Μη οδικά συνεκτικό σύνολο
Συντονιστής: Σεραφείμ
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Μη οδικά συνεκτικό σύνολο
Να αποδειχθεί ότι το σύνολο
δεν είναι οδικά συνεκτικό (path-connected) σύνολο ως προς την επαγόμενη τοπολογία του στο .
δεν είναι οδικά συνεκτικό (path-connected) σύνολο ως προς την επαγόμενη τοπολογία του στο .
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μη οδικά συνεκτικό σύνολο
Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει με . Πράγματι αυτό είναι άμεσο αφού αν τότε .
Από την άλλη παρατηρούμε ότι και . Αυτά τα δύο σημεία πρέπει να ανήκουν σε διαφορετικές συνιστώσες του αφού οποιοδήποτε μονοπάτι από το ένα στο άλλο αναγκαστικά περνάει από κάποιο σημείο της μορφής .
Άρα το δεν είναι οδικά συνεκτικό. Παρόμοια ουσιαστικά απόδειξη δείχνει ότι το δεν είναι καν συνεκτικό.
Από την άλλη παρατηρούμε ότι και . Αυτά τα δύο σημεία πρέπει να ανήκουν σε διαφορετικές συνιστώσες του αφού οποιοδήποτε μονοπάτι από το ένα στο άλλο αναγκαστικά περνάει από κάποιο σημείο της μορφής .
Άρα το δεν είναι οδικά συνεκτικό. Παρόμοια ουσιαστικά απόδειξη δείχνει ότι το δεν είναι καν συνεκτικό.
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Μη οδικά συνεκτικό σύνολο
Δημήτρη,
πιο σύντομη -και απέριττη- λύση δεν νομίζω να υπάρχει. Ο ίδιος -λιγότερο προσεκτικός- διαπίστωσα ότι το θετικό τμήμα της δεν έχει κοινά στοιχεία με το , ενώ ταυτόχρονα είναι συνεχής και απειρίζεται ως προς τις διευθύνσεις των ημιαξόνων και , δηλαδή "κόβει τις συνεκτικές συνιστώσες του σε δυο μέρη". Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η εξίσωση δεν έχει λύση για . Στην πραγματικότητα, η συνάρτηση είναι θετική στο . Το τελευταίο δεν προκύπτει εύκολα και για αυτό τον λόγο ανάρτησα το θέμα.
(*) Επέλεξα να βάλω το θέμα σε αυτόν τον φάκελο, γιατί δεν απέκλεια μια λύση με χρήση μεθόδων διανυσματικού λογισμού ή (αλγεβρικής) τοπολογίας.
πιο σύντομη -και απέριττη- λύση δεν νομίζω να υπάρχει. Ο ίδιος -λιγότερο προσεκτικός- διαπίστωσα ότι το θετικό τμήμα της δεν έχει κοινά στοιχεία με το , ενώ ταυτόχρονα είναι συνεχής και απειρίζεται ως προς τις διευθύνσεις των ημιαξόνων και , δηλαδή "κόβει τις συνεκτικές συνιστώσες του σε δυο μέρη". Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η εξίσωση δεν έχει λύση για . Στην πραγματικότητα, η συνάρτηση είναι θετική στο . Το τελευταίο δεν προκύπτει εύκολα και για αυτό τον λόγο ανάρτησα το θέμα.
(*) Επέλεξα να βάλω το θέμα σε αυτόν τον φάκελο, γιατί δεν απέκλεια μια λύση με χρήση μεθόδων διανυσματικού λογισμού ή (αλγεβρικής) τοπολογίας.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες