Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Επιτροπή Θεμάτων 2023 · #1

Αγαπητές/τοί φίλες/οι

Στο θέμα αυτό θα συζητήσουμε αποκλειστικά τα θέματα των Μαθηματικών προσανατολισμού (κατεύθυνσης) 2016 αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου.

them_mat_op_c_hmer_ns_160518.pdf: (148.02 KiB) Μεταφορτώθηκε 1347 φορές

#2

ΘΕΜΑ Β

Β.1 H

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο

με $\displaystyle{f'(x) = \frac{{2x({x^2} + 1) - 2{x^3}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} = \frac{{2x}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0}$

H

είναι λοιπόν γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{( - \infty ,0]}$ , γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[0, + \infty )}$ και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο

στο x_0=0

ίσο με

B.2 H

είναι παραγωγίσιμη στο

με $\displaystyle{f''(x) = \frac{{2{{({x^2} + 1)}^2} - 8{x^2}({x^2} + 1)}}{{{{({x^2} + 1)}^4}}} = \frac{{2(1 - 3{x^2})}}{{{{({x^2} + 1)}^3}}}}$

Μελετώντας το πρόσημο του 1-3x^2

βρίσκουμε ότι η

είναι κοίλη σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle{\left( { - \infty , - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right],\left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }}, + \infty } \right)}$ και κυρτή στο διάστημα $\displaystyle{\left[ { - \frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right]}$

Τα σημεία $\displaystyle{A\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{4}} \right),B\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{4}} \right)}$ είναι σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης.

Β.3 Η

ως συνεχής στο

δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = 1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)}$ , άρα η ευθεία $\boxed{y=1}$ είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο $\displaystyle{{ - \infty }}$ και στο $\displaystyle{{ + \infty }}$

Β.4 Τα συμπεράσματα αυτά φαίνονται στην παρακάτω γραφική παράσταση.

: B.2016.png (8.75 KiB) Προβλήθηκε 12886 φορές

#3

Καλημέρα σε όλους και καλή επιτυχία στους υποψηφίους!

Θέμα Δ

Δ1

$\displaystyle \int_{\,\,0}^{\,\,\pi } {\left( {f(x) + f''(x)} \right) \cdot \eta \mu x\,dx} = \pi \Leftrightarrow \int_{\,\,0}^{\,\,\pi } {f\left( x \right) \cdot \left( { - \sigma \upsilon \nu x} \right)\,dx} +$

$\displaystyle \int_{\,\,0}^{\,\,\pi } {{{\left( {f'} \right)}^\prime }\left( x \right) \cdot \eta \mu x\,dx} = \pi$

$\displaystyle \begin{array}{l} \\ & & & \;\; \Leftrightarrow \left[ { - f\left( x \right)\sigma \upsilon \nu x} \right]_0^\pi + \int_{\,\,0}^{\,\,\pi } {f'\left( x \right) \cdot \sigma \upsilon \nu x\,dx} \\ & & & \;\;\;\; + \left[ {f'\left( x \right)\eta \mu x} \right]_0^\pi - \int_{\,\,0}^{\,\,\pi } {f'\left( x \right) \cdot \sigma \upsilon \nu x\,dx} = \pi \\ & & & \;\; \Leftrightarrow - f\left( \pi \right)\sigma \upsilon \nu \pi + f\left( 0 \right)\sigma \upsilon \nu 0 + f'\left( \pi \right)\eta \mu \pi - f'\left( 0 \right)\eta \mu 0 = \pi \\ & & & \;\; \Leftrightarrow f\left( \pi \right) + f\left( 0 \right) = \pi \end{array}$

Για $\displaystyle x \ne 0$ , έστω $\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{\eta \mu x}},$ οπότε $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) \cdot \eta \mu x = 1 \cdot 0 = 0$

Αφού η $\displaystyle f(x)$ είναι συνεχής στο $\displaystyle x_0=0$ , είναι $\displaystyle f(0) = 0$

Οπότε $\displaystyle f\left( \pi \right) = \pi$

Eίναι $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)}}{{\eta \mu x}} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{f\left( x \right)}}{x}}}{{\frac{{\eta \mu x}}{x}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)}}{x}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\eta \mu x}}{x}}} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1$

άρα $\displaystyle\[f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} = \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1$

dopfev · #4

Για το Δ3 κάποια ιδέα;

hsiodos · #5

dopfev έγραψε:Για το Δ3 κάποια ιδέα;

Μηδενική επι φραγμένη.

Λάμπρος Μπαλός · #6

dopfev έγραψε:Για το Δ3 κάποια ιδέα;

Το γεγονός ότι f(R)=R

με την

συνεχή και γνησίως αύξουσα δείχνει ότι το όριο της

στο $+ \infty$ ισούται με $+ \infty$ . Το όριο πλέον αντιμετωπίζεται με αυτό που λέμε "μηδενική επί φραγμένη"

themata · #7

κριτηριο παρεμβολης

perpant · #8

dopfev έγραψε:Για το Δ3 κάποια ιδέα;

Από το σύνολο τιμών προκύπτει το όριο της

στο +οο ότι είναι +οο. Οπότε μηδενική επί φραγμένη.

eleni milioti · #9

με κριτήριο παρεμβολής καταλήγω να βρω το $\lim f(x)$ στο $+\infty$ το οποίο απο σύνολο τιμων της

ειναι $+\infty$ . αρα το 1/f(x)

τείνει στο

pito · #10

Για το Δ3

Αφού

γνησίως αύξουσα στο

και συνεχής με σύνολο τιμών το

, θα είναι $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ , άρα f(x)>0

για

μεγάλο θετικό και $-1\leq sinx\leq 1\Leftrightarrow \frac{-1}{f(x)}\leq \frac{sinx}{f(x)}\leq \frac{1}{f(x)}$ , $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow +\infty}(-\frac{1}{f(x)}=0$ , άρα από κριτήριο παρεμβολής , $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{sinx}{f(x)}=0$ , όμοια και $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{cosx}{f(x)}=0$ και το τελικό όριο είναι μηδέν.

Με πρόλαβαν, το αφήνω για τον κόπο.

Βαγγέλης Κορφιάτης · #11

Επειδή $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$ και η f είναι γνησίως αύξουσα ισχύει ότι:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = + \infty$
$\displaystyle{\left| {\frac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{f(x)}}} \right| \leqslant \frac{2}{{|f(x)|}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left| {\frac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{f(x)}}} \right| = 0}$

ann79 · #12

Απόψεις για το Δ2 (β);

themata · #13

για το Γ καποιο σχόλιο;

themata · #14

ann79 έγραψε:Απόψεις για το Δ2 (β);

η

ειναι συνεχης και μη μηδενικη αρα διατηρει σταθερο προσημο με f'(0)=1 >0

dopfev · #15

themata έγραψε:για το Γ καποιο σχόλιο;

Στο Γ2 είναι 4 οι συναρτήσεις ή κάνω λάθος;

Λάμπρος Μπαλός · #16

themata έγραψε:για το Γ καποιο σχόλιο;

αγκάθι για τους μαθητές.
Ας βάλουμε τις λύσεις με ηρεμία και ας αφήσουμε για μετά τα σχόλια.

aggelospap · #17

Τα σωστα λαθος-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ

#18

ΘΕΜΑ Δ

Δ1 Από τη συνέχεια της

έχουμε ότι $\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=f(0)$ . Αν τώρα $f(0)\neq 0$ τότε
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{\sin x}=\pm\infty$ άτοπο.

Επομένως f(0)=0

. Επιπλέον εφαρμόζοντας Del' Hospital (μπορούμε γιατί λόγω της συνέχειας το όριο $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{\cos x}$ υπάρχει), παίρνουμε ότι $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{\cos x}=1$ και από τη συνέχεια της

έπεται ότι f'(0)=1.

Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες δύο φορές έχουμε ότι

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}f''(x)\sin x\, dx=-\int_{0}^{\pi}f'(x)\cos x\, dx=f(\pi)+f(0)-\int_{0}^{\pi}f(x)\sin x\, dx$ , οπότε από τη δοθείσα έχουμε ότι

$f(\pi)+f(0)=\pi$ και αφού f(0)=0

, θα είναι $f(\pi)=\pi.$

Δ2
Με παραγώγιση στη δοθείσα παίρνουμε $\displaystyle e^{f(x)}f'(x)+1=f'(x)f'(f(x))+e^x$
Έστω τώρα

τέτοιο ώστε f'(z)=0

, τότε από την παραπάνω παίρνω ότι e^z=1

δηλαδή

, άτοπο, αφού f'(0)=1

.
Άρα η

δεν έχει ακρότατα.
Επομένως η

είναι μη μηδενιζόμενη και ως συνεχής, διατηρεί σταθερό πρόσημο. Δεδομένου ότι f'(0)=1

, θα έχουμε ότι f'(x)>0

για κάθε

, άρα

γνήσια αύξουσα.

Δ3 $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ , έπεται ότι η

δεν είναι φραγμένη. Αυτό σε συνδυασμό με το γεγονός ότι

είναι γνήσια αύξουσα, συνεπάγεται ότι $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=+\infty$

Επιπλέον $|\sin x+\cos x|\leq 2$ επόμενως είμαστε στην περίπτωση μηδενική επί φραγμένη και το ζητούμενο όριο ισούται με

.

Δ4 Αφού η

είναι γνησίως αύξουσα, θα έχουμε ότι $f(0)=f(\ln 1)\leq f(\ln x)\leq f(\pi)=\pi$ για κάθε $x\in [1,e^{\pi}].$

Επομένως
$\displaystyle 0\leq\int_{1}^{e^{\pi}}\frac{f(\ln x)}{x}\, dx\leq \int_{1}^{e^{\pi}}\frac{\pi}{x}\, dx=\pi^2.$

Η ισότητα αριστερά και δεξιά ισχύει αν και μόνο αν η

είναι σταθερή (λόγω συνέχειας), το οποίο είναι άτοπο καθώς είναι γνησίως αύξουσα.

edit: Έγινε και προσθήκη επεξήγησης γιατί εφαρμόζεται ο κανόνας του l'Hôpital

xrimak · #19

ann79 έγραψε:Απόψεις για το Δ2 (β);

όχι

και συνεχης αρα διατηρει προσημο αρα θετικη απο το f'(0)=1

Nikkie · #20

το Γ4!!

Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Μέλη σε σύνδεση