ως προς το σημείο καμπής τους
Μια απόδειξη π.χ. εδώ

mathematica.gr

Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού 2017 Επαναληπτικές