Δροσερό καφεδάκι
Δροσερό καφεδάκι
Κάθε μέρα δροσίζω τον καφέ μου με 3 παγάκια, τα οποία παίρνω τυχαία από την 10θέσια παγοθήκη μου, και κατόπιν ξαναγεμίζω με νερό τις άδειες θέσεις, για να έχω μια γεμάτη παγοθήκη και την επόμενη μέρα. Κάθε πόσες μέρες (κατά μέσο όρο) ανανεώνονται όλες οι θήκες με καινούριο νερό;
- Συνημμένα
-
- U6787 1 8 big block ice tray.jpg (818.21 KiB) Προβλήθηκε 1659 φορές
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Δροσερό καφεδάκι
Αν με συμβολίσουμε τον αναμενόμενο χρόνο μέχρι να ανανεωθούν όλα τα παγάκια δεδομένου ότι έχουν ήδηkkoudas έγραψε: ↑Σάβ Ιουν 29, 2019 10:36 pmΚάθε μέρα δροσίζω τον καφέ μου με 3 παγάκια, τα οποία παίρνω τυχαία από την 10θέσια παγοθήκη μου, και κατόπιν ξαναγεμίζω με νερό τις άδειες θέσεις, για να έχω μια γεμάτη παγοθήκη και την επόμενη μέρα. Κάθε πόσες μέρες (κατά μέσο όρο) ανανεώνονται όλες οι θήκες με καινούριο νερό;
ανανεωθεί ακριβώς τότε η ζητούμενη μέση τιμή μπορεί να προκύψει από τη λύση του παρακάτω
συστήματος (όχι με το χέρι ):
και για
όπου συμβατικά θεωρούμε .
Για παράδειγμα για έχουμε ότι βρισκόμαστε στην κατάσταση (δηλαδή έχουν ανανεωθεί
μόνο παγάκια) και με πιθανότητα παραμένουμε σε αυτή την
κατάσταση, με πιθανότητα πάμε σε κατάσταση , με
πιθανότητα πάμε σε κατάσταση και τέλος με
πιθανότητα πάμε σε κατάσταση .
Η λύση του παραπάνω συστήματος δίνει
Παρακάτω βάζω και μια εικόνα όπου φαίνεται η επίλυση του προβλήματος με Monte Carlo simulation στο πακέτο
Mathematica. Υπολογίζεται η προσεγγιστική μέση τιμή, η τυπική απόκλιση και δίνεται στο ιστόγραμμα η προσεγγιστική
κατανομή του χρόνου μέχρι να ανανεωθούν όλα τα παγάκια.
- Συνημμένα
-
- PROB.JPG (95.11 KiB) Προβλήθηκε 1581 φορές
Re: Δροσερό καφεδάκι
Την ίδια ακριβώς λύση έφτιαξα κι εγώ! Μόνο τα σύμβολα ήταν διαφορετικά και τα ορισμένα ανάποδα (είχα πάρει ημέρες μέχρι να ανανεωθούν όλα, όταν έχουν μείνει παλιά παγάκια)... Τι πιθανότητα έχει αυτό;
- Συνημμένα
-
- 65851010_325418701736171_947513701538201600_n.jpg (71.69 KiB) Προβλήθηκε 1515 φορές
-
- 65637178_2476084485777482_8045486726329663488_n.jpg (48.63 KiB) Προβλήθηκε 1515 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Δροσερό καφεδάκι
Έστω η τ.μ. που καταμετρεί το πλήθος από διαφορετικά παγάκια που έχουμε μαζέψει μέχρι την χρονική στιγμή .
Ορίζουμε H είναι χρόνος διακοπής (stopping time).
Για την κατανομή της μπορούμε να δουλέψουμε με τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης (η έχει
την ιδιότητα Markov). Οι καταστάσεις είναι οι . Ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης (ενός βήματος) είναι ο
ο οποίος έχει ιδιοτιμές τα διαγώνια στοιχεία (είναι άνω τριγωνικός) και από το φασματικό θεώρημα της Γραμμικής
Άλγεβρας έχουμε ότι γράφεται όπου o πίνακας με τα ιδιοδιανύσματα και ο
διαγώνιος με στοιχεία της διαγωνίου τις ιδιοτιμές. Άρα . To
στοιχείο του μας δίνει την πιθανότητα να φτάσουμε από κατάσταση σε κατάσταση
σε βήματα. Επειδή στο υπολογισμό αυτής της πιθανότητας συνυπολογίζονται και τα ενδεχόμενα να έχουμε
πιάσει κατάσταση σε λιγότερα βήματα από και μετά, στα επόμενα βήματα, να παραμένουμε σε
αυτή την κατάσταση η ζητούμενη κατανομή για
θα είναι το στοιχείο του . Οι υπολογισμοί έγιναν στο mathematica
και έδωσαν τελικά (το όχι και τόσο κομψό)
και το γράφημά της είναι στην παρακάτω εικόνα
- Συνημμένα
-
- density.JPG (17.24 KiB) Προβλήθηκε 1415 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης