mathematica.gr

Αγαπητοί φίλοι,
ζητώ τη γνώμη σας για μία άσκηση.
Βρίσκεται (λυμένη) σε ένα βιβλίο. Δεν αναφέρω τώρα το συγγραφέα του για να μην σας επηρεάσω!

Παρακαλώ, επίσης, όποιον δώσει λύση, ας μην αναφέρει ακόμα την πηγή.

Επισκέπτεται κάποιος το σπίτι συναδέλφου του, για τον οποίο γνωρίζει ότι έχει δυο παιδιά. Κτυπάει το κουδούνι του διαμερίσματος και του ανοίγει ένα αγόρι, γιος του συναδέλφου του. Ποια η πιθανότητα να είναι και το άλλο παιδί αγόρι;


Φιλικά,
Γιώργος Ρίζος

Rigio έγραψε:Επισκέπτεται κάποιος το σπίτι συναδέλφου του, για τον οποίο γνωρίζει ότι έχει δυο παιδιά. Κτυπάει το κουδούνι του διαμερίσματος και του ανοίγει ένα αγόρι, γιος του συναδέλφου του. Ποια η πιθανότητα να είναι και το άλλο παιδί αγόρι;

Γιώργο,
πρόκειται για πείραμα δοκιμών Bernoulli.
Η πιθανότητα να έχουμε 2 επιτυχίες σε 2 εκτελέσεις του πειράματος είναι .

Κώστα, ευχαριστώ για την άμεση απάντηση.

Θα διαβάσω τα συγγράμματα από το πανεπιστήμιο να να φρεσκάρω τις γνώσει μου για την κατανομή Bernoulli.

Έχω, όμως, κάποιες ενστάσεις: Αν η ερώτηση έλεγε: "Ποια η πιθανότητα να είναι το άλλο παιδί κορίτσι;", θα προέκυπτε πιθανότητα 3/4 ;

Γιώργος Ρίζος

Κώστα δεν ρωτάει ποια η πιθανότητα να έχει 2 αγόρια χωρίς κάποιο άλλο στοιχείο. Το ένα παιδί είναι αγόρι. Αν δεχτούμε οτι η πιθανότητα να είναι αγόρι είναι 1/2 τότε, η πιθανότητα να είναι και τα 2 παιδιά αγόρια είναι ισοδύναμη με την πιθανότητα να είναι και το 2ο παιδί αγόρι που είναι 1/2.
(πήγα να βάλω την απάντηση αλλα σκόνταψε στο μήνυμα του Γιώργου, έτσι απαντάω εδώ πιο κάτω λίγο ετεροχρονισμένα)

Η πιθανοτητα, κατα τη γνωμη μου, ειναι .

Το 'υπουλο' αυτου του προβληματος ειναι οτι καποιος μπορει να θεωρησει οτι ζητειται η δεσμευμενη πιθανοτητα , η πιθανοτητα να εχει δυο αγορια με δεδομενο οτι εχει τουλαχιστον ενα. Ευκολα υπολογιζουμε οτι η πιθανοτητα να εχει τουλαχιστον ενα αγορι ισουται με , και κατα συνεπεια η δεσμευμενη πιθανοτητα ισουται με .

Δεν ειναι ομως αυτη η πιθανοτητα που ζητειται. Πραγματι, τα δεδομενα μας ειναι περισσοτερα απο το 'Εχει τουλαχιστον ενα αγορι'. Τα δεδομενα μας ειναι οτι 'Μας ανοιξε ενα αγορι.' (ΟΑ). Δεν ειναι το ιδιο, αν υποθεσουμε οτι, αν υπαρχει αγορι και κοριτσι στο σπιτι η πιθανοτητα ανοιγματος της πορτας ειναι ισοκατανεμημενη. Η συνολικη πιθανοτητα να ανοιξει αγορι ειναι (απο συμμετρια μεταξυ φυλων) προφανως .

Η δεσμευμενη πιθανοτητα που ζηταμε, λοιπον, ειναι .

Φυσικα, αν παρουμε ως δεδομενο οτι τα αγορια ειναι 'ιπποτες' και δε θα αφηναν ποτε το κοριτσι να ανοιξει την πορτα, τοτε το δεδομενο 'Μας ανοιξε ενα αγορι' ταυτιζεται με το 'Εχει τουλαχιστον ενα αγορι' και η πιθανοτητα γινεται .

Απο την αλλη, αν στο σπιτι επικρατει φαλλοκρατια και την πορτα την ανοιγουν παντα τα κοριτσια (αν υπαρχουν), τοτε η πιθανοτητα προφανως γινεται .

Δημητρης Σκουτερης

Θα πρέπει, πρωτ' απ' όλα, να ορίσουμε το πείραμα τύχης σωστά.
Το πείραμα τύχης ορίζεται ως: Θα συναντήσω ένα παιδί. Είναι αγόρι ή κορίτσι;
Το πείραμα τύχης ορίζεται ως: Θα συναντήσω δύο παιδιά. Το πρώτο που συναντώ είναι αγόρι ποια η πιθανότητα και το δεύτερο να είναι αγόρι;
Μοιάζει να είναι το ίδιο πείραμα μα δεν είναι.
Να το θέσω διαφορετικά. Από μια τράπουλα επιλέγω ένα χαρτί και το επανατοποθετώ. Στις 100 (!) πρώτες εκτελέσεις του πειράματος δεν έχω "άσσο" . Την 101η φορά που θα εκτελέσω το πείραμα η πιθανότητα να έχω "άσσο" είναι η ίδια με την 1η φορά; Κάτι τέτοιο θα έρθει σ' αντίθεση με το νόμο των μεγάλων αριθμών: Σε ένα πείραμα τύχης που εκτελείται πολλές φορές αν κάποιο αποτέλεσμα "καθυστερεί" τότε η πιθανότητά του να εμφανιστεί στις αμέσως επόμενες εκτελέσεις αυξάνεται.

Δεν ξέρω αν σας έπεισα! Να ρωτήσουμε και έναν επαγγελματία... χαρτοπαίκτη!

Υ.Γ.: Γιώργο η πιθανότητα το δεύτερο να είναι κορίτσι είναι 1/2. Φαίνεται παράδοξο. Θα με ρωτήσεις που πήγε το άλλο 1/4; Το χάσαμε! τη στιγμή που το πρώτο παιδί που συναντήσαμε ήταν αγόρι. Και τώρα θα με ρωτήσεις: μα δε "χάσαμε" και την περίπτωση που το πρώτο παιδί είναι κορίτσι; Απ' ότι φαίνεται, ο θείος Bernoulli, την πιθανότητα αυτής της περίπτωσης, την προσθέτει στην πιθανότητα της περίπτωσης το πρώτο παιδί αγόρι και το δεύτερο κορίτσι!

... η πιθανότητα οι παραπάνω σκέψεις μου να είναι σωστές πόσο είναι;;;;

k-ser έγραψε: Να το θέσω διαφορετικά. Από μια τράπουλα επιλέγω ένα χαρτί και το επανατοποθετώ. Στις 100 (!) πρώτες εκτελέσεις του πειράματος δεν έχω "άσσο" . Την 101η φορά που θα εκτελέσω το πείραμα η πιθανότητα να έχω "άσσο" είναι η ίδια με την 1η φορά; Κάτι τέτοιο θα έρθει σ' αντίθεση με το νόμο των μεγάλων αριθμών: Σε ένα πείραμα τύχης που εκτελείται πολλές φορές αν κάποιο αποτέλεσμα "καθυστερεί" τότε η πιθανότητά του να εμφανιστεί στις αμέσως επόμενες εκτελέσεις αυξάνεται.

Δεν ξέρω αν σας έπεισα! Να ρωτήσουμε και έναν επαγγελματία... χαρτοπαίκτη!

Από το εγχειρίδιο του καλού χαρτοπαίχτη:
Βασικός κανόνας 1. Πάντα υπάρχει καλύτερος.
Βασικος κανόνας 2. Η τύχη δεν έχει μνήμη(!!!)

Για τους επόμενους κανόνες θα...πληρώσετε για να τους δείτε!

Καταλήγω με μια ερώτηση, στο δεύτερο μήνυμά μου.
Μιας και δεν πήρα απάντηση, να πω ότι η απάντηση είναι 0.
Οι σκέψεις που έκανα στο δεύτερο μήνυμα εξηγούν τη λάθος απάντηση που έδωσα στο πρώτο.
Αναλυτικά.
Σε κάθε πείραμα τύχης, έστω και στην 101η εκτέλεσή του, η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου αποτελέσματός του δεν μπορεί να αλλάξει ή, όπως πάρα πολύ σωστά γράφει ο Κώστας: η τύχη δεν έχει μνήμη!

Το τι περιμένουμε, όσον αφορά τις εμφανίσεις των αποτελεσμάτων, εκτελώντας ένα πείραμα ν φορές και το οποίο μελετάει η κατανομή Bernoulli και ο νόμος των μεγάλων αριθμών, δεν έχει να κάνει με την πιθανότητα ενός αποτελέσματος στην οποιαδήποτε εκτέλεση του πειράματος

Και βέβαια, ισχύει πάντα και ο πρώτος κανόνας που γράφει ο Κώστας στο εγχειρίδιο του καλού χαρτοπαίκτη.

Να περνάτε καλά.

Συμφωνώ με τον Αντώνη και το Δημήτρη, καθώς και με το συμπληρωματικό μήνυμα του Κώστα.

Θέλω να γράψω δυο λόγια γι αυτήν την άσκηση.

Δίσταζα πολύ καιρό να την αναρτήσω, σκεπτόμενος μήπως προσβάλλω το μέγεθος της προσφοράς του Θ. Καζαντζή. Είναι στο βιβλίο του: Πιθανότητες, έκδοση Μαθηματική Βιβλιοθήκη, 1995.

Όπως διάβασα σε άλλη συζήτηση, το λάθος μπορεί να έχει διδακτικό χαρακτήρα. Η συζήτηση που προηγήθηκε (και εύχομαι να συνεχιστεί), το αποδεικνύει.
Με κάθε σεβασμό στην προσφορά του Δάσκαλου, να επισημάνω ότι 10 χρόνια μετά, εξακολουθούμε να συζητάμε, να αναφερόμαστε και να παραπέμπουμε στο έργο του!
Στην λύση της αμφισβητώ το ότι είναι ισοπίθανα τα ενδεχόμενα ω1, ω2, ω3, όπως περιγράφονται (επειδή για το ενδεχόμενο αγόρι-αγόρι γίνεται διάκριση μικρότερο, μεγαλύτερο, ενώ για το ενδεχόμενο αγόρι-κορίτσι δεν γίνεται).

Πιστεύω ότι θα έπρεπε να γίνει η τροποποίηση:

Θεωρούμε τα ισοπίθανα και ασυμβίβαστα ενδεχόμενα:
ω1 = {Δύο αγόρια, την πόρτα ανοίγει το μεγαλύτερο αγόρι).
ω2 = {Δύο αγόρια, την πόρτα ανοίγει το μικρότερο αγόρι).
ω3 = {Μικρότερο παιδί αγόρι, μεγαλύτερο παιδί κορίτσι, την πόρτα ανοίγει το αγόρι).
ω4 = {Μικρότερο παιδί κορίτσι, μεγαλύτερο παιδί αγόρι, την πόρτα ανοίγει το αγόρι).

Α = {Δύο αγόρια}. Α = ω1 U ω2 και ω1 ∩ ω2 = Ø.

Τότε Ρ(Α) = Ρ(ω1) + Ρ(ω2) = 0,5.

Εναλλακτικά, προτείνω την εξής λύση:
Ο Δειγματικός χώρος είναι: Ω = {α΄Α, α΄Κ, κ΄Α, κ΄Κ, αΑ΄, αΚ΄, κΑ΄, κΚ΄},
όπου α: πρώτο παιδί, αγόρι, κ: πρώτο παιδί κορίτσι, Α: δεύτερο παιδί αγόρι, Κ: δεύτερο παιδί κορίτσι και με τόνο συμβολίζουμε το παιδί που ανοίγει την πόρτα.

Επειδή είναι γνωστό ότι είναι αγόρι το παιδί που ανοίγει την πόρτα, ο δ.χ. περιορίζεται ως εξής: Ω΄ = {α΄Α, α΄Κ, αΑ΄, κΑ΄}.

Το ενδεχόμενο να είναι και το άλλο παιδί αγόρι, είναι: Β = {α΄Α, αΑ΄}, οπότε, έχει πιθανότητα 0,5.



Είναι αρκετά λεπτό το θέμα, όμως με παραξένεψε εξ αρχής το παράδοξο του αποτελέσματος.
Θέτω τα εξής ανάλογα προβλήματα:
Ι) "Αν για δύο ανθρώπους, ξέρω ότι ένας από τους δύο, είναι άνδρας, ποια η πιθανότητα να είναι άνδρες και οι δύο;"
ΙΙ) "Αν για δύο ανθρώπους, ξέρω ότι συγκεκριμένα ο ένας από τους δύο, είναι άνδρας, ποια η πιθανότητα να είναι και ο άλλος;"

Στο πρώτο, επειδή αποκλείεται το ενδεχόμενο "Δύο γυναίκες", η πιθανότητα του ενδεχομένου "Δύο άνδρες" είναι 1/3. Ω = {Α1Γ2, Γ1Α2, Α1Α2}
Στο δεύτερο, αφού γνωρίζω ότι ο ένας άνθρωπος (ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΑ) είναι άνδρας, έστω (Α1), τότε οι δυνατές περιπτώσεις είναι: Ω = {Α1Α2, Α1Γ2}, οπότε η πιθανότητα να είναι και οι δύο άνδρες είναι 1/2, η πιθανότητα ο άλλος άνθρωπος να είναι γυναίκα είναι 1/2 και βεβαίως η πιθανότητα να είναι δύο γυναίκες είναι 0.

Έτσι και στο αρχικό πρόβλημα, γνωρίζουμε, βλέποντάς το, ότι το συγκεκριμένο ένα παιδί είναι αγόρι, κι όχι γενικά ότι ένα από τα δύο παιδιά είναι αγόρι, οπότε, το άλλο (επίσης συγκεκριμένο) παιδί, θα είναι αγόρι με πιθανότητα 1/2.

Είναι, νομίζω λοιπόν, λογικό, η γνώση του φύλλου ενός (συγκεκριμένου) παιδιού, να μην επηρεάζει τη πιθανότητα του φύλλου του άλλου παιδιού. Π.χ. το φύλλο κάθε επόμενου παιδιού μιας οικογένειας δεν εξαρτάται από το φύλλο του προηγούμενου.


Σχετικό θέμα βρήκα στη "Μαγεία των παραδόξων" του Gardner, σελ. 112, στο "Παράδοξο των παπαγάλων".
Η προτεινόμενη 89 του βιβλίου του Θ.Κ. ταιριάζει με την περίπτωση (2) των παπαγάλων, με πιθανότητα 0,5.


Γιώργος Ρίζος

Υ.Γ. Το ωραίο είναι ότι ξεκινώ λέγοντας ότι θα γράψω δυο λόγια... Πού να ήθελα να γράψω πιο πολλά.
Συγχωρήστε μου την ακατάσχετη πολυλογία. Δεν θα επαναληφθεί (σύντομα).

Αν εκδηλωθεί ενδιαφέρον, θα αναρτήσω σε png το "Παράδοξο των παπαγάλων".

Ας συμφωνήσω με την θεώρηση του Γιώργου γιατί θεωρώ ότι τα δεδομένα ''το άλλο παιδί είναι αγόρι'' και ''το παιδί που ανοίγει την πόρτα είναι αγόρι'' είναι ανεξάρτητα, η γνώση δηλαδή του αν ''το παιδί που ανοιγει την πόρτα είναι ή όχι αγόρι'' δεν επηρεάζει την πιθανότητα ''το άλλο παιδί να είναι αγόρι ''. Όποτε P( άλλο παιδί να είναι αγόρι)=P(ένα παιδί να είναι αγόρι)=1/2.
Καλό θα ήταν το συγκεκριμένο θέμα να αλλάξει φάκελο από κάποιον διαχειριστή γιατί απευθύνεται κυρίως σε Μαθηματικά Γ Λυκείου Γενικής κι όχι σε Μαθηματικά ΑΕΙ Πιθανότητες όπως είναι τώρα.

Κύριε Γιώργο,μιας και παρατήρησα οτι τα ενδεχόμενα που παραθέτετε έχουν ως κριτήριο την ηλικία, θα μπορούσαμε να βάλουμε και άλλα 2 ενδεχόμενα

ω5={Δίδυμα αγόρι-αγόρι,ανοίγει το αγόρι}
ω6={Δίδυμα αγόρι-κορίτσι,ανοίγει το αγόρι}
Γενικά θεωρώ οτι οι πιθανότητες ή μάλλον για να το θέσω πιο σωστά,τα θέματα που αφορούν πιθανότητες,πιο πολύ κινούνται στη σφαίρα της εξαπάτησης παρά των μαθηματικών.Για να είσαι σίγουρος τι ακριβώς ζητάει ο θεματοδότης θα πρέπει:

1.Να έχεις φαντασία
ή
2.Να έχεις συννενοηθεί μαζί του και πολλές φορές στο 2ο χρειάζεται το πρώτο
ή το επιθυμητό
3. Το θέμα να είναι εντελώς σαφές

Γενικά ένα θέμα σαν αυτό που συζητάτε εδώ,είναι περισσότερο θέμα συζήτησης παρά επίλυσης.
Αυτή είναι η άποψή μου!Βέβαια τώρα ξεκινάω τη "καριέρα" μου ως μαθηματικός και οι γνώσεις μου είναι κάπως περιορισμένες.Ελπίζω στο μέλλον να αλλάξει η άποψή μου για αυτά τα θέματα!
Πάντως αυτές τις 2 εβδομάδες που ασχολούμαι πιο εντατικά με το μπορώ να πω οτι αισθάνομαι περισσότερη αγάπη για τα μαθηματικά παρά ως φοιτητής!

επεξεργασία:έβαλα και το ενδεχόμενο να είναι δίδυμα αλλά αγόρι-κορίτσι

και αν είναι υιοθετημένο;

Επισκέπτεται κάποιος το σπίτι συναδέλφου του, για τον οποίο γνωρίζει ότι έχει δυο παιδιά. Κτυπάει το κουδούνι του διαμερίσματος και του ανοίγει ένα αγόρι, γιος του συναδέλφου του. Ποια η πιθανότητα να είναι και το άλλο παιδί αγόρι;

Χαιρετώ τους φίλους του φόρουμ. Κατ' αρχήν να αναφέρω ότι δεν είμαι μαθηματικός, ούτε καν καλός στα μαθηματικά.

Τελευταία έχω μπλέξει κι εγώ με τις πιθανότητες. Νόμιζα ότι είχα καταλάβει τη θεωρία αρκετά καλά, όμως μετά από κάποια παράδοξα
που συνάντησα η βεβαιότητα αυτή κατέρευσε σαν χάρτινος πύργος!
Αναφέρομαι κυρίως στο παράδοξο του Monty Hall και σε άλλα παρόμοια. Τόσα χρόνια που έβλεπα το Μεγάλο Παζάρι στο MEGA δεν είχε
περάσει καν από το μυαλό μου η σκέψη ότι αλλάζοντας κουρτίνα είχε ο διαγωνιζόμενος διπλάσιες πιθανότητες να κερδίσει το αυτοκίνητο!
Απ' ότι φαίνεται μιας και οι 8-9 στους 10 ανθρώπους κάνουν λάθος σε αυτό το πρόβλημα η ανθρώπινη διαίσθηση δεν έχει καλή απόδοση
στις πιθανότητες.

Ας επανέλθω όμως στο τρέχον πρόβλημα που συζητήσατε. Λέτε ότι (διατυπώνοντας αλλιώς):
Αν χτυπήσω 100 πόρτες σε επιλεγμένες οικογένειες που έχουν 2 ακριβώς παιδιά και μου ανοίξει και στις 100 ένα αγόρι, τότε υπάρχει
πιθανότητα 1/2 το άλλο παιδί της οικογένειας να είναι αγόρι. Δηλαδή οι 50 οικογένειες από τις 100 αυτές θα έχουν 2 αγόρια.

Όμως γνωρίζουμε ότι σε 100 οικογένειες με 2 παιδιά θα υπάρχουν γύρω στις 75 (3/4) που θα έχουν τουλάχιστον ένα αγόρι. Αλλά και ότι
το 1/4 των 100 οικογενειών θα έχει 2 αγόρια. Επομένως από τις 75 οικογένειες που θα έχουν τουλάχιστον ένα αγόρι μόνο οι 25 θα έχουν
2 αγόρια. 25 στις 75 όμως μας κάνει 1/3 και όχι 1/2. Δηλαδή αναμένουμε να βρούμε σε 100 οικογένειες με ένα τουλάχιστον αγόρι γύρω
στις 33 που θα έχουν 2 αγόρια. Το ότι μας άνοιξε την πόρτα ένα αγόρι πώς ακριβώς αλλάζει αυτό το αποτέλεσμα και μας δίνει τελικά 50
οικογένειες με 2 αγόρια;

Θα επιχειρήσω ένα νοητικό πείραμα προκειμένου να κατανοηθεί καλύτερα το σκεπτικό μου. Θα επικοινωνήσουμε τηλεφωνικά με πολλές
οικογένειες, ρωτώντας αν έχουν 2 παιδιά ακριβώς και θα καταγράψουμε τη διεύθυνση όσων πληρούν αυτό το κριτήριο. Κατόπιν θα
ορίσουμε ένα ραντεβού με κάθε οικογένεια ενημερώνοντάς τους για την ακριβή μέρα και ώρα που θα τους επισκεφτούμε. Θα τους ζητήσουμε
αν υπάρχει αγόρι στην οικογένεια να μας ανοίξει αυτό την πόρτα υποχρεωτικά. Πηγαίνοντας σε κάθε σπίτι - και αν πάμε σε 1000 σπίτια -
θα μας ανοίξουν την πόρτα αγόρια σε 750 σπίτια. Κατόπιν θα καταγράψουμε σε κάθε σπίτι αν το αδελφάκι του ήταν αγόρι ή κορίτσι.
Πιστεύετε ότι θα βρούμε 375 ή 250 αδέλφια αγόρια;

Σπύρο, το πρόβλημα εδώ είναι η ερμηνεία της άσκησης. Με τον τρόπο που την ερμηνεύεις η απάντηση που δίνεις είναι σωστή. Το λάθος όμως στην ερμηνεία είναι αυτό εδώ:

Spiros252 έγραψε: Θα τους ζητήσουμε αν υπάρχει αγόρι στην οικογένεια να μας ανοίξει αυτό την πόρτα υποχρεωτικά.

Η σωστή ερμηνεία είναι η εξής. Θα περάσουμε και από τα 1000 σπίτια στα οποία γνωρίζουμε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο παιδιά. Αν μας ανοίξει αγόρι, θα το ρωτήσουμε «Το αδελφάκι σας είναι αγόρι ή κορίτσι;». Αν μας ανοίξει κορίτσι θα του πούμε «Συγνώμη, πρέπει να έκανα λάθος», θα φύγουμε και θα σβήσουμε αυτό το γεγονός από την μνήμη μας. Τώρα από τα 1000 σπίτια

- Στα 250 είναι μόνο κορίτσια. Θα μας ανοίξει κορίτσι και θα φύγουμε.
- Στα 250 είναι μόνο αγόρια. Θα ρωτήσουμε και θα πάρουμε απάντηση αγόρι.
- Στα 500 είναι από ένα αγόρι και ένα κορίτσι. Στα 250 θα μας ανοίξει το κορίτσι και θα φύγουμε. Στα άλλα 250 θα μας ανοίξει το αγόρι και θα πάρουμε απάντηση κορίτσι.

Άρα θα μας ανοίξει αγόρι στο 500 σπίτια (όχι στα 750) και θα πάρουμε απάντηση αγόρι 250 φορές δηλαδή ακριβώς τις μισές.

Σπύρο, το πρόβλημα εδώ είναι η ερμηνεία της άσκησης. Με τον τρόπο που την ερμηνεύεις η απάντηση που δίνεις είναι σωστή. Το λάθος όμως στην ερμηνεία είναι αυτό εδώ:


Spiros252 έγραψε:
Θα τους ζητήσουμε αν υπάρχει αγόρι στην οικογένεια να μας ανοίξει αυτό την πόρτα υποχρεωτικά.

Δημήτρη πιστεύω πως η ερμηνεία που δίνω είναι σωστή γιατί στο πείραμα δίνεται ως δεδομένο το ότι θα μας ανοίξει αγόρι. Επομένως πρέπει
να περιοριστούμε σε ένα σύνολο περιπτώσεων με το δεδομένο αυτό. Δηλαδή αν πούμε ότι σε 100 τέτοιες περιπτώσεις θα μας ανοίξει την πόρτα
και κορίτσι αλλοιώνουμε την αρχική διατύπωση. Πρέπει να εξετάσουμε την πιθανότητα που θα υπάρξει τελικά αν επαναλάβουμε το πείραμα
με τους ίδιους όρους, αν και μόνο αν και στις 100 οικογένειες μας ανοίξει αγόρι.

Εκτός από αυτό - και αφού λαμβάνεις υπ' όψιν σου ότι μπορεί να ανοίξει την πόρτα και κορίτσι - πρέπει να λάβεις επίσης τα ενδεχόμενα να
ανοίξει κάποιος από τους γονείς, να ανοίξει ο παππούς ή η γιαγιά, να μην ανοίξουν καθόλου, να ανοίξουν και τα 2 παιδιά μαζί κ.λπ.
Έτσι η διατύπωση καθίσταται εντελώς ασαφής και το πρόβλημα μπερδεύεται.

Η έννοια νομίζω της πιθανότητας που πρέπει να βρούμε με αυτή την άσκηση είναι τι πιθανότητα θα έχουμε σε ένα σύνολο περιπτώσεων που
την πόρτα μας ανοίγει ένα αγόρι, να βρούμε στο σπίτι άλλο ένα αγόρι. Δεν νομίζω ότι δικαιούμαστε να γενικεύσουμε την περίπτωση και να
λάβουμε περισσότερα ενδεχόμενα αυθαίρετα, όπως το να ανοίξει την πόρτα ένα κορίτσι ή κάποιος άλλος. Ο ερωτών ζητάει να γνωρίζει την
πιθανότητα για αυτές τις συγκεκριμένες περιπτώσεις και όχι γενικά για το σύνολο των περιπτώσεων.

Στο συγκεκριμένο πρόβλημα τα μόνα δεδομένα που έχουμε είναι ότι η οικογένεια έχει δυο παιδιά και ότι μας άνοιξε αγόρι. Βάση αυτών των δεδομένων πρέπει να κάνουμε τους υπολογισμούς μας. Χωρίς περισσότερες πληροφορίες, το μόνο που μπορούμε να υποθέσουμε είναι πως όση πιθανότητα υπήρχε να μας ανοίξει το ένα από τα δυο παιδιά, τόση πιθανότητα έχει να μας ανοίξει και το άλλο. Δεν μας λέει κανένας ότι αν η οικογένεια είχε και αγόρι και κορίτσι τότε υποχρεωτικά θα μας άνοιγε το αγόρι. (Εκτός αν ζούσαμε σε μια κοινωνία όπου τα αγόρια δεν θα καταδέχονταν να αφήσουν την αδερφή τους να ανοίξει την πόρτα.)