mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 08, 2015 3:51 pm**

Εδώ θα αναρτήσουμε τα θέματα Μαθηματικών κατεύθυνσης των ομογενών 2015 στα οποία οι υποψήφιοι εξετάζονται σήμερα! Η εξέταση ξεκινά στις 15:30.Εύχομαι καλή τύχη σε όλα τα παιδιά που συμμετέχουν.
Παρακάτω παραθέτουμε τα θέματα για όποιον θέλει να ασχοληθεί.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 08, 2015 5:29 pm**

Εν τάχει το Θέμα Α, είναι:

ΘΕΜΑ Α
Α1. Σχολικό βιβλίο σελ. 189
Α2. Σχολικό βιβλίο σελ. 251
Α3.
α) Σ
β) Λ
γ) Λ
δ) Σ
ε) Σ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 08, 2015 5:53 pm**

Μία λύση στα γρήγορα για το Β).

Β1. Εφόσον ο

είναι ρίζα της εξίσωσης $3x^2+\alpha x +3 =0$ αυτό σημαίνει ότι την επαληθεύει. Οπότε $3z^2 +\alpha z +3 =0$ . Όμως και ο συζυγής του

την επαληθεύει. Επίσης ισχύει ότι $|z|^2 = z\bar{z}$ . Από Vieta έχουμε $z \bar{z}= \frac{\gamma}{a}= 1$ . Άρα |z|=1

όπως θέλαμε.

Β2. Αναπτύσσοντας έχουμε $\displaystyle{|z-1|^2 +|z+1|^2= (z-1)(\bar{z}-1)+ (z+1)(\bar{z}+1)=\cdots=4}$ (απλές πράξεις και χρησιμοποίηση του πρώτου ερωτήματος. ) Γεωμετρικά έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ${\color{red}{\rm AB \Gamma}}$ στην εικόνα του $\color{red}{\Gamma(z)}$ και $\color{red}{A(-1, 0)}$ και $\color{red}{B(1,0)}$

Β3. Δουλεύουμε με γνώμονα τη ταυτότητα $\displaystyle{2\mathfrak{Re}(z) = z+\bar{z}}$ . Από Vieta (ξανά) έχουμε $\displaystyle{z+\bar{z} = - \frac{\alpha}{3}}$ . Οπότε $\alpha= -3$ .

Edit: Τα κόκκινα γράμματα. Μάριε (Marko) ευχαριστώ.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 08, 2015 6:13 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Β2. Αναπτύσσοντας έχουμε $\displaystyle{|z-1|^2 +|z+1|^2= (z-1)(\bar{z}-1)+ (z+1)(\bar{z}+1)=\cdots=4}$ (απλές πράξεις και χρησιμοποίηση του πρώτου ερωτήματος. ) Γεωμετρικά ερμηνεύεται ότι οι εικόνες του κινούνται σε έλλειψη με εστίες $E'(-1, 0), \; E(1, 0)$ και μήκος μεγάλου άξονα .

Είναι ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ στην εικόνα του $\displaystyle{\Gamma \left( z \right)}$ όπου τα σημεία Α και Β του τριγώνου είναι $\displaystyle{A( - 1,0),B(1,0)}$ .
Άσκηση 7 σελ 102 σχολικό βιβλίο.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 08, 2015 6:35 pm**

Εύχομαι επιτυχία στα παιδιά, με τη σειρά μου!

Βατά μου φαίνονται τα θέματα, οι διαβασμένοι μαθητές μπορούσαν να προδσεγγίσουν ακόμα και το 20!

Δε μπορούσαμε να έχουμε τέτοια θέματα και στις κανονικές;

Φιλικά,
Μάριος

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 08, 2015 6:41 pm**

Γ2.
Ύπαρξη ρίζας
f συνεχής στο $\displaystyle{\left[ {1,e} \right]}$ ως πράξεις συνεχών
$\displaystyle{f\left( 1 \right) = - 1}$

$\displaystyle{f\left( e \right) = \frac{{e - 1}}{e} > 0}$

οπότε $\displaystyle{f\left( 1 \right)f\left( e \right) < 0}$

άρα από θεώρημα Bolzano η εξίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) = 0}$ έχει μια τουλάχιστον λύση στο $\displaystyle{\left( {1,e} \right)}$

Μοναδικότητα
$\displaystyle{f'\left( x \right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} > 0}$ άρα f γνησίως αύξουσα όποτε η λύση είναι μοναδική.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 08, 2015 6:47 pm**

Δ4.
Η εξίσωση εφαπτομένης είναι
$\displaystyle{\begin{array}{l} y - f\left( { - 1} \right) = f'\left( { - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow \\ y = - 3ex - 2e \\ \end{array}}$

Η f είναι κυρτή στο $\displaystyle{\left( { - \infty ,0} \right)}$ άρα η $\displaystyle{{C_f}}$ είναι "πάνω" από την εφαπτομένη οπότε
$\displaystyle{f\left( x \right) \ge - 3ex - 2e \Leftrightarrow f\left( x \right) + 3ex + 2e \ge 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( { - \infty ,0} \right)}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 08, 2015 7:23 pm**

Επειδή δεν είναι σωστό να δημοσιεύουμε λάθος λύσεις .Μήπως στον γ.τ. των Μιγαδικών έχουμε κύκλο;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 08, 2015 7:58 pm**

Mr.Dim έγραψε:Επειδή δεν είναι σωστό να δημοσιεύουμε λάθος λύσεις .Μήπως στον γ.τ. των Μιγαδικών έχουμε κύκλο;

Η άσκηση λέει να ερμηνεύσουμε γεωμετρικά την ισότητα $\displaystyle{{\left| {z - 1} \right|^2} + {\left| {z + 1} \right|^2} = 4}$

Η οποία γράφεται ισοδύναμα
$\displaystyle{{\left| {z - 1} \right|^2} + {\left| {z + 1} \right|^2} = {2^2}}$

Θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{A\left( z \right),B\left( {1,0} \right),\Gamma \left( { - 1,0} \right)}$
οπότε η παραπανω σχέση γράφεται $\displaystyle{{\rm A}{{\rm B}^2} + {\rm A}{\Gamma ^2} = {\rm B}{\Gamma ^2}}$
δηλαδή έχουμε ορθογώνιο τρίγωνο στο σημείο Α.

Άσκηση 7 σχολικού σελ 102.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 12, 2015 10:35 am**

M.S.Vovos έγραψε:Εύχομαι επιτυχία στα παιδιά, με τη σειρά μου!

Βατά μου φαίνονται τα θέματα, οι διαβασμένοι μαθητές μπορούσαν να προδσεγγίσουν ακόμα και το 20!

Δε μπορούσαμε να έχουμε τέτοια θέματα και στις κανονικές;

Φιλικά,
Μάριος

Προφανώς και όχι Μάριε. Τα θέματα είναι πολύ απλά! Αν είχαμε τέτοια θέματα στις κανονικές εξετάσεις, αρκετές υψηλόβαθμες σχολές θα ξεπερνούσαν το όριο των 20.000 μορίων χωρίς ειδικό μάθημα...

mathematica.gr

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ 2015

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ 2015

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ 20

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ 20

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ 20

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ 20

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ 20

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ 20

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ 20

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ 20

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ 20