ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 2020

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Καλησπέρα,

Ανεβάζω τα θέματα επαναληπτικών εξετάσεων ημερήσιων λυκείων και ομογενών της 08-9-2020.

Εύχομαι καλή σχολική χρονιά με Υγεία !

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Θα γράψω μία λύση για το τέταρτο θέμα των επαναληπτικών των ημερησίων με το νέο σύστημα.
Το θέμα έχει ως εξής:

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:\left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν :
$f\left ( x \right )\cdot \sigma \upsilon \nu ^{3}x+f'\left ( x \right )\cdot \sigma \upsilon \nu ^{2}x\cdot \eta \mu x-1=0,$ για κάθε $\displaystyle x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ ,
$\displaystyle f\left ( \frac{\pi }{3} \right )=\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$

Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle g\left ( x \right )=f\left ( x \right )\cdot \eta \mu x-\varepsilon \varphi x, x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ είναι σταθερή. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι $\displaystyle f\left ( x \right )=\frac{1}{\eta \mu x}+\frac{1}{\sigma \upsilon \nu x}, x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right ).$

MONAΔΕΣ 6

Δ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

παρουσιάζει μοναδικό ολικό ελάχιστο στο $\displaystyle x_{o}=\frac{\pi }{4},$ το οποίο και να βρείτε.

MONAΔΕΣ 6

Δ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f\left ( x \right )=3\sqrt{2}$ στο διάστημα $\displaystyle\left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ έχει ακριβώς δύο ρίζες $\rho_{1},\rho _{2},$ με $\rho_{1}<\rho _{2}.$

MONAΔΕΣ 6

Δ4. Να αποδείξετε ότι $f'\left ( \rho _{2} \right )\left ( 4\rho _{2}-\pi \right )> 4\sqrt{2},$ όπου $\rho _{2}$ η ρίζα του ερωτήματος Δ3.

MONAΔΕΣ 7

ΛΥΣΗ

Δ1 Η δοσμένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle \sigma \upsilon \nu ^{2}x\left [ f\left ( x \right )\sigma \upsilon \nu x+f'\left ( x \right )\eta \mu x \right ]=1\Leftrightarrow$

$\displaystyle f\left ( x \right )\sigma \upsilon \nu x+f'\left ( x \right )\eta \mu x =\frac{1}{\sigma \upsilon \nu ^{2}x}\Leftrightarrow$

$\displaystyle f\left ( x \right )\left ( \eta \mu x \right )'+f'\left ( x \right )\eta \mu x =\frac{1}{\sigma \upsilon \nu ^{2}x}\Leftrightarrow$

$\left [ f\left ( x \right )\eta \mu x \right ]'=\left ( \varepsilon \varphi x \right )'$ για κάθε $\displaystyle x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$

Άρα μπορώ να γράψω ότι ισχύει στο διάστημα αυτό $f\left ( x \right )\eta \mu x=\varepsilon \varphi x+c$ , όπου

σταθερά.

Για $\displaystyle x=\frac{\pi }{3}$ προκύπτει ότι

$\displaystyle f\left ( \frac{\pi }{3} \right )\eta \mu \frac{\pi }{3}=\varepsilon \varphi \frac{\pi }{3}+c\Leftrightarrow\frac{6+2\sqrt{3}}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}+c\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow c=1$

Άρα για κάθε $\displaystyle x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ ισχύει $\displaystyle f\left ( x \right )\eta \mu x=\varepsilon \varphi x+1\Leftrightarrow f\left ( x \right )=\frac{\varepsilon \varphi x}{\eta \mu x}+\frac{1}{\eta \mu x}\Leftrightarrow f\left ( x \right )=\frac{1}{\sigma \upsilon \nu x}+\frac{1}{\eta \mu x}$

Πλέον είναι πολύ εύκολο να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση $g\left ( x \right )$ είναι σταθερή στο $\displaystyle \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$

$\displaystyle g\left ( x \right )=f\left ( x \right )\eta \mu x-\varepsilon \varphi x=\left ( \frac{1}{\eta \mu x}+\frac{1}{\sigma \upsilon \nu x} \right )\eta \mu x-\varepsilon \varphi x=1+\frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu x}-\varepsilon \varphi x=1$

Δ2 $\displaystyle f'\left ( x \right )=\left ( \frac{1}{\eta \mu x} \right )'+\left ( \frac{1}{\sigma \upsilon \nu x} \right )'=\frac{-\sigma \upsilon \nu x}{\eta \mu ^{2}x}+\frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu ^{2}x}=\frac{\eta \mu ^{3}x-\sigma \upsilon \nu ^{3}x}{\eta \mu ^{2}x\sigma \upsilon \nu ^{2}x}$

$f'\left ( x \right )=0\Leftrightarrow \eta \mu ^{3}x-\sigma \upsilon \nu ^{3}x=0\Leftrightarrow \left ( \eta \mu x-\sigma \upsilon \nu x \right )\left ( \eta \mu ^{2}x-\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x+\sigma \upsilon \nu ^{2}x \right )=0$

Αφού $\displaystyle x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ έχουμε ότι $\eta \mu x> 0, \sigma \upsilon \nu x> 0.$

Έτσι λοιπόν $\eta \mu ^{2}x-\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x+\sigma \upsilon \nu ^{2}x>0.$

Συνεπώς η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα $\eta \mu x-\sigma \upsilon \nu x=0\Leftrightarrow \eta \mu x=\sigma \upsilon \nu x$

H μοναδική λύση της εξίσωσης αυτής στο $\displaystyle \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ είναι η $\displaystyle x_{0}=\frac{\pi }{4}$

Θα εξεταστεί η μονοτονία της

στα διαστήματα $\displaystyle \left ( 0,\frac{\pi }{4} \right )$ και $\displaystyle \left ( \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2} \right )$

$\displaystyle f'\left ( x \right )>0\Leftrightarrow \eta \mu ^{3}x> \sigma \upsilon \nu ^{3}x\Leftrightarrow \eta \mu x> \sigma \upsilon \nu x\Leftrightarrow \frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu x}> 1\Leftrightarrow \varepsilon\varphi x> 1\Leftrightarrow$

$\displaystyle \varepsilon \varphi x> \varepsilon \varphi \frac{\pi }{4}\Leftrightarrow \frac{\pi }{2}> x> \frac{\pi }{4}$

Με αντίστοιχες σκέψεις συμπεραίνει κάποιος ότι $\displaystyle f'\left ( x \right )< 0\Leftrightarrow \frac{\pi }{4}> x> 0$

Στην επίλυση των παραπάνω ανισώσεων ελήφθη υπ' όψιν το γεγονός ότι η συνάρτηση ''εφαπτομένη'' είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$

Το πρόσημο της

μπορεί να βρεθεί και διαφορετικά, ας το δούμε...

Η

είναι συνεχής στο $\displaystyle \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ , άρα το πρόσημό της στο $\displaystyle \left ( 0,\frac{\pi }{4} \right )$ είναι το ίδιο με το πρόσημο της τιμής της σε κάποιο σημείο του διαστήματος αυτού.

$\displaystyle f'\left ( \frac{\pi }{6} \right )=\frac{\eta\mu ^{3} \frac{\pi }{6} -\sigma \upsilon \nu ^{3} \frac{\pi }{6} }{\eta \mu ^{2}\frac{\pi }{6}\sigma \upsilon \nu ^{3}\frac{\pi }{6}}=\frac{\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}-\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{3}}{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}}=...=\frac{2\left ( 1-3\sqrt{3} \right )}{3}< 0$

Η

είναι συνεχής στο $\displaystyle \left (0 ,\frac{\pi }{2} \right )$ , άρα το πρόσημό της στο $\displaystyle \left ( \frac{\pi }{4}, \frac{\pi }{2}\right )$ είναι το ίδιο με το πρόσημο της τιμής της σε κάποιο σημείο του διαστήματος αυτού.

$\displaystyle f'\left ( \frac{\pi }{3} \right )=\frac{\eta\mu ^{3} \frac{\pi }{3} -\sigma \upsilon \nu ^{3} \frac{\pi }{3} }{\eta \mu ^{2}\frac{\pi }{3}\sigma \upsilon \nu ^{3}\frac{\pi }{3}}=\frac{\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{3}-\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}}{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}}=...=\frac{2\left ( 3\sqrt{3}-1 \right )}{3}> 0$

Έτσι λοιπόν η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle \left ( 0,\frac{\pi }{4} \right )$ και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left (\frac{\pi }{4} ,\frac{\pi }{2} \right )$ , άρα εμφανίζει ολικό ελάχιστο στο $\displaystyle x_{0}=\frac{\pi }{4}$ με τιμή
$\displaystyle f\left ( \frac{\pi }{4} \right )=\frac{1}{\eta \mu \frac{\pi }{4}}+\frac{1}{\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{4}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{4}}{2}}+\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

Δ3 Ισχύει ότι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left ( \frac{1}{\eta \mu x}+\frac{1}{\sigma \upsilon \nu x} \right )=(+\infty )+1=+\infty$

και ότι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}\left ( \frac{1}{\eta \mu x}+\frac{1}{\sigma \upsilon \nu x} \right )=1+(+\infty )=+\infty$

Αυτό σημαίνει ότι η συνεχής συνάρτηση

απεικονίζει το διάστημα $\displaystyle\left ( 0,\frac{\pi }{4} \right ]$ , στο οποίο είναι γνησίως

φθίνουσα, στο $\left [2\sqrt{2},+\infty \right )$ και το διάστημα $\displaystyle\left [\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2} \right )$ ,στο οποίο

είναι γνησίως αύξουσα, πάλι στο $\displaystyle \left [2\sqrt{2},+\infty \right )$ . Φυσικά $\displaystyle 3\sqrt{2}\epsilon \left [2\sqrt{2},+\infty \right ).$

Έτσι λοιπόν υπάρχει ακριβώς ένα $\displaystyle \rho _{1}\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{4} \right )$ τέτοιο ώστε $f\left ( \rho _{1} \right )=3\sqrt{2}$ και ακριβώς ένα $\displaystyle \rho _{2}\epsilon \left ( \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2} \right )$ τέτοιο ώστε $f\left ( \rho _{2} \right )=3\sqrt{2}.$ Φυσικά $\displaystyle 0<\rho _{1}< \frac{\pi }{4}<\rho _{2}<\frac{\pi }{2}$

Δ4 Για την

ισχύουν οι δύο συνθήκες για να ισχύει το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού στο $\displaystyle \left [ \frac{\pi }{4},\rho _{2} \right ]$ . Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle \xi \epsilon \left ( \frac{\pi }{4},\rho _{2} \right )$ τέτοιο ώστε $\displaystyle f'\left ( \xi \right )=\frac{f\left ( \rho _{2} \right )-f\left ( \frac{\pi }{4} \right )}{\rho _{2}-\frac{\pi }{4}}=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{\rho _{2}-\frac{\pi }{4}}=\frac{4\sqrt{2}}{4\rho _{2}-\pi }$

Συνεπώς για αυτό το $\xi$ ισχύει ότι $f'\left ( \xi \right )\left ( 4\rho _{2} -\pi \right )=4\sqrt{2}$ .

Έχουμε δει ότι $\displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu ^{2}x}-\frac{\sigma \upsilon \nu x}{\eta \mu ^{2}x}$

Έτσι λοιπόν $\displaystyle f''\left ( x \right )=\left ( \frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu ^{2}x} \right )'-\left ( \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\eta \mu ^{2}x} \right )'=...=\frac{\sigma \upsilon \nu ^{2}x+2\eta \mu ^{2}x}{\sigma\upsilon \nu ^{3}x}+\frac{\eta \mu ^{2}x+2\sigma \upsilon \nu ^{2}x}{\eta \mu ^{3}x}>0$ για κάθε $\displaystyle x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$

Συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$

Έτσι $\xi <\rho _{2}\Rightarrow f'\left ( \xi \right )< f'\left ( \rho _{2} \right )\Rightarrow f'\left ( \xi \right )\left ( 4\rho _{2}-\pi \right )< f'\left ( \rho _{2} \right )\left ( 4\rho _{2} -\pi \right )\Rightarrow 4\sqrt{2}< f'\left ( \rho _{2} \right )\left ( 4\rho _{2} -\pi \right )$ .

Νομίζω ότι όλοι καταλαβαίνουν ότι $4\rho _{2} -\pi>0$ αφού $\displaystyle\frac{\pi }{4}< \rho _{2}$ κι έτσι η φορά της διάταξης μένει ίδια...

Στα όσα έχω γράψει θα ήθελα να κάνω μία προσθήκη: Έχει η γραφική παράσταση της άξονα συμμετρίας;

Αν τουλάχιστον ένα παιδί ωφεληθεί από αυτήν τη δημοσίευση, θα μείνω ικανοποιημένος...

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 25, 2021 6:54 pm
Θα γράψω μία λύση για το τέταρτο θέμα των επαναληπτικών των ημερησίων με το νέο σύστημα.
Το θέμα έχει ως εξής:

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:\left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν :
$f\left ( x \right )\cdot \sigma \upsilon \nu ^{3}x+f'\left ( x \right )\cdot \sigma \upsilon \nu ^{2}x\cdot \eta \mu x-1=0,$ για κάθε $\displaystyle x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ ,
$\displaystyle f\left ( \frac{\pi }{3} \right )=\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$

Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle g\left ( x \right )=f\left ( x \right )\cdot \eta \mu x-\varepsilon \varphi x, x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ είναι σταθερή. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι $\displaystyle f\left ( x \right )=\frac{1}{\eta \mu x}+\frac{1}{\sigma \upsilon \nu x}, x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right ).$

MONAΔΕΣ 6

Δ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει μοναδικό ολικό ελάχιστο στο $\displaystyle x_{o}=\frac{\pi }{4},$ το οποίο και να βρείτε.

MONAΔΕΣ 6

Δ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f\left ( x \right )=3\sqrt{2}$ στο διάστημα $\displaystyle\left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ έχει ακριβώς δύο ρίζες $\rho_{1},\rho _{2},$ με $\rho_{1}<\rho _{2}.$

MONAΔΕΣ 6

Δ4. Να αποδείξετε ότι $f'\left ( \rho _{2} \right )\left ( 4\rho _{2}-\pi \right )> 4\sqrt{2},$ όπου $\rho _{2}$ η ρίζα του ερωτήματος Δ3.

MONAΔΕΣ 7

ΛΥΣΗ

Δ1 Η δοσμένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle \sigma \upsilon \nu ^{2}x\left [ f\left ( x \right )\sigma \upsilon \nu x+f'\left ( x \right )\eta \mu x \right ]=1\Leftrightarrow$

$\displaystyle f\left ( x \right )\sigma \upsilon \nu x+f'\left ( x \right )\eta \mu x =\frac{1}{\sigma \upsilon \nu ^{2}x}\Leftrightarrow$

$\displaystyle f\left ( x \right )\left ( \eta \mu x \right )'+f'\left ( x \right )\eta \mu x =\frac{1}{\sigma \upsilon \nu ^{2}x}\Leftrightarrow$

$\left [ f\left ( x \right )\eta \mu x \right ]'=\left ( \varepsilon \varphi x \right )'$ για κάθε $\displaystyle x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$

Άρα μπορώ να γράψω ότι ισχύει στο διάστημα αυτό $f\left ( x \right )\eta \mu x=\varepsilon \varphi x+c$ , όπου σταθερά.

Για $\displaystyle x=\frac{\pi }{3}$ προκύπτει ότι

$\displaystyle f\left ( \frac{\pi }{3} \right )\eta \mu \frac{\pi }{3}=\varepsilon \varphi \frac{\pi }{3}+c\Leftrightarrow\frac{6+2\sqrt{3}}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}+c\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow c=1$

Άρα για κάθε $\displaystyle x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ ισχύει $\displaystyle f\left ( x \right )\eta \mu x=\varepsilon \varphi x+1\Leftrightarrow f\left ( x \right )=\frac{\varepsilon \varphi x}{\eta \mu x}+\frac{1}{\eta \mu x}\Leftrightarrow f\left ( x \right )=\frac{1}{\sigma \upsilon \nu x}+\frac{1}{\eta \mu x}$

Πλέον είναι πολύ εύκολο να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση $g\left ( x \right )$ είναι σταθερή στο $\displaystyle \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$

$\displaystyle g\left ( x \right )=f\left ( x \right )\eta \mu x-\varepsilon \varphi x=\left ( \frac{1}{\eta \mu x}+\frac{1}{\sigma \upsilon \nu x} \right )\eta \mu x-\varepsilon \varphi x=1+\frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu x}-\varepsilon \varphi x=1$

Δ2 $\displaystyle f'\left ( x \right )=\left ( \frac{1}{\eta \mu x} \right )'+\left ( \frac{1}{\sigma \upsilon \nu x} \right )'=\frac{-\sigma \upsilon \nu x}{\eta \mu ^{2}x}+\frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu ^{2}x}=\frac{\eta \mu ^{3}x-\sigma \upsilon \nu ^{3}x}{\eta \mu ^{2}x\sigma \upsilon \nu ^{2}x}$

$f'\left ( x \right )=0\Leftrightarrow \eta \mu ^{3}x-\sigma \upsilon \nu ^{3}x=0\Leftrightarrow \left ( \eta \mu x-\sigma \upsilon \nu x \right )\left ( \eta \mu ^{2}x-\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x+\sigma \upsilon \nu ^{2}x \right )=0$

Αφού $\displaystyle x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ έχουμε ότι $\eta \mu x> 0, \sigma \upsilon \nu x> 0.$

Έτσι λοιπόν $\eta \mu ^{2}x-\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x+\sigma \upsilon \nu ^{2}x>0.$

Συνεπώς η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα $\eta \mu x-\sigma \upsilon \nu x=0\Leftrightarrow \eta \mu x=\sigma \upsilon \nu x$

H μοναδική λύση της εξίσωσης αυτής στο $\displaystyle \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ είναι η $\displaystyle x_{0}=\frac{\pi }{4}$

Θα εξεταστεί η μονοτονία της στα διαστήματα $\displaystyle \left ( 0,\frac{\pi }{4} \right )$ και $\displaystyle \left ( \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2} \right )$

$\displaystyle f'\left ( x \right )>0\Leftrightarrow \eta \mu ^{3}x> \sigma \upsilon \nu ^{3}x\Leftrightarrow \eta \mu x> \sigma \upsilon \nu x\Leftrightarrow \frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu x}> 1\Leftrightarrow \varepsilon\varphi x> 1\Leftrightarrow$

$\displaystyle \varepsilon \varphi x> \varepsilon \varphi \frac{\pi }{4}\Leftrightarrow \frac{\pi }{2}> x> \frac{\pi }{4}$

Με αντίστοιχες σκέψεις συμπεραίνει κάποιος ότι $\displaystyle f'\left ( x \right )< 0\Leftrightarrow \frac{\pi }{4}> x> 0$

Στην επίλυση των παραπάνω ανισώσεων ελήφθη υπ' όψιν το γεγονός ότι η συνάρτηση ''εφαπτομένη'' είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$

Το πρόσημο της μπορεί να βρεθεί και διαφορετικά, ας το δούμε...

Η είναι συνεχής στο $\displaystyle \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ , άρα το πρόσημό της στο $\displaystyle \left ( 0,\frac{\pi }{4} \right )$ είναι το ίδιο με το πρόσημο της τιμής της σε κάποιο σημείο του διαστήματος αυτού.

$\displaystyle f'\left ( \frac{\pi }{6} \right )=\frac{\eta\mu ^{3} \frac{\pi }{6} -\sigma \upsilon \nu ^{3} \frac{\pi }{6} }{\eta \mu ^{2}\frac{\pi }{6}\sigma \upsilon \nu ^{3}\frac{\pi }{6}}=\frac{\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}-\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{3}}{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}}=...=\frac{2\left ( 1-3\sqrt{3} \right )}{3}< 0$

Η είναι συνεχής στο $\displaystyle \left (0 ,\frac{\pi }{2} \right )$ , άρα το πρόσημό της στο $\displaystyle \left ( \frac{\pi }{4}, \frac{\pi }{2}\right )$ είναι το ίδιο με το πρόσημο της τιμής της σε κάποιο σημείο του διαστήματος αυτού.

$\displaystyle f'\left ( \frac{\pi }{3} \right )=\frac{\eta\mu ^{3} \frac{\pi }{3} -\sigma \upsilon \nu ^{3} \frac{\pi }{3} }{\eta \mu ^{2}\frac{\pi }{3}\sigma \upsilon \nu ^{3}\frac{\pi }{3}}=\frac{\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{3}-\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}}{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}}=...=\frac{2\left ( 3\sqrt{3}-1 \right )}{3}> 0$

Έτσι λοιπόν η είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle \left ( 0,\frac{\pi }{4} \right )$ και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left (\frac{\pi }{4} ,\frac{\pi }{2} \right )$ , άρα εμφανίζει ολικό ελάχιστο στο $\displaystyle x_{0}=\frac{\pi }{4}$ με τιμή
$\displaystyle f\left ( \frac{\pi }{4} \right )=\frac{1}{\eta \mu \frac{\pi }{4}}+\frac{1}{\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{4}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{4}}{2}}+\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

Δ3 Ισχύει ότι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left ( \frac{1}{\eta \mu x}+\frac{1}{\sigma \upsilon \nu x} \right )=(+\infty )+1=+\infty$

και ότι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}\left ( \frac{1}{\eta \mu x}+\frac{1}{\sigma \upsilon \nu x} \right )=1+(+\infty )=+\infty$

Αυτό σημαίνει ότι η συνεχής συνάρτηση απεικονίζει το διάστημα $\displaystyle\left ( 0,\frac{\pi }{4} \right ]$ , στο οποίο είναι γνησίως

φθίνουσα, στο $\left [2\sqrt{2},+\infty \right )$ και το διάστημα $\displaystyle\left [\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2} \right )$ ,στο οποίο

είναι γνησίως αύξουσα, πάλι στο $\displaystyle \left [2\sqrt{2},+\infty \right )$ . Φυσικά $\displaystyle 3\sqrt{2}\epsilon \left [2\sqrt{2},+\infty \right ).$

Έτσι λοιπόν υπάρχει ακριβώς ένα $\displaystyle \rho _{1}\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{4} \right )$ τέτοιο ώστε $f\left ( \rho _{1} \right )=3\sqrt{2}$ και ακριβώς ένα $\displaystyle \rho _{2}\epsilon \left ( \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2} \right )$ τέτοιο ώστε $f\left ( \rho _{2} \right )=3\sqrt{2}.$ Φυσικά $\displaystyle 0<\rho _{1}< \frac{\pi }{4}<\rho _{2}<\frac{\pi }{2}$

Δ4 Για την ισχύουν οι δύο συνθήκες για να ισχύει το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού στο $\displaystyle \left [ \frac{\pi }{4},\rho _{2} \right ]$ . Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle \xi \epsilon \left ( \frac{\pi }{4},\rho _{2} \right )$ τέτοιο ώστε $\displaystyle f'\left ( \xi \right )=\frac{f\left ( \rho _{2} \right )-f\left ( \frac{\pi }{4} \right )}{\rho _{2}-\frac{\pi }{4}}=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{\rho _{2}-\frac{\pi }{4}}=\frac{4\sqrt{2}}{4\rho _{2}-\pi }$

Συνεπώς για αυτό το $\xi$ ισχύει ότι $f'\left ( \xi \right )\left ( 4\rho _{2} -\pi \right )=4\sqrt{2}$ .

Έχουμε δει ότι $\displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu ^{2}x}-\frac{\sigma \upsilon \nu x}{\eta \mu ^{2}x}$

Έτσι λοιπόν $\displaystyle f''\left ( x \right )=\left ( \frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu ^{2}x} \right )'-\left ( \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\eta \mu ^{2}x} \right )'=...=\frac{\sigma \upsilon \nu ^{2}x+2\eta \mu ^{2}x}{\sigma\upsilon \nu ^{3}x}+\frac{\eta \mu ^{2}x+2\sigma \upsilon \nu ^{2}x}{\eta \mu ^{3}x}>0$ για κάθε $\displaystyle x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$

Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$

Έτσι $\xi <\rho _{2}\Rightarrow f'\left ( \xi \right )< f'\left ( \rho _{2} \right )\Rightarrow f'\left ( \xi \right )\left ( 4\rho _{2}-\pi \right )< f'\left ( \rho _{2} \right )\left ( 4\rho _{2} -\pi \right )\Rightarrow 4\sqrt{2}< f'\left ( \rho _{2} \right )\left ( 4\rho _{2} -\pi \right )$ .

Νομίζω ότι όλοι καταλαβαίνουν ότι $4\rho _{2} -\pi>0$ αφού $\displaystyle\frac{\pi }{4}< \rho _{2}$ κι έτσι η φορά της διάταξης μένει ίδια...

Στα όσα έχω γράψει θα ήθελα να κάνω μία προσθήκη: Έχει η γραφική παράσταση της άξονα συμμετρίας;

Αν τουλάχιστον ένα παιδί ωφεληθεί από αυτήν τη δημοσίευση, θα μείνω ικανοποιημένος...

Δίνω τη γραφική παράσταση της

: Επαναληπτικές 2020.png (11.12 KiB) Προβλήθηκε 1803 φορές

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Να ευχαριστήσω το Γιώργο για τη γραφική παράσταση που δημοσίευσε.
Θα ήθελα να δοθεί λεπτομερής λύση στο πρόσθετο ερώτημα που έθεσα: Έχει η γραφική παράσταση της άξονα συμμετρίας;
Εποπτικά είναι εύκολο πλέον να δοθεί απάντηση, σκεφθείτε όμως να ήταν σκέλος του θέματος. Πώς θα το διαπραγματευόταν κάποιος πετυχημένα;
Ας το δούμε για χάρη των παιδιών...

#5

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f : ℝ \to ℝ$ με τύπο f(x)=x^3

.

Γ1. Να αποδείξετε ότι από το σημείο N(-2,f(-2))

διέρχονται δύο ακριβώς εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f και να βρείτε τις εξισώσεις τους.......... Μονάδες 8

Γ2. Έστω $(\epsilon) : y=3x-2$ η μία από τις δύο εφαπτομένες του ερωτήματος Γ1. Έστω ακόμα $(\zeta)$ ευθεία η οποία είναι παράλληλη στην $(\epsilon)$ και διέρχεται από το σημείο M(0,a)

με

. Να αποδείξετε ότι ανάμεσα στις ευθείες x=-1

και

υπάρχει ακριβώς ένα σημείο τομής της $(\zeta)$ με τη γραφική παράσταση της

. .......... Μονάδες 9

Γ3. Ένα υλικό σημείο M(x, x^3)

κινείται κατά μήκος της καμπύλης y= x^3

με ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του x΄(t)>0

. Το σημείο

ξεκινά από το σημείο N(-2, -8)

και καταλήγει στην αρχή τω αξόνων

. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του σημείου

είναι τριπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τετμημένης του; ............... Μονάδες 8

Λύση

Γ1. $\displaystyle f'(x) = 3{x^2}.$ Έστω $(\epsilon)$ η εφαπτομένη της C_f

στο σημείο A(x_0, f(x_0)).

Οι συντεταγμένες του N(-2,f(-2))

επαληθεύουν την εξίσωση $\displaystyle (\varepsilon ):y - {x_0}^3 = 3{x_0}^2(x - {x_0}),$ άρα:

$\displaystyle - 8 - {x_0}^3 = 3{x_0}^2( - 2 - {x_0}) \Leftrightarrow {x_0}^3 + 3{x_0}^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow ({x_0} - 1){({x_0} + 2)^2} = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 1$ ή x_0=-2.

Έχουμε λοιπόν δύο εφαπτόμενες με εξισώσεις $\boxed{(\varepsilon ):y = 3x - 2}$ και $\boxed{(\varepsilon '):y = 12x + 16}$

Γ2. Είναι η άσκηση

της Β' ΟΜΑΔΑΣ του σχολικού βιβλίου στο κεφάλαιο "Συνέπειες του ΘΜΤ".

Γ3. $\displaystyle y(t) = {x^3}(t)$ και $\displaystyle y'(t) = 3{x^2}(t) \cdot x'(t), -2\le x(t)\le 0.$

Έστω t_0

η χρονική στιγμή όπου η τεταγμένη του

έχει ρυθμό μεταβολής τριπλάσιο της τετμημένης του.

$\displaystyle y'({t_0}) = 3x'({t_0}) \Leftrightarrow 3{x^2}({t_0}) \cdot x'({t_0}) = 3x'({t_0}) \Leftrightarrow {x^2}({t_0}) = 1$

κι επειδή $-2\le x(t)\le 0,$ θα είναι $\displaystyle x({t_0}) = - 1 \Rightarrow y({t_0}) = - 1$ και το ζητούμενο σημείο M(-1,-1).

Σχόλια:
1. Το ερώτημα Γ2 είναι άσκηση του σχολικού βιβλίου, κάτι που παρατηρούμε όλο και συχνότερα τα τελευταία χρόνια και κατά την άποψή μου αποτελεί θετικό στοιχείο.

2. Το ελληνικό αλφάβητο έχει (δόξα τω Θεώ) 24 γράμματα. Πώς είναι δυνατόν να επιλεχθεί το γράμμα Μ για δύο διαφορετικά σημεία στην ίδια άσκηση;

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

O Γιώργος Βισβίκης έκανε πολύ καλά που έλυσε το τρίτο θέμα από τις επαναληπτικές πανελλήνιες του 2020 με το νέο σύστημα. Τα θέματα των επαναληπτικών ας μην τα προσπερνάμε...

Είχα θέσει ένα ερώτημα τελειώνοντας τη δημοσίευση της λύσης του τέταρτου θέματος από τις επαναληπτικές πανελλήνιες του 2020 με το νέο σύστημα.
Έχει η γραφική παράσταση της άξονα συμμετρίας;

Από τη γραφική παράσταση που δημοσίευσε ο Γιώργος Βισβίκης φαίνεται ότι η ευθεία $\displaystyle x=\frac{\pi }{4}$ αποτελεί απάντηση στο ερώτημα. Πώς όμως αυτό αποδεικνύεται;

Πρώτα πρέπει να αποδειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της

είναι ''συμμετρικό'' ως προς το $\displaystyle\frac{\pi }{4}$ . Η λέξη που μπήκε σε εισαγωγικά μπήκε γιατί είναι μάλλον αδόκιμη, ουδέποτε την είδα κάπου γραμμένη σε παρόμοιο θέμα...

$\displaystyle0< x< \frac{\pi }{4}\Leftrightarrow -\frac{\pi }{4}< -x< 0\Leftrightarrow \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}< \frac{\pi }{2}-x< \frac{\pi }{2}\Leftrightarrow \frac{\pi }{4}< \frac{\pi }{2}-x< \frac{\pi }{2}$

Μετά, χρησιμοποιώντας τα γνωστά από την Τριγωνομετρία και τα συμπληρωματικά τόξα, μπορούμε αμέσως να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle f\left ( x \right )=f\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )$ .

Άρα η ευθεία $\displaystyle x=\frac{\pi }{4}$ είναι άξονας συμμετρίας της γραφικής παράστασης της

.

Ένα άλλο ωραίο συμπέρασμα που προκύπτει είναι το εξής:

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}f\left ( x \right )dx=\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}f(x)dx$

Το ζητούμενο αυτό είναι εκτός ύλης μετά τις περικοπές που έγιναν για το 2020 και το 2021.

Η ύλη της Ανάλυσης της Τρίτης Λυκείου ανέκαθεν περιλάμβανε τις άρτιες και τις περιττές συναρτήσεις και τις όμορφες συμμετρίες που πηγάζουν από αυτές. Εδώ βλέπουμε μια συμμετρία σε συνάρτηση που δεν περιλαμβάνεται στις δύο αυτές περιπτώσεις.

Al.Koutsouridis · #7

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 29, 2021 11:12 am

Είχα θέσει ένα ερώτημα τελειώνοντας τη δημοσίευση της λύσης του τέταρτου θέματος από τις επαναληπτικές πανελλήνιες του 2020 με το νέο σύστημα.
Έχει η γραφική παράσταση της άξονα συμμετρίας;

Θα μπορούσαμε να δυσκολέψουμε λίγο ακόμα το ερώτημα, ζητώντας να βρεθούν οι άξονες συμμετρίας της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #8

Στην παρούσα δημοσίευση θα δούμε το τέταρτο θέμα από τις Επαναληπτικές Πανελλήνιες Εξετάσεις του 2020 με το Παλιό Σύστημα. Νομίζω ότι αξίζει να του ρίξετε μια ματιά...

Έστω $\displaystyle f:\left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ μια συνεχής συνάρτηση τέτοια, ώστε για κάθε $\displaystyle x\epsilon \left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$ να ισχύει :

$x\cdot f\left ( x \right )=\sigma \upsilon \nu x-1.$

Δ1. Να αποδείξετε ότι $f\left ( x \right ) =\begin{cases} \displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x-1}{x}, x\epsilon \left [ -\frac{\pi }{2},0 \right )\cup \left (0,\frac{\pi }{2} \right ] \\ 0, x=0 \end{cases}$
MONAΔΕΣ 3

Δ2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $I=\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f\left ( x \right )dx$
MONAΔΕΣ 4

Δ3. Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$
MONAΔΕΣ 7

Δ4. Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση $2020\cdot \sigma \upsilon \nu x-x=2020$

έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$
MONAΔΕΣ 4

Δ5. Έστω

μια αρχική συνάρτηση της

στο διάστημα $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$ με $F\left ( 0 \right )=\rho ,$ όπου $\rho$ η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (Δ4).
Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle x\epsilon\left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$ ισχύει $\pi \cdot \left | F\left ( x \right ) \right |\leq 2\cdot \left | x \right |.$

MONAΔΕΣ 7

ΛΥΣΗ

Δ1. Aν $x\neq 0$ τότε από τη δοσμένη ισότητα προκύπτει ότι $\displaystyle f\left ( x \right ) =\frac{\sigma \upsilon \nu x-1}{x}$
Aν x=0

τι γίνεται; Η

είναι συνεχής στο

από τα δεδομένα, συνεπώς $\displaystyle f\left ( 0 \right )=\lim_{x\rightarrow 0}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sigma \upsilon \nu x-1}{x}=0$

Έτσι $f\left ( x \right ) =\begin{cases} \displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x-1}{x}, x\epsilon \left [ -\frac{\pi }{2},0 \right )\cup \left (0,\frac{\pi }{2} \right ] \\ 0, x=0 \end{cases}$

Δ2. H

είναι ορισμένη στο διάστημα $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$ . Αυτό εξασφαλίζει ότι για κάθε $\displaystyle x\epsilon\left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$ θα ισχύει ότι $\displaystyle -x\epsilon\left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$

Για $x\neq 0$ ισχύει ότι $\displaystyle f\left ( -x \right )=\frac{\sigma \upsilon \nu \left ( -x \right )-1}{-x}=-\frac{\sigma \upsilon \nu x-1}{x}=-f\left ( x \right )$

Αυτό σημαίνει ότι η

είναι περιττή στο διάστημα $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$ .

Άρα $I=\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f\left ( x \right )dx=0$

Δ3. Θα εξεταστεί η παραγωγισιμότητα της

στο

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f\left ( x \right )-f\left ( 0 \right )}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sigma \upsilon \nu x-1}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\eta \mu x}{2x}=-\frac{1}{2}$

Για $\displaystyle x\epsilon \left [ -\frac{\pi }{2} ,0\right )\cup \left (0,\frac{\pi }{2} \right ]$ η

είναι παραγωγίσιμη με

$\displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{\left ( \sigma \upsilon \nu x-1 \right )'\cdot x-\left ( \sigma \upsilon \nu x-1 \right )\cdot \left ( x \right )'}{x^{2}}=\frac{1-\sigma \upsilon \nu x-x\cdot \eta \mu x}{x^{2}}$

Έτσι μπορεί να γραφεί ότι $\displaystyle{f'\left ( x \right ) =\begin{cases} \displaystyle \frac{1-\sigma \upsilon \nu x-x\cdot \eta \mu x}{x^{2}}, x\epsilon \left [ -\frac{\pi }{2},0 \right )\cup \left (0,\frac{\pi }{2} \right ] \\ \displaystyle -\frac{1}{2}, x=0 \end{cases}}$

Αυτό που οφείλω να αποδείξω είναι ότι $1-\sigma \upsilon \nu x-x\cdot \eta \mu x<0$ για κάθε $\displaystyle x\epsilon \left ( -\frac{\pi }{2} ,0\right )\cup \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$

$1-\sigma \upsilon \nu x-x\cdot \eta \mu x=\eta \mu ^{2}x+\sigma\upsilon \nu ^{2}x-\sigma \upsilon \nu x-x\cdot \eta \mu x=\eta \mu x\left ( \eta \mu x-x \right )+\sigma \upsilon \nu x\left ( \sigma \upsilon \nu x-1 \right )$

Στο $\displaystyle \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ ισχύει ότι $\eta \mu x> 0, \eta \mu x-x< 0, \sigma \upsilon \nu x >0, \sigma \upsilon \nu x-1< 0$

Έτσι στο διάστημα αυτό ισχύει ότι $\eta \mu x\left ( \eta \mu x-x \right )+\sigma \upsilon \nu x\left ( \sigma \upsilon \nu x-1 \right )<0$

Στο $\displaystyle\left ( -\frac{\pi }{2} ,0\right )$ ισχύει ότι $\eta \mu x<0, \eta \mu x-x> 0, \sigma \upsilon \nu x >0, \sigma \upsilon \nu x-1< 0$

Έτσι στο διάστημα αυτό ισχύει ότι $\eta \mu x\left ( \eta \mu x-x \right )+\sigma \upsilon \nu x\left ( \sigma \upsilon \nu x-1 \right )<0$

Συνεπώς ισχύει $1-\sigma \upsilon \nu x-x\cdot \eta \mu x<0$ για κάθε $\displaystyle x\epsilon \left ( -\frac{\pi }{2} ,0\right )\cup \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$

Έτσι λοιπόν $f'\left ( x \right )< 0$ για κάθε $\displaystyle x\epsilon \left (-\frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2} \right )$ και έτσι η συνάρτηση

είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$

Δ4. Mία προφανής ρίζα της δοσμένης εξίσωσης είναι το

H δοσμένη εξίσωση γράφεται ισοδύναμα $\displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x-1}{x}=0\Leftrightarrow f\left ( x \right ) =0$ φυσικά με $x\neq 0$

$\displaystyle f\left ( -\frac{\pi }{2} \right )=\frac{2}{\pi },f\left ( \frac{\pi }{2} \right )=-\frac{2}{\pi }$

Ισχύει για την

ότι $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2},0 \right )\rightarrow \left ( 0,\frac{2 }{\pi } \right ]$ και

$\displaystyle\left ( 0,\frac{\pi }{2} \right ]\rightarrow \left [ -\frac{2}{\pi } ,0\right )$ . Άρα η συνεχής συνάρτηση

λαμβάνει τη

θετική τιμή $\displaystyle \frac{1}{2020}$ για κάποιο $\displaystyle x_{0}\epsilon \left [ -\frac{\pi }{2},0 \right )$ η δε τιμή αυτή είναι και μοναδική γιατί η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2},0 \right )$

Δ5. Στο Δ4 είδαμε ότι η εξίσωση έχει δύο ακριβώς ρίζες, το

και το $x_{0}$ με $x_{0}<0.$ Άρα $\rho =0.$

Ας δούμε τι γίνεται για εκείνα τα

που ανήκουν στο $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2},0 \right )$

Για την

ισχύουν οι δύο συνθήκες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού στο $\left [ x,0 \right ]$

Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi _{1}\epsilon \left ( x,0 \right )$ τέτοιο ώστε $\displaystyle F'\left ( \xi _{1} \right )=\frac{F\left ( x \right )-F\left ( 0 \right )}{x-0}=\frac{F\left ( x \right )}{x}$ , δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi _{1}\epsilon \left ( x,0 \right )$ τέτοιο ώστε $\displaystyle f\left ( \xi _{1} \right )=\frac{F\left ( x \right )}{x}$

Όμως είδαμε ότι το πεδίο τιμών της

είναι το $\displaystyle\left [ -\frac{2}{\pi } ,\frac{2}{\pi }\right ]$ , άρα

$\displaystyle-\frac{2}{\pi }\leq f\left ( \xi _{1} \right )\leq \frac{2}{\pi }\Leftrightarrow \left | f\left ( \xi _{1} \right ) \right |\leq \frac{2}{\pi }\Leftrightarrow \left | \frac{F\left ( x \right )}{x} \right |\leq \frac{2}{\pi }\Leftrightarrow \pi \left | F\left ( x \right ) \right |\leq 2\left | x \right |$

Για να μη σας κουράζω γράφοντας πολλά, αντίστοιχες σκέψεις κάνω για τα

που ανήκουν στο διάστημα $\displaystyle\left ( 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ βρίσκοντας ένα αντίστοιχο $\xi _{2}\epsilon \left ( 0,x \right )$ και καταλήγω στην ίδια ανισότητα.
Φυσικά για x=0

ισχύει η ισότητα. Αποδείχθηκε αυτό που ζητιόταν για κάθε $\displaystyle x\epsilon \left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 2020

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 2020

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 2020

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 2020

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 2020

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 2020

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 2020

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 2020

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 2020

Μέλη σε σύνδεση