Ο Σπύρος ο αυτοφωράκιας

kkoudas · #1

Ο Σπύρος εργάζεται σ’ ένα μαγαζί με φρουτάκια ως αυτοφωράκιας. Δηλαδή, αν μπουκάρει η αστυνομία (30% πιθανότητα), δηλώνει αυτός υπεύθυνος, οπότε μπουζουριάζουν αυτόν αντί για το αφεντικό. Το μεροκάματό του είναι 20€, αλλά, αν συλληφθεί, παίρνει μπόνους 100€ (σύνολο 120€ εκείνη την ημέρα).
Ι) Ποιο είναι το μέσο μηνιάτικο του Σπύρου;
ΙΙ) Κάθε πόσες μέρες περίπου παίρνει απανωτά δύο μπόνους;
ΙΙΙ) Ποια η πιθανότητα να μην του τύχουν ούτε μια φορά απανωτά δύο μπόνους σε διάστημα ενός έτους;

Λάμπρος Κατσάπας · #2

kkoudas έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 14, 2019 9:23 am
Ο Σπύρος εργάζεται σ’ ένα μαγαζί με φρουτάκια ως αυτοφοράκιας. Δηλαδή, αν μπουκάρει η αστυνομία (30% πιθανότητα), δηλώνει αυτός υπεύθυνος, οπότε μπουζουριάζουν αυτόν αντί για το αφεντικό. Το μεροκάματό του είναι 20€, αλλά, αν συλληφθεί, παίρνει μπόνους 100€ (σύνολο 120€ εκείνη την ημέρα).
Ι) Ποιο είναι το μέσο μηνιάτικο του Σπύρου;
ΙΙ) Κάθε πόσες μέρες περίπου παίρνει απανωτά δύο μπόνους;
ΙΙΙ) Ποια η πιθανότητα να μην του τύχουν ούτε μια φορά απανωτά δύο μπόνους σε διάστημα ενός έτους;

Ι) Αν ο μήνας έχει

μέρες τότε το μέσο μηνιάτικο είναι $30(20\cdot 0.7+120\cdot 0.3)=1500$ €.

ΙΙ) Έστω

ο αναμενόμενος χρόνος μέχρι να πάρει δύο συνεχόμενα bonus. Αν η πρώτη μέρα δεν έχει

bonus (πιθανότητα $\dfrac{7}{10}$ ) τότε ξαναρχίζουμε από την αρχή και ο αναμενόμενος χρόνος είναι πάλι

. Αν όμως η πρώτη μέρα έχει bonus (πιθανότητα $\dfrac{3}{10}$ ) τότε έστω E_1

ο

αναμενόμενος χρόνος μέχρι να έχουμε δύο συνεχόμενα bonus. Από τα παραπάνω παίρνουμε το σύστημα

$\begin{Bmatrix} E=1+\dfrac{7}{10}E+\dfrac{3}{10}E_1\\ E_1=1+\dfrac{3}{10}\cdot 0+\dfrac{7}{10}E \end{Bmatrix}\Rightarrow E=\dfrac{130}{9}.$
Αν θέλουμε τον μέσο χρόνο μέχρι να εμφανιστεί το διπλό bonus αφαιρούμε από το τελευταίο αποτέλεσμα

ΙΙΙ) Έστω A_n

το ενδεχόμενο στις

μέρες να μην έχουμε δύο συνεχόμενα bonus.

Αυτό μπορεί να συμβεί ως εξής:

Την τελευταία μέρα (

-οστή) δεν έχουμε bonus (με πιθανότητα $\dfrac{7}{10}$ ) και τις

προηγούμενες n-1

μέρες δεν έχουμε δύο συνεχόμενα bonus ή την τελευταία μέρα έχουμε bonus, την

προηγούμενη όχι (πιθανότητα $\dfrac{21}{100}$ ) και τις n-2

τελευταίες μέρες δεν έχουμε δύο

συνεχόμενα bonus. Άρα

$P(A_n)=\dfrac{7}{10}P(A_{n-1})+\dfrac{21}{100}P(A_{n-2}),$

με $P(A_1)=1,P(A_2)=1-\left (\dfrac{3}{10} \right )^2=\dfrac{91}{100}.$

H αναδρομική έχει χαρακτηριστική εξίσωση $x^2-\dfrac{7}{10}x-\dfrac{21}{100}=0$ η οποία έχει δύο διακεκριμένες

ρίζες κλπ. Το $P(A_{365})$ μας δίνει το ζητούμενο.

kkoudas · #3

Ακριβώς!!! Αν παρατήρησες, είναι μια ελαφριά παραλλαγή αυτού που είχα ανεβάσει στο φβ.

Ο Σπύρος ο αυτοφωράκιας

Ο Σπύρος ο αυτοφωράκιας

Re: Ο Σπύρος ο αυτοφοράκιας

Re: Ο Σπύρος ο αυτοφοράκιας

Μέλη σε σύνδεση