Bulletin Συστήματα (για ΒΛΑΛΓ)

parmenides51 · #1

Επειδή επί του παρόντος ο Φάκελος της Άλγεβρας Β' Λυκείου έχει ελάχιστες ασκήσεις από το κεφάλαιο των Συστημάτων
που φέτος μεταπήδησαν στην Β΄, παραθέτω την συντριπτική πλειοψηφία των ασκήσεων του Φακέλου της Άλγεβρας
της Α Λυκείου στο mathematica που δεν συνδυάζονταν με άλλα κεφάλαια της ύλης της Α΄(δηλαδή μόνο συστήματα).
Η σειρά είναι αυστηρά χρονολογική. Τελευταία ανανέωση: 01/06/2012.

Όλα τα μαθήματα: Bulletin Ευρετήριο
ΑΓΥΜΝ , ΒΓΥΜΝ , ΓΓΥΜΝ , ΑΛΑΛΓ (πρόοδοι), ΑΛΓΕΩ , ΒΛΑΛΓ (συστήματα), ΒΛΓΕΩ , ΒΛΚΑΤ , ΓΛΓΕΝ , ΓΛ ΜΙΓΑΔ , ΓΛ ΣΥΝΑΡΤ, ΓΛ ΔΙΑΦΟΡ, ΓΛ ΟΛΟΚΛ, ΓΛK ΕΠΑΝ

Γραμμικά Συστήματα 2χ2
$\displaystyle{D_x^2 + D_y^2 = D(2D_x - 4D_y - 5D)}$ με μοναδική λύση από Σπύρο Καρδαμίτση (με ισότητα οριζουσών)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 2\kappa x - y = {\kappa ^2} - \kappa + 1\\ \left( {{\kappa ^2} + 1} \right)x + \frac{5}{4}y = 2\kappa + \frac{9}{4} \end{matrix}\right}}$ με λύση το (1,1) από Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl) (παραμετρικό)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y=a\\ x-y=d \end{matrix}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 2x + 5y = 6\\ kx - y = 2k - 1 \end{matrix}\right}}$ εαν τέμνονται στο 1ο τεταρτημόριο από irakleios (παραμετρικό)

Μη Γραμμικά Συστήματα 2χ2
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^2 - 3xy + 2y^2 = 2 \\ 2x^2 + xy - y^2 = 20 \end{matrix}\right}}$ από antonis_math
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} (x + y)\sqrt {xy} = 10 \\ x^2 + y^2 = 17 \end{matrix}\right}}$ από antonis_math
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y=12 \\ \frac{4x+3y+2}{6x+4y+8}=\frac{2x+y+8}{4x+2y+4} \end{matrix}\right}}$ από Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+y^{2}= 21 \\ x^{2}-xy+y^{2}= 13 \end{matrix}\right}}$ από Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 1-\frac{12}{3x+y}=\frac{2}{\sqrt{x}} \\ 1+\frac{12}{3x+y}=\frac{6}{\sqrt{y}} \end{matrix}\right}}$ από Σπύρο Ορφανάκη
$\displaystyle{\frac{x-1}{xy-3}=\frac{y-2}{xy-4}=\frac{3-x-y}{7-x^2-y^2}}$ από qwerty
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \frac{4}{x} + \frac{5}{{{y^2}}} = 12\\ \frac{3}{x} + \frac{7}{{{y^2}}} = 22 \end{matrix}\right}}$ από Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}-b=1\\ b^{3}-\frac{1}{a^{3}}=-7 \end{matrix}\right}}$ από vanalex
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^2-y^2=3\lambda ^2\\ x^2+xy+y^2=3\lambda ^2 \end{matrix}\right}}$ από KARKAR (παραμετρικό)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} = a+2\\ \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} = a \end{matrix}\right}}$ έχει μοναδική λύση από KARKAR (παραμετρικό)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^{2}=1-y\\ y^{2}=1-x \end{matrix}\right}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+4y=\lambda\\ xy=\lambda \end{matrix}\right}}$ από KARKAR (παραμετρικό)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}=\lambda\\ xy=\lambda -1 \end{matrix}\right}}$ από KARKAR (παραμετρικό)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x-y=\frac{x+y}{4}\\ \frac{x}{y}=\lambda \end{matrix}\right}}$ από KARKAR (παραμετρικό)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=19\\ x^2y-xy^2=6 \end{matrix}\right}}$ από sokratis lyras
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+x+y & =112\\ xy+x+y& =21 \end{matrix}\right}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y=a\\ xy=g \end{matrix}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y=a\\ \frac{x}{y}=p \end{matrix}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x-y=d\\ xy=g \end{matrix}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x-y=d\\ \frac{x}{y}=p \end{matrix}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} xy=g\\ \frac{x}{y}=p \end{matrix}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x + y = xy\\ x - y = \frac{x}{y} \end{matrix}\right}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x + y = xy\\ x - y = \frac{y}{x} \end{matrix}\right}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x + y = xy\\ y - x = \frac{x}{y} \end{matrix}\right}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x + y = xy\\ y- x = \frac{y}{x} \end{matrix}\right}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+x+y & \text = 22 \\ xy+x+y& \text= 3 \end{matrix}\right}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x-y=4 \\ x^2-y^2=44 \end{matrix}\right}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+\frac{2}{y} =3 \\ y+\frac{2}{x} =\frac{8}{3} \end{matrix}\right}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y=2 \\ x^3+y^3=3 \end{matrix}\right}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{4}{{y + x}} = \frac{2}{{\sqrt y }}} \\ {\frac{2}{{\sqrt y }} + \frac{1}{{\sqrt x }} = \frac{3}{2}} \end{matrix}\right}}$ από Atemlos
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} {\sqrt {xy} + \sqrt {1 - y} = \sqrt y } \\ {\sqrt y - 2\sqrt {xy - x} = 1} \end{matrix}\right}}$ από Atemlos
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x-1}+y+\sqrt{y-1}= 20 \\ x-\sqrt{x-1}-y+\sqrt{y-1}= 4 \end{matrix}\right}}$ από Γιάννη Τσόπελα

Γραμμικά Συστήματα 3χ3
-

Μη Γραμμικά Συστήματα 3χ3
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 7yz+3xz=4xy \\ 21yz-3xz=4xy \\ x+2y-3z=19 \end{matrix}\right}}$ από Χρήστο Κυριαζή (chris_gatos)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^{2}+2yz=x \\ y^{2}+2zx=y \\ z^{2}+2xy=z \end{matrix}\right}}$ από Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=2-(y-z)^{2}\\ y+\frac{1}{z}=2-(z-x)^{2}\\ z+\frac{1}{x}=2-(x-y)^{2} \end{matrix}\right}}$ από Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+2y+4z=12\\ xy+4yz+2zx=22 \\ xyz=6 \end{matrix}\right}}$ από Θάνο Μάγκο (matha)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x=y+2 \\ ax=48 \\ (a+4)y=48 \end{matrix}\right}}$ από Νίκο Μαυρογιάννη (πρόβλημα)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} xy+2y+3x=9 \\ yz+3z+4y=23 \\ zx+2z+4x=13 \end{matrix}\right}}$ από Δημήτρη Ιωάννου
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^3 + \alpha x + \beta = 0 \\ y^3 + \alpha y + \beta = 0 \\ z^3 + \alpha z + \beta = 0 \end{matrix}\right}}$ νδο $\displaystyle{x + y + z = 0}$ από Γιώργο Ρίζο
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \frac{{xy}}{{2x + 3y}} = 5 \\ \frac{{\omega x}}{{3\omega + 5x}} = 2 \\ \frac{{y\omega }}{{5y + 2\omega }} = 3 \end{matrix}\right}}$ από Γιώργο Ρίζο
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \frac {yz}{3y+2z}=6 \\ \frac {zx}{3x+2z}=8 \\ \frac {xy}{5x+4y}=6 \end{matrix}\right}}$ από Μιχάλη Λάμπρου
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=a^2 \\ y^2+yz+z^2=b^2 \\ z^2+zx+x^2=c^2 \end{matrix}\right}}$ από Θάνο Μάγκο
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^2-x=yz+1 \\ y^2-y=zx+1 \\ z^2-z=xy+1 \end{matrix}\right}}$ από Θάνο Μάγκο
$\displaystyle{\begin{cases} 3y-2x^2=\frac {1}{2} \\ 2z-3y^2=\frac {3}{4} \\ x-z^2=1 \end{cases}}$ από Σπύρο Καπελλίδη
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x-y=z \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=z \\ x+\frac{1}{x}+y-\frac{1}{y}=z \end{matrix}\right}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\begin{cases} x+ay+a^2w+a^3=0\\ x+by+b^2y+b^3=0\\ x+cy+c^2y+c^3=0\\ \end{cases}}$ από erxmer
$\displaystyle{\begin{cases} \frac{10}{2x+3y}-\frac{49}{2x-3w}=-4\frac{7}{8}\\ \frac{2}{2x+3y}-\frac{6}{5y-4w}=-\frac{1}{12}\\ \frac{1}{3}(\frac{4}{2x-3w})-\frac{3}{5y-4w}=0 \end{cases}}$ από erxmer
$\displaystyle{\begin{cases} 3yw+2xw-xy=3xyw\\ 30yw+12xy-18xw=13xyw\\ 18xy+24yw-42xw=5xyw \end{cases}}$ από erxmer
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^{^{2}}+xy+y^{2}=3\\ y^{2}+yz+z^{2}=1 \\ z^{2}+xz+x^{2}=2 \end{matrix}\right}}$ από polysindos
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^2-yz = 6 \\ y^2-xz = 4\\ z^2-xy = 2 \end{matrix}\right}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\frac{{a + \beta }}{{2a + \gamma }} = \frac{{\beta + \gamma }}{{2\beta + a}} = \frac{{\gamma + a}}{{2\gamma + \beta }}}$ από Atemlos
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y+z = 6\\ x^2+y^2+z^2 = 84 \\ x^2-yz = 0 \end{matrix}\right}}$ από KARKAR
$\left( \alpha -1 \right)\left( \beta -2 \right)=\left( \beta -1 \right)\left( \gamma -2 \right)=\left( \gamma -1 \right)\left( \alpha -2 \right)$ από Αντώνη Κυριακόπουλο

Γραμμικά Συστήματα 4χ4
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 3x + 2(y + \omega + z) = 4 \\ 4y + 3(x + \omega + z) = 5 \\ 5\omega + 4(x + y + z) = 10 \\ 6z + 5(x + y + \omega ) = 11 \end{matrix}\right}}$ από Σπύρο Καρδαμίτση
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+2(y+z+w)=19 \\ y+3(z+x+w)=26 \\ z+4(x+y+w)=31 \\ w+5(x+y+z)=34 \end{matrix}\right}}$ από Θάνο Μάγκο
$\displastyle{\begin{cases} y+w+z=a \\ x+w+z=b \\ x+y+z =c \\ x+y+w=d \end{cases}}$ από Γιώργο Απόκη
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x=a+b+c+d\\ y=a+b-c-d \\ z=a-b+c-d \\ u=a-b-c+d \end{matrix}\right}}$ , αν $\displaystyle{ab\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=cd\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)$ νδο $xy\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=zu\left( {{z}^{2}}+{{u}^{2}} \right)$ από ghan
$\displaystyle{\begin{cases} x+7y+3z+5t=16 \\ 8x+4y+6z+2t=-16 \\ 2x+6y+4z+8t=16 \\ 5x+3y+7z+t=-16. \end{cases}}$ από Θάνο Μάγκο

Μη Γραμμικά Συστήματα 4χ4
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x + y = 6 \\ x + c + ay = 15 \\ x + 2c +a^2y=36 \\ x + 3c + a^3y = 93 \end{matrix}\right}}$ από irakleios
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} ax^{3}+by^{3}=14 \\ ax^{2}+by^{2}=5 \\ ax+by=2 \\ a+b=1 \end{matrix}\right}}$ από polysindos

Συστήματα vxv
$\displaystyle{\begin{cases}x_1^2+3x_1+5=x_2\\ x_2^2+3x_2+5=x_3 \\ ... \\ x_{n-1}^2+3x_{n-1}+5=x_n \\ x_n^2+3x_n+5=x_1 } \end{cases}$ από Σπύρο Καπελλίδη
$\displaystyle{\begin{cases}x_2+x_3+...+x_n=a_1 \\ x_1+x_3+...+x_n=a_2 \\ . . . \\ x_1+x_2+...+x_{n-1}=a_n } \end{cases}$ από Γιώργο Απόκη

Άλλα Συστήματα
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y+z=40 \\ 100x+200y+250z=4400 \\ \end{matrix}\right}}$ από papel (ακέραιοι) (πρόβλημα)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x(x+y)+z== 0 \\ y(y+1)-3z+1=1 \\ \end{matrix}\right}}$ από Σπύρο Καπελλίδη (μη γραμμικό 2x3)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x + y + z = 0 \\ x^2+y^2+z^2&=1 \\ (x^4+y^4+z^4)_{min,max} =? \end{matrix}\right}}$ από Ηλία Καμπελή (μη γραμμικό 2x3)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y+z = 0 \\ x^2+y^2+z^2 = 1 \\ x^4+y^4+z^4 =? \end{matrix}\right}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x + y + z = 0 \\ x^2+y^2+z^2&=1 \\ (x^4+y^4+z^4)_{min,max} =? \end{matrix}\right}}$ από KARKAR
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} A + B{\rm{ = 1}} \\ {\rm{ B + C = 2}} \\ {\rm{ C + D = 3}} \\ {\rm{ }}..... \\ {\rm{ X + Y = 24}} \\ {\rm{ Y + Z = 25}} \\ \end{array} },A+Z=?$ από chris_gatos (25χ26)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y+z=17 \\ xy-z=17 \end{matrix}\right}}$ από KARKAR (ακέραιοι) (μη γραμμικό 2x3)

Αξιόλογες Συλλογές
θεωρία, παραδείγματα, ασκήσεις από Γιώργο Καλαθάκη (εδώ)

Τα κόκκινα γράμματα υποδηλώνουν ότι οι ασκήσεις είναι άλυτες.

Υ.Γ. Οι ανανεώσεις θα ακολουθούν χρονικά τις ανανεώσεις της Άλγεβρας Α΄ + Β' Λυκείου.

Bulletin Συστήματα (για ΒΛΑΛΓ)

Bulletin Συστήματα (για ΒΛΑΛΓ)

Μέλη σε σύνδεση