Ν-εδρο ζάρι

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 588
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ν-εδρο ζάρι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Σεπ 30, 2019 10:56 pm

Ρίχνουμε διαδοχικά ένα συμμετρικό ζάρι με n έδρες μέχρι το αποτέλεσμα της επόμενης ρίψης να είναι

μικρότερο από της προηγούμενης. Να δείξετε ότι θα χρειαστεί να περιμένουμε (κατά μέσο όρο) χρόνο \left (\dfrac{n}{n-1} \right )^n.

Π.χ. για την ακολουθία 2,3,4,4,4,8,8,2 ο χρόνος μας είναι 8.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8286
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ν-εδρο ζάρι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Σεπ 30, 2019 11:34 pm

Γράφουμε T_k για το προσδοκόμενο πλήθος επιπλέον ρίψεων που χρειάζονται αν το ζάρι δείχνει την έδρα k. Προφανώς ο ζητούμενος χρόνος ισούται με \displaystyle  T = T_1 = 1 + \frac{T_1 + \cdots + T_n}{n}.

Παρατηρούμε ότι \displaystyle  T_k = 1 + \frac{T_{k} + \cdots + T_n}{n}.

Άρα \displaystyle  T_n = 1 + \frac{T_n}{n} που δίνει \displaystyle  T_n = \frac{n}{n-1}.

Επίσης, \displaystyle  T_k - T_{k+1} = \frac{T_{k}}{n} που δίνει \displaystyle T_k = \left(\frac{n}{n-1}\right)T_{k+1}

Επαγωγικά παίρνουμε \displaystyle  T = T_1 = \left( \frac{n}{n-1}\right)^n


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης