Ν-εδρο ζάρι

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Ρίχνουμε διαδοχικά ένα συμμετρικό ζάρι με

έδρες μέχρι το αποτέλεσμα της επόμενης ρίψης να είναι

μικρότερο από της προηγούμενης. Να δείξετε ότι θα χρειαστεί να περιμένουμε (κατά μέσο όρο) χρόνο $\left (\dfrac{n}{n-1} \right )^n.$

Π.χ. για την ακολουθία 2,3,4,4,4,8,8,2

ο χρόνος μας είναι

#2

Γράφουμε

για το προσδοκόμενο πλήθος επιπλέον ρίψεων που χρειάζονται αν το ζάρι δείχνει την έδρα

. Προφανώς ο ζητούμενος χρόνος ισούται με $\displaystyle T = T_1 = 1 + \frac{T_1 + \cdots + T_n}{n}.$

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle T_k = 1 + \frac{T_{k} + \cdots + T_n}{n}.$

Άρα $\displaystyle T_n = 1 + \frac{T_n}{n}$ που δίνει $\displaystyle T_n = \frac{n}{n-1}.$

Επίσης, $\displaystyle T_k - T_{k+1} = \frac{T_{k}}{n}$ που δίνει $\displaystyle T_k = \left(\frac{n}{n-1}\right)T_{k+1}$

Επαγωγικά παίρνουμε $\displaystyle T = T_1 = \left( \frac{n}{n-1}\right)^n$

Ν-εδρο ζάρι

Ν-εδρο ζάρι

Re: Ν-εδρο ζάρι

Μέλη σε σύνδεση