Πιθανότητα 0

stranger · #1

Να εξηγηθεί σε έναν προπτυχιακό φοιτητή που παρακολουθεί πιθανότητες πως γίνεται ένα ενδεχόμενο να μπορεί να συμβεί και ταυτόχρονα να έχει πιθανότητα 0.

#2

Καλησπέρα. Μιά σχετική συζήτηση, εδώ στο

είναι ΕΔΩ.

stranger · #3

Η εξήγηση μου βρίσκεται στο επόμενο παράδειγμα.
Έστω ένα τρίγωνο ABC

στο οποίο καθώς φέρνουμε το ύψος του που τέμνει την

στο

, διαλέγουμε τυχαία ένα εσωτερικό σημείο του ABC

.
Ποια η πιθανότητα το σημείο να ανήκει στο εσωτερικό του AMB

;
Προφανώς η ζητούμενη πιθανότητα είναι το εμβαδόν του AMB

προς το εμβαδόν του ABC

.
Ακολουθώντας την ίδια συλλογιστική, η πιθανότητα το σημείο να ανήκει στο

είναι το εμβαδόν του

προς το εμβαδόν του ABC

το οποίο είναι προφανώς

.
Όμως μπορεί το επιλεγόμενο σημείο να ανήκει στο

.
Αυτή είναι η εξήγησή μου.

Μάρκος Βασίλης · #4

stranger έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 08, 2020 5:27 pm
Να εξηγηθεί σε έναν προπτυχιακό φοιτητή που παρακολουθεί πιθανότητες πως γίνεται ένα ενδεχόμενο να μπορεί να συμβεί και ταυτόχρονα να έχει πιθανότητα 0.

Πρώτη απόπειρα (αυστηρή)
Επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό στο [0,1]

- με την ίδια πιθανότητα

. Αν

τότε η πιθανότητα να διαλέξουμε έναν εκ των αριθμών στο σύνολο:

$\displaystyle{A=\left\{1,\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{\lceil 1/p\rceil}\right\}}$

είναι ίση με (πεπερασμένη προσθετικότητα):

$\displaystyle{P(A)=\sum_{k=1}^{\lceil p\rceil}p=p\left\lceil\frac{1}{p}\right\rceil>p\frac{1}{p}=1,}$

άτοπο, άρα p=0

. Δηλαδή, η πιθανότητα να επιλέξουμε έναν αριθμό είναι

. Ωστόσο, κάποιος από αυτούς θα έχει επιλεγεί στο τέλος.

Δεύτερη απόπειρα (χαλαρή)
Επιλέγουμε πάλι τυχαία έναν αριθμό στο [0,1]

. Κάθε αριθμός στο [0,1]

αναπαριστάται στο δεκαδικό σύστημα ως εξής:

$\displaystyle{0.a_1a_2\ldots,}$

όπου $a_i\in\{0,1,\ldots,9\}$ . Σταθεροποιούμε έναν αριθμό $a\in[0,1]$ με δεκαδική αναπαράσταση $0.a_1a_2\ldots$ . Για να επιλέξω έναν συγκεκριμένο αριθμό, πρέπει να επιλέξω σωστά όλα του τα ψηφία. Για το πρώτο ψηφία, αυτό συμβαίνει με πιθανότητα $\frac{1}{10}$ . Για το δεύτερο επίσης, όπως και για κάθε άλλο ψηφίο του. Η «μαντεψιά» κάθε ψηφίου είναι ανεξάρτητη από κάθε άλλη, επομένως, για να μαντέψουμε τα πρώτα

δεκαδικά ψηφία του αριθμού έχουμε πιθανότητα:

$\displaystyle{p_n=\frac{1}{10^n}.}$

Καθώς το

μεγαλώνει αυθαίρετα, προσεγγίζουμε την πιθανότητα να μαντέψουμε τον αριθμό

. Ωστόσο

άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι

. Όμως, στο τέλος θα επιλέξουμε κάποιον αριθμό.

Στο τελευταίο «κρύβεται» η ιδιότητα της συνέχεια ενός μέτρου πιθανότητας.

Πιθανότητα 0

Πιθανότητα 0

Re: Πιθανότητα 0

Re: Πιθανότητα 0

Re: Πιθανότητα 0

Μέλη σε σύνδεση