Bulletin Αποδείξεις Γνωστών Θεωρημάτων

parmenides51 · #1

Στην δημοσίευση αυτή θα συγκεντρώσω αποδείξεις γνωστών θεωρημάτων (επώνυμων) που συναντώ καθώς ξεφυλλίζω τους φακέλους της Γεωμετρίας.

Χρησιμοποιούνται οι φάκελοι Γεωμετρίας Juniors, Γεωμετρίας Seniors, Γεωμετρίας A΄Λυκείου,Γεωμετρίας Β΄Λυκείου, Μόνο για Μαθητές, ΑΣΕΠ: Προτεινόμενα Θέματα, Γενικά Θέματα, Φάκελος Καθηγητή: Γενικά, Φάκελος Καθηγητή: Γεωμετρία εως τις ημερομηνίες εδώ

Όσα θεωρήματα βρίσκονται σε φυλλάδια υπάρχουν συγκεντρωμένα στα Φυλλάδια σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά

Θεωρήματα με λέξεις
Θεώρημα των ίσων λόγων στο τετράπλευρο (δίνεται κυρτό (ή μη κυρτό, ή και στρεβλό) τετράπλευρο ABCD

και έστω $E,\ F,$ σημεία επί των πλευρών του $AB,\ CD$ αντιστοίχως, τέτοια ώστε $\displaystyle\frac{AE}{EB} = \frac{DF}{FC} = p$ . Επί των $BC,\ EF,\ AD,$ λαμβάνουμε αντιστοίχως τα εσωτερικά σημεία $K,\ L,\ M,$ έτσι ώστε $\displaystyle\frac{BK}{KC} = \frac{EL}{LF} = \frac{AM}{MD} = q$ . Αποδείξτε ότι τα σημεία αυτά είναι συνευθειακά και ότι $\displaystyle\frac{KL}{LM} = p$ )
Θεώρημα της Σπασμένης Χορδής του Αρχιμήδη (κι εδώ, εδώ) (πάνω σε ένα κύκλο, παίρνουμε τα σημεία

και

και θεωρούμε

το μέσο του κυρτογώνιου τόξου

. Θεωρούμε και το τυχαίο σημείο

του επίσης κυρτογώνιου τόξου

.Αν

είναι η προβολή του σημείου

πάνω στην χορδή

τότε

)
Θεώρημα Νότιου Πόλου (εδώ) (σε κάθε τρίγωνο ABC

η διχοτόμος μιας γωνίας(πχ της

) και η μεσοκάθετος της τρίτης πλευράς (πχ της

)τέμνονται σε σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.)
Θεώρημα Πεταλούδας (κι εδώ, εδώ) (σε κύκλο με κέντρο Ο, έστω ΑΒ χορδή και Ι το μέσο της χορδής. ΓΔ,ΖΕ τυχαίες χορδές του κύκλου που διέρχονται από το Ι . Μ,Ν τα σημεία τομής των ΓΖ,ΕΔ με την ΑΒ αντίστοιχα τότε ΙΜ=ΙΝ)
Ιαπωνικό Θεώρημα (κι εδώ)(Σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο,το άθροισμα των ακτίνων των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων,στα οποία χωρίζει το τετράπλευρο μια διαγώνιος του,ισούται με το αντίστοιχο άθροισμα των ακτίνων των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων που χωρίζει η άλλη διαγώνιος του τετραπλεύρου)
Γενικευμένο Θεώρημα Διχοτόμων
Θεώρημα Εσωτερικής και Εξωτερικής Διχοτόμου με εμβαδά, με Ν.Ημιτόνων
Πυθαγόρειο θεώρημα (κι εδώ, εδώ)
Εφαπτομένη αθροίσματος και διαφοράς γεωμετρικά
Ημίτονο αθροίσματος και διαφοράς από Θ. Πτολεμαίου
Ημίτονο - Συνημίτονο διπλάσιας γωνίας γεωμετρικά
Ημίτονο - Συνημίτονο τριπλάσιας γωνίας γεωμετρικά
Μετρικές Σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο κι αντίστροφα με διανύσματα
Θεωρήματα Διαμέσων με διανύσματα
Διάμεσος βάσης ισοσκελούς τριγώνου με διανύσματα
Διάμεσος υποτείνουσας κι αντίστροφο με διανύσματα
Τριγωνική Ανισότητα από Νόμο Συνημιτόνων
Ιδιότητα Μεσοκαθέτου διαφορετική

Θεωρήματα με ονόματα (αλφαβητικά)
Θεώρημα του Blackwell (σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, τα ημικύκλια που έχουν διάμετρο τις πλευρές του τριγώνου και δεν έχουν άλλα κοινά σημεία με αυτό, εφάπτονται σε ένα τετράγωνο που έχει πλευρά την ημιπερίμετρο του τριγώνου)
Θεώρημα Brahmagupta (κι εδώ) (δύο κάθετες μεταξύ τους χορδές AB , CD

ενός κύκλου, τέμνονται στο

.νδο η κάθετη από το

προς την

, διέρχεται από το μέσο

της

)
Τύπος του Brahmagupta (κι εδώ) (Αν $\displaystyle{ABCD}$ είναι τετράπλευρο εγγράψιμο σε κύκλο με $\displaystyle{AB = a,BC = b,CD = c,DA = d}$ τότε $\displaystyle{\left( {ABCD} \right) = \sqrt {\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)\left( {s - d} \right)}}$ με $\displaystyle{s}$ την ημιπερίμετρο του $\displaystyle{ABCD}$ )
Τύπος του Bretschneider (ας είναι a,b,c,d

οι πλευρές ενός τετραπλεύρου, m,n

οι διαγωνιές του και A,C

οι δύο απέναντι γωνίες του.
Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{m^2n^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcdcos(A+C)}.$ )
Θεώρημα του Brianchon
Θεώρημα Carnot (κι εδώ)(σημείο Ρ προβάλλεται επι των πλευρών ΒΓ,ΓΑ,ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ με αντίστοιχα ίχνη Δ, Ε, Ζ , τότε ${\rm A}{\rm Z}^2 + {\rm B}\Delta ^2 + \Gamma {\rm E}^2 = {\rm A}{\rm E}^2 + {\rm B}{\rm Z}^2 + \Gamma \Delta ^2$ και αντιστρόφως)
Θεώρημα Casey
Ισότητα Casey (κι εδώ) (Θεωρούμε δύο κύκλους $(K,R_1) \; , \; (L,R_2)$ και το ριζικό άξονα αυτών $(\epsilon).$ Αν

σημείο του επιπέδου και

είναι η απόσταση του

από την $(\epsilon),$ να αποδείξετε ότι: $MA = \dfrac{|\Delta_{(K)}^{M}-\Delta_{(L)}^{M}|}{2KL}$ )
Ceva τριγωνομετρικό
Θεώρημα του Feuerbach (κι εδώ) (σε κάθε τρίγωνο ο κύκλος των εννέα σημείων (Euler) εφάπτεται του εγγεγραμμένου και των τριών παρεγγεγραμμένων κύκλων του)
Θεώρημα του Desargues (κι εδώ, εδώ)(δέσμη τριών ευθειών συντρέχουν στο σημείο

. Αντίστοιχα στην κάθε μία βρίσκονται τα ζεύγη σημείων $\displaystyle{\left( {{A_1}{\text{ \& }}{A_2}} \right){\text{ }}{\text{, }}\left( {{B_1}{\text{ \& }}{B_2}} \right){\text{ \& }}\left( {{\Gamma _1}{\text{ \& }}{\Gamma _2}} \right)}$ . Τα σημεία $\displaystyle{{\rm K}{\text{ }}{\text{, }}\Lambda {\text{ \& }}{\rm M}}$ είναι τα σημεία τομής των τμημάτων $\displaystyle{\left( {{A_1}{B_1}{\text{ \& }}{A_2}{B_2}} \right){\text{ }}{\text{, }}\left( {{A_1}{\Gamma _1}{\text{ \& }}{A_2}{\Gamma _2}} \right){\text{ \& }}\left( {{{\rm B}_1}{\Gamma _1}{\text{ \& }}{{\rm B}_2}{\Gamma _2}} \right)}$ . Τότε τα $\displaystyle{{\rm K}{\text{ }}{\text{, }}\Lambda {\text{ \& }}{\rm M}}$ είναι συνευθειακά)
Ευθεία Euler (κι εδώ, εδώ) (το ορθόκεντρο, βαρύκεντρο και περίκεντρο οξυγωνίου τριγώνου είναι συνευθειακά, κτλ)
Θεώρημα Euler (Αν Ο και Ι είναι τα κέντρα του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου κύκλου αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ και R , r οι ακτίνες τους (αντίστοιχα) τότε $\displaystyle{OI^2 = R(R - 2r)}$ )
Κύκλος Euler
Εyball theorem (κι εδώ) (Έστω δύο κύκλοι C_1(K, R)

and

, με κέντρα

,

και ακτίνες

,

, αντίστοιχα. Έστω ότι οι εφαπτομένες από το

στο

, τέμνουν τον C_1

στα σημεία

και

, ενώ οι εφαπτομένες από το

στο

, τέμνουν τον C_2

στα σημεία

και

. Να αποδειχθεί ότι AB=CD

)
πρόβλημα Fagnano - ορθικό τρίγωνο (την ελάχιστη περίμετρο τριγώνου σε οξυγώνιο τρίγωνο την έχει το ορθικό τρίγωνο)
Σημείο Gergonne (σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές του με τα σημεία επαφής των πλευρών με τον εγγεγραμμένο κύκλο διέρχονται από το ίδιο σημείο,το ίδιο ισχύει για τις ευθείες εκείνες του τριγώνου αυτού που συνδέουν τις κορυφές με τα σημεία επαφής των πλευρών με τους παρεγγεγραμμένους κύκλους)
Θεώρημα του Καραθεοδωρή (κι εδώ) ( Στο εσωτερικό τριγώνου $\displaystyle{ \displaystyle{AB\Gamma}}$ θεωρούμε τυχαίο σημείο $\displaystyle{\displaystyle{O}}$ . Να δείξετε ότι : $\displaystyle{\displaystyle{E_A \overrightarrow{OA}+E_B \overrightarrow{OB}+E_\Gamma \overrightarrow{O\Gamma}=\overrightarrow{O}}}$ όπου $\displaystyle{\displaystyle{E_A,E_B,E_\Gamma}}$ τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle{\displaystyle{BO\Gamma, \Gamma OB, AOB}}$ αντίστοιχα.)
Θεώρημα Leibnitz (κι εδώ) (για σημείο τυχαίο σημείο Ρ και βαρύκεντρο Κ τριγώνου ΑΒΓ ισχύει $\displaystyle{PA^2+PB^2+PC^2=3PK^2+\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)}}$ )
Σημείο του Lemoine (κι εδώ, εδώ , εδώ, εδώ, εδώ) (σε κάθε τρίγωνο οι ευθείες που συνδέουν τα μέσα των υψών με τα μέσα των αντίστοιχων πλευρών συντρέχουν - στο σημείο Lemoine του τριγώνου, οι 3 συμμετροδιάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Οι αποστάσεις αυτού του σημείου από τις πλευρές του τριγώνου είναι ανάλογες προς τις πλευρές. Είναι το σημείο του οποίου το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τις πλευρές του τριγώνου είναι ελάχιστο)
Θεώρημα MacLaurin (κι εδώ)(πάνω στις πλευρές γωνίας $\angle xOy$ θεωρώ τα σημεία A,B

τέτοια ώστε OA+OB=c

. Καθώς τα Α,Β μεταβάλλονται, οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των σχηματιζομένων τριγώνων $\bigtriangleup OAB$ διέρχονται από σταθερό σημείο εκτός του Ο)
Γενικότερο Θεώρημα MacLaurin (δύο σημεία B,C

κινούνται επί των πλευρών γωνίας Ox, Oy,

αντίστοιχα, ώστε να ισχύει $kOB + mOC = d,\;$ όταν k, m

μήκη δοθέντων ευθυγράμμων τμημάτων και

δοθέν ευθύγραμμο τμήμα. Η περιφέρεια (OBC)

διέρχεται από δύο σταθερά σημεία)
Θεώρημα Μενελάου (διατύπωση εδώ)
Θεώρημα του Miquel (κι εδώ, εδώ) (Σε τετράπλευρο ABCD

, που δεν είναι τραπέζιο, οι απέναντι πλευρές προεκτεινόμενες τέμνονται στα σημεία $\displaystyle{E{\text{ \& }}Z}$ . Να αποδειχθεί ότι:
1) Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\displaystyle{ZAD{\text{ }}{\text{, }}ZBC{\text{ }}{\text{, }}ECD{\text{ \& }}EBA}$ διέρχονται από κοινό σημείο

.
2) Τα κέντρα $\displaystyle{{K_1}{\text{ }}{\text{, }}{K_2}{\text{ }}{\text{, }}{K_3}{\text{ \& }}{K_4}}$ των παραπάνω κύκλων είναι ομοκυκλικά σημεία και ότι το σημείο

βρίσκεται κι’ αυτό στον ίδιο κύκλο.
3) Οι προβολές $\displaystyle{{N_1} , {N_2} , {N_3} \& {N_4}}$ του σημείου

στις πλευρές του αρχικού τετραπλεύρου είναι συνευθειακά σημεία..
4) Αν το αρχικό τετράπλευρο είναι εγγράψιμο τότε το σημείο

βρίσκεται στην ευθεία

)
Θεώρημα Monge d’ Alembert (κι εδώ) (δίνονται τρείς κύκλοι $\displaystyle{\left( {O_1 ,R_1 } \right),\left( {O_2 ,R_2 } \right),\left( {O_3 ,R_3 } \right)}$ με $\displaystyle{R_1 \ne R_2 \ne R_3 \ne R_1}$ οι οποίοι είναι ανά δύο ο ένας εξωτερικά του άλλου
i) Αν $\displaystyle{K_{12} ,K_{23} ,K_{13} }$ είναι τα σημεία τομής των κοινών εξωτερικών εφαπτομένων των ζευγαριών $\displaystyle{\left( {O_1 ,R_1 } \right) - \left( {O_2 ,R_2 } \right),\left( {O_2 ,R_2 } \right) - \left( {O_3 ,R_3 } \right),\left( {O_1 ,R_1 } \right) - \left( {O_3 ,R_3 } \right)}$ αντίστοιχα να δειχθεί ότι $\displaystyle{K_{12} ,K_{23} ,K_{13} }$ είναι συνευθειακά
ii) Αν $\displaystyle{K'_{13} ,K'_{23} }$ είναι τα σημείο τομής των κοινών εσωτερικών εφαπτομένων των ζευγαριών $\displaystyle{ \left( {O_1 ,R_1 } \right) - \left( {O_3 ,R_3 } \right),\left( {O_2 ,R_2 } \right) - \left( {O_3 ,R_3 } \right) }$ αντίστοιχα να δειχθεί ότι: $\displaystyle{K_{12} ,K'_{23} ,K'_{13} }$ είναι επίσης συνευθειακά)
Θεώρημα του Morley (κι εδώ) (oι τριχοτόμοι τυχαίου τριγώνου, τεμνόμενες ανα δύο, σχηματίζουν πάντα ισόπλευρο τρίγωνο)
σημείο Nagel (το έγκεντρο

το βαρύκεντρο

και το σημείο Nagel $N_{g}$ , ανήκουν στην ίδια ευθεία και $GN_{g} = 2GI$ )
Θεώρημα του Ναπολέοντα (τα κέντρα των ισοπλεύρων τριγώνων που αναγράφονται επί των πλευρών τυχαίου τριγώνου, και όλα προς το εξωτερικό του ή όλα προς το εσωτερικό του μέρος, ορίζουν ισόπλευρο τρίγωνο)
Θεώρημα Newton (κι εδώ, εδώ) (Σε κάθε περιγράψιμο τετράπλευρο, οι ευθείες που συνδέουν τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου στις απέναντι πλευρές, διέρχονται δια του σημείου τομής των διαγωνίων του. Σε κάθε περιγράψιμο τετράπλευρο, του κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου, ανήκει στην ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του)
Ευθεία Newton - Gauss (κι εδώ) (θεωρούμε το πλήρες τετράπλευρο ΑΒΓΔΕΖ. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των διαγωνίων του ανήκουν στην αυτή ευθεία )
Θεώρημα Πάππου (Clairaut) (κι εδώ, εδώ) (Σε τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ κατασκευάζουμε προς το εξωτερικό μέρος του τριγώνου τα τυχαία παραλληλόγραμμα $\displaystyle{ABDE}$ και $\displaystyle{ACZH}$ .Έστω $\displaystyle{S \equiv DE \cap ZH}$ και $\displaystyle{BI\mathop = \limits^{//} SA}$ . Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο $\displaystyle{BIKC}$ . Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\left( {ABDE} \right) + \left( {ACZH} \right) = \left( {BIKC} \right)}$ )
Θεώρημα του Πάππου (επί δύο ευθειών, τεμνόμενων ή μη, υπάρχουν οι τριάδες σημείων $\displaystyle{{A_1}{\text{ }}{\text{, }}{B_1}{\text{ \& }}{\Gamma _1}}$ στην πρώτη και $\displaystyle{{A_2}{\text{ }}{\text{, }}{B_2}{\text{ \& }}{\Gamma _2}}$ στην δεύτερη. Τα σημεία $\displaystyle{{\rm K}{\text{ }}{\text{, }}\Lambda {\text{ \& }}{\rm M}}$ είναι τα σημεία τομής των τμημάτων $\displaystyle{\left( {{A_1}{B_2}{\text{ \& }}{A_2}{B_1}} \right){\text{ }}{\text{, }}\left( {{A_1}{\Gamma _2}{\text{ \& }}{A_2}{\Gamma _1}} \right){\text{ \& }}\left( {{{\rm B}_1}{\Gamma _2}{\text{ \& }}{{\rm B}_2}{\Gamma _1}} \right)}$ . Τότε τα $\displaystyle{{\rm K}{\text{ }}{\text{, }}\Lambda {\text{ \& }}{\rm M}}$ είναι συνευθειακά)
Θεώρημα Pascal (Θεωρούμε εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ εγγεγραμένο σε περιφέρεια. Να αποδειχθεί ότι τα τρία ζεύγη (ΑΒ , ΕΔ), (ΒΓ , ΕΖ), (ΓΔ , ΖΑ) των απέναντι πλευρών ορίζουν τρία σημεία Κ , Λ , Μ τα οποία ανήκουν στην αυτή ευθεία.)
Θεώρημα του Pollock (Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε περιφέρεια. Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ , που περιέχουν την ορθή γωνία και φέρουμε εφαπτόμενές για τα τόξα ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ ώστε το σημείο επαφής να είναι το μέσο εκάστοτε του αποκοπτόμμενου τμήματος επι της εφαπτομένης υπό των ευθειών ΑΒ, ΑΓ. Να δειχθεί οτι τα 3 σημεία επαφής είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου.)
Θεώρημα Pompeiu (θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ σημείο στο εσωτερικό του, τότε τα τμήματα ΡΑ, ΡΒ, ΡΓ αποτελούν μήκη πλευρών τριγώνου)
Θεώρημα Πτολεμαίου (σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο το γινόμενο των διαγωνίων ισούται με το άθροισμα των γινομένων των απέναντι πλευρών)
Ανισότητα του Πτολεμαίου(σε κάθε μη εγγράψιμο τετράπλευρο το γινόμενο των διαγωνίων ισούται με το άθροισμα των γινομένων των απέναντι πλευρών)
Ευθεία Simson
Ευθεία Steiner (τα συμμετρικά σημείου του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ΑΒΓ ως προς τι ευθείες ΑΒ,ΑΓ και ΒΓ είναι σημεία συνευθείακα)
Θεώρημα Steiner - Lehmus (κι εδώ, εδώ, εδώ, εδώ, εδώ, εδώ) (αν ένα τρίγωνο έχει δύο διχοτόμους ίσες, τότε είναι ισοσκελές)
Θεώρημα των Steiner - Fermat - Toricelli (κι εδώ , εδώ, εδώ, εδώ, εδώ) (αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο κάθε γωνία είναι μικρότερη των 120, κατασκευάσουμε εξωτερικά αυτού τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΓ',ΑΓΒ',ΒΓΑ', τότε τα τμήματα ΑΑ',ΒΒ',ΓΓ' είναι ίσα και διέρχονται από το ίδιο σημείο, που έχει το ελάχιστο άθροισμα αποστάσεων από τις κορυφές του τριγώνου)
Γενίκευση του Θεωρήματος του Steiner (δίνεται τυχαίο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα $\displaystyle{\Gamma KA, A\Lambda B,BM\Gamma}$ ( $\displaystyle{K\Gamma =KA, \Lambda A=\Lambda B, \Lambda B=\Lambda \Gamma}$ ) προς το «εξωτερικό μέρος του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ ) . Να δειχθούν οι εξής προτάσεις:
i) Αν $\displaystyle{Az \bot {\rm K}\Lambda ,\;{\rm B}\chi \bot \Lambda {\rm M},\;\Gamma \psi \bot {\rm M}{\rm K}}$ τότε διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{P}$
ii) Τα τρίγωνα $\displaystyle{AB\Gamma}$ και $\displaystyle{K\Lambda M}$ έχουν το ίδιο βαρύκεντρο $\displaystyle{\Sigma}$
iii) Οι ευθείες $\displaystyle{AM, BK, \Gamma \Lambda}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{T}$
iv) Αν $\displaystyle{O}$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ κ τότε τα σημεία $\displaystyle{P, T, O}$ είναι συνευθειακά.)
Θεώρημα Stewart (δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ τυχαίο σημείο της ευθείας ΒΓ, να δείξετε ότι ισχύει: $\mathop {BA}\limits^ \to ^2 \cdot \mathop {P\Gamma }\limits^ \to + \mathop {\Gamma A}\limits^ \to ^2 \cdot \mathop {BP}\limits^ \to + \mathop {AP}\limits^ \to ^2 \cdot \mathop {\Gamma B}\limits^ \to = (\mathop {BP}\limits^ \to \cdot \mathop {P\Gamma }\limits^ \to ) \cdot \mathop {B\Gamma }\limits^ \to$ )
Θεώρημα Sylvestr (τα σημεία Α, Β, Γ σχηματίζουν τρίγωνο.Αν οι διανυσματικές τους ακτίνες έχουν ίσα μέτρα, το άθροισμά τους ισούται με την διανυσματική ακτίνα του ορθόκεντρου του ΑΒΓ)
κύκλος Taylor (Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ και έστω $\displaystyle{AA{'},BB{'},CC{'}}$ τα ύψη του. Αν $\displaystyle{A_b ,A_c }$ είναι οι ορθές προβολές του $\displaystyle{A{'}}$ στις πλευρές $\displaystyle{AC,AB}$ αντίστοιχα, $\displaystyle{B_c ,B_a }$ είναι οι ορθές προβολές του $\displaystyle{B{'}}$ στις πλευρές $\displaystyle{ CA,AB}$ αντίστοιχα και τέλος $\displaystyle{C_a ,C_b }$ είναι οι ορθές προβολές του $\displaystyle{C'}$ στις πλευρές $\displaystyle{BC,CA}$ αντίστοιχα να δειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle{A_c ,A_b ,B_c ,B_a ,C_b ,C_a }$ είναι ομοκυκλικά)
Θεώρημα Thebault (ένα τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Omega$ . Στην πλευρά $B\Gamma$ παίρνουμε σημείο $\Delta$ . Ένας κύκλος με κέντρο

εφάπτεται με τα τμήματα $A\Delta,\DeltaB$ και με τον κύκλο $\Omega$ στο $\Sigma$ (το $\Sigma$ είναι σημείο του $\Omega$ ). Ένας άλλος κύκλος με κέντρο $\Lambda$ εφάπτεται με τα τμήματα $A\Delta,\Delta \Gamma$ και με τον κύκλο $\Omega$ στο

. Αν

είναι το έγκεντρο του τριγώνου $AB\Gamma$ , να αποδειχθεί ότι τα σημεία $K,\Lambda,I$ είναι συνευθειακά.)
Θεώρημα Van Aubel (κι εδώ)(έστω $\displaystyle{P}$ εσωτερικό σημείο τρίγωνου $\displaystyle{ABC}$ . Οι $\displaystyle{AP,BP,CP}$ τέμνουν τις πλευρές του τριγώνου, στα σημεία $\displaystyle{D,E,F}$ αντίστοιχα. Τότε $\displaystyle{\frac{PA}{PD}=\frac{EA}{EC}+\frac{FA}{FB}.}$ )
Θεώρημα Van Schooten (κι εδώ, εδώ, εδώ) (έστω το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Αν Μ σημείο του ελάσσονος τόξου ΑΒ (διαφορετικό απο τα Α,Β), τότε ΜΓ=ΜΑ+ΜΒ)
Θεώρημα Vecten (κι εδώ , εδώ, εδώ, εδώ , εδώ, εδώ, εδώ, εδώ) (επί των πλευρών ΑΒ και ΑΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ και εκτός αυτού, κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΚ. Οι ευθείες ΒΖ και ΓΔ τέμνονται επί του ύψους ΑΘ του τριγώνου ΑΒΓ)
Θεωρήματος Viviani επέκταση (έστω ισόπλευρο τρίγωνο ABC

και σημείο

του περιγεγραμμένου του κύκλου (C)

. Στο

εφάπτεται εξωτερικά του (C)

άλλος κύκλος (C')

. Αν

τα μήκη των εφαπτόμενων τμημάτων στον (C')

, να δειχθεί ότι ένα απ’ αυτά ισούται με το άθροισμα των 2 άλλων, δηλαδή x = y + z

)

Αντίστροφα Προτάσεων
αντίστροφο ιδιότητας βαρυκέντρου
αντίστροφο ιδιότητας γωνίας $\displaystyle{30^o}$ σε ορθογώνιο τρίγωνο (κι εδώ)
αντίστροφο διαμέσου τραπεζίου
αντίστροφο θεωρήματος Euler
αντίστροφο μετρικής σχέσης ύψους που αντιστοιχεί σε υποτείνουσα (κι εδώ, εδώ)
απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται όμοια άνισες πλευρές

Προτάσεις
λήμμα για ευθεία διερχόμενη από βαρύκεντρο (κι εδώ) (αν μια ευθεία που περνάει από το βαρύκεντρο ενός τριγώνου $\vartriangle ABC$ τέμνει τις πλευρές $ΑΒ,\ ΑC$ στα σημεία $D,\ E$ , τότε ισχύει ότι : $\displaystyle \frac {DB}{DA} + \frac {EC}{EA} = 1$ )
πρόταση στα αμφιγράψιμα τετράπλευρα (κι εδώ) (ένα αμφιγράψιμο τετράπλευρο έχει εγγεγραμμένο και περιγεγραμμένο κύκλο. Αποδείξτε ότι τα κέντρα αυτών των κύκλων και το σημείο τομής των διαγωνίων του, ανήκουν στην ίδια ευθεία)
κοινή χορδή τεμνόμενων κύκλων (η κοινή χορδή 2 τεμνόμενων κύκλων διέρχεται από το μέσο της κοινής εφαπτόμενης τους)
για πλήρες τετράπλευρο
(i) Τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των τεσσάρων τριγώνων πλήρους τετραπλεύρου είναι ομοκυκλικά και το περικύκλιό τους διέρχεται από το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου
ii) Τα μέσα των τμημάτων $\displaystyle{MA,MB,MC'}$ ανήκουν στην ευθεία του Simson του σημείου $\displaystyle{M}$ ως προς το τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle OO_1 O_2 }$
iii) Τα ίχνη των καθέτων από το σημείο $\displaystyle{M}$ του Miquel του πλήρους τετραπλεύρου στις πλευρές του είναι σημεία συνευθειακά
iv) Τα ορθόκεντρα των τεσσάρων τριγώνων του πλήρους τετραπλεύρου είναι σημεία συνευθειακά
v) Οι κύκλοι με διαμέτρους τις διαγώνιες του πλήρους τετραπλεύρου έχουν κοινό ριζικό άξονα )
vi) οι διαγώνιες πλήρους τετραπλεύρου τέμνονται αρμονικά
vi) τα μέσα διαγωνίων πλήρους τετραπλεύρου είναι συνευθειακά (Ευθεία Newton Gauss) (κι εδώ)
vii)οι διχοτόμοι των προεκτάσεων των πλευρών ενός κυκλικού τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα, πάνω στην ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του
viii) η ευθεία Simson σημείου Μ διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα ΜΗ όπου Η είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου
ix) τα ορθόκεντρα των τεσσάρων τριγώνων πλήρους τετραπλεύρου βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία η οποία είναι ομοιόθετη της ευθείας Miquel του τετραπλεύρου αυτού κατά την ομοιοθεσία $(M, \frac{1}{2})$ όπου

είναι το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρο
κριτήριο καθετότητας ( $\vec{A\Gamma }\perp \vec{\Delta B}\Leftrightarrow \vec{AB}^{2}+\vec{\Gamma \Delta }^{2}=\vec{A\Delta }^{2}+\vec{B\Gamma }^{2}$ )
κριτήριο ρόμβου ως περιγράψιμου τετραπλεύρου (το έγκεντρο και το βαρύκεντρο περιγράψιμου τετραπλεύρου ταυτίζονται αν και μόνον αν αυτό είναι ρόμβος)

Προβλήματα
Πρόβλημα του Πειρατή από Σωτήρη Λουρίδα (κι εδώ) (Ένας Αρχηγός πειρατής πήγε σε ενα ξερονήσι και έθαψε τον θησαυρό σε ένα σημείο με βάση τρία δένδρα μία μπανανιά (Α), μία χουρμαδιά (Γ) και ένα ξερόδενδρο(Β), κοντά στην ακτή ως εξής: Έσκαψε προς τα έξω από την περιοχή που όριζαν τα δέντρα και κάθετα στην ΒΑ (από το Α) και σημάδεψε σημείο Κ ώστε ΚΑ=ΑΒ, μετά προς τα έξω από την περιοχή που όριζαν τα δέντρα και κάθετα στην ΒΓ (από το Γ) και σημάδεψε σημείο Λ ωστε ΓΛ=ΓΒ. Στην συνέχεια σκάβοντας κατά ευθεία ένωσε τα σημεία Κ,Λ και βρήκε το μέσο του ΚΛ όπου έθαψε τον θησαυρό, αφαιρώντας στην συνέχεια επιμελώς κάθε ίχνος. Μετά από ενα χρόνο επέστρεψε και διαπίστωσαν ότι το ξερόδενδρο δεν υπήρχε. Όλοι πάγωσαν αλλά ο Αρχηγός πειρατής ξεκαρδίστηκε στα γέλια.Γιατί άραγε τόση ευτυχία;)
Ναυαγοσωστικό από Νίκο Φραγκάκη

Περί Λημμάτων από Αρχιμήδη (αρίθμηση από εδώ)
Πρόταση 1
Πρόταση 2 (Έστω κύκλος $\displaystyle{\left( O \right)}$ και σημείο $\displaystyle{P}$ του επιπέδου του εκτός αυτού.Ας είναι $\displaystyle{PA,PB}$ τα εφαπτόμενα τμήματα στον κύκλο ( $\displaystyle{A,B \in \left( O \right)}$ ) και $\displaystyle{A'}$ το αντιδιαμετρικό (ως προς τον $\displaystyle{\left( O \right)}$ ) του $\displaystyle{A}$ . Αν $\displaystyle{BH \bot AA'\,\,\left( {H \in AA'} \right)}$ και $\displaystyle{M \equiv PA' \cap BH}$ , να δειχθεί ότι $\displaystyle{ MB = MH}$ .)
Πρόταση 3
Πρόταση 4
Πρόταση 5 (Σε τυχαίο σημείο $\displaystyle{C}$ της διαμέτρου $\displaystyle{AB}$ ημικυκλίου $\displaystyle{\left( {O,R} \right)}$ φέρνουμε την κάθετη $\displaystyle{Cx}$ . Με διαμέτρους τις $\displaystyle{CA}$ και $\displaystyle{CB}$ γράφουμε ημικύκλια $\displaystyle{\left( K \right),\left( L \right)}$ αντίστοιχα στο εσωτερικό του ημικυκλίου $\displaystyle{\left( {O,R} \right)}$ . Αν $\displaystyle{ \left( {K'} \right)}$ είναι ο κύκλος που εφάπτεται του $\displaystyle{\left( K \right)}$ , του $\displaystyle{\left( O \right)}$ και της ημιευθείας $\displaystyle{Cx}$ και $\displaystyle{\left( {L'} \right)}$ ο κύκλος που εφάπτεται του $\displaystyle{\left( L \right) }$ , του $\displaystyle{\left( O \right)}$ και της ημιευθείας $\displaystyle{Cx}$ να δειχθεί ότι οι κύκλοι $\displaystyle{\left( {K'} \right) }$ και $\displaystyle{\left( {L'} \right)}$ είναι ίσοι.)
Πρόταση 6
Πρόταση 7
Πρόταση 8 (τριχοτόμηση γωνίας με τη μέθοδο της νεύσης)
Πρόταση 9
Πρόταση 10
Πρόταση 11
Πρόταση 12 (κι εδώ ?) (Οι πλευρές AB , AC

τριγώνου $\displaystyle ABC$ εφάπτονται στα σημεία P , Q

ημικυκλίου με διάμετρο

επί της

. Αν

τέμνονται στο

, δείξτε ότι : $AS\perp BC$ )
Πρόταση 13
Πρόταση 14
Πρόταση 15

Απολλώνιο πρόβλημα
το Απολλώνιο πρόβλημα στον χώρο
λύσεις στο Απολλώνιο πρόβλημα

Υ.Γ. Τα Γεωμετρικά Ακρότατα, τα πολύγωνα εφαπτόμενα/εγγεγραμμένα σε πολύγωνα, οι αφιερώσεις του Στάθη καθώς και τα προτεινόμενα θέματα του KARKAR, οι 3d λύσεις μεταφέρθηκαν όλα στο Bulletin ΒΛΓΕΩ (φάκελο Β' Λυκείου Γεωμετρίας)

για τους λάτρεις της Γεωμετρίας

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Bulletin Αποδείξεις Γνωστών Θεωρημάτων

Bulletin Αποδείξεις Γνωστών Θεωρημάτων

Μέλη σε σύνδεση