Ο Σπύρος ο αυτοφωράκιας

kkoudas
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Δευ Ιουν 11, 2018 11:48 am

Ο Σπύρος ο αυτοφωράκιας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkoudas » Παρ Ιουν 14, 2019 9:23 am

Ο Σπύρος εργάζεται σ’ ένα μαγαζί με φρουτάκια ως αυτοφωράκιας. Δηλαδή, αν μπουκάρει η αστυνομία (30% πιθανότητα), δηλώνει αυτός υπεύθυνος, οπότε μπουζουριάζουν αυτόν αντί για το αφεντικό. Το μεροκάματό του είναι 20€, αλλά, αν συλληφθεί, παίρνει μπόνους 100€ (σύνολο 120€ εκείνη την ημέρα).
Ι) Ποιο είναι το μέσο μηνιάτικο του Σπύρου;
ΙΙ) Κάθε πόσες μέρες περίπου παίρνει απανωτά δύο μπόνους;
ΙΙΙ) Ποια η πιθανότητα να μην του τύχουν ούτε μια φορά απανωτά δύο μπόνους σε διάστημα ενός έτους;
Συνημμένα
58380201_824253454587024_1691233343774916608_n.jpg
58380201_824253454587024_1691233343774916608_n.jpg (53.37 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές
τελευταία επεξεργασία από kkoudas σε Σάβ Ιουν 15, 2019 11:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\ln^3(\ln x-2)+7=-1 \Leftrightarrow
 \ln^3\cdot\ln x-2\ln^3=-8  \Leftrightarrow
 \ln^{3+x}-\ln^6=-8 \Leftrightarrow
e^{\ln{3+x}}-e^{\ln6}=e^{-8}  \Leftrightarrow
{3+x-6}=\frac{1}{e^8}  \Leftrightarrow
x=\frac{1}{e^8}+3

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 688
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ο Σπύρος ο αυτοφοράκιας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Ιουν 14, 2019 1:17 pm

kkoudas έγραψε:
Παρ Ιουν 14, 2019 9:23 am
Ο Σπύρος εργάζεται σ’ ένα μαγαζί με φρουτάκια ως αυτοφοράκιας. Δηλαδή, αν μπουκάρει η αστυνομία (30% πιθανότητα), δηλώνει αυτός υπεύθυνος, οπότε μπουζουριάζουν αυτόν αντί για το αφεντικό. Το μεροκάματό του είναι 20€, αλλά, αν συλληφθεί, παίρνει μπόνους 100€ (σύνολο 120€ εκείνη την ημέρα).
Ι) Ποιο είναι το μέσο μηνιάτικο του Σπύρου;
ΙΙ) Κάθε πόσες μέρες περίπου παίρνει απανωτά δύο μπόνους;
ΙΙΙ) Ποια η πιθανότητα να μην του τύχουν ούτε μια φορά απανωτά δύο μπόνους σε διάστημα ενός έτους;
Ι) Αν ο μήνας έχει 30 μέρες τότε το μέσο μηνιάτικο είναι 30(20\cdot 0.7+120\cdot 0.3)=1500€.

ΙΙ) Έστω E ο αναμενόμενος χρόνος μέχρι να πάρει δύο συνεχόμενα bonus. Αν η πρώτη μέρα δεν έχει

bonus (πιθανότητα \dfrac{7}{10}) τότε ξαναρχίζουμε από την αρχή και ο αναμενόμενος χρόνος είναι πάλι

E. Αν όμως η πρώτη μέρα έχει bonus (πιθανότητα \dfrac{3}{10}) τότε έστω E_1 ο

αναμενόμενος χρόνος μέχρι να έχουμε δύο συνεχόμενα bonus. Από τα παραπάνω παίρνουμε το σύστημα

\begin{Bmatrix} E=1+\dfrac{7}{10}E+\dfrac{3}{10}E_1\\ E_1=1+\dfrac{3}{10}\cdot 0+\dfrac{7}{10}E \end{Bmatrix}\Rightarrow E=\dfrac{130}{9}.
Αν θέλουμε τον μέσο χρόνο μέχρι να εμφανιστεί το διπλό bonus αφαιρούμε από το τελευταίο αποτέλεσμα 2.

ΙΙΙ) Έστω A_n το ενδεχόμενο στις n μέρες να μην έχουμε δύο συνεχόμενα bonus.

Αυτό μπορεί να συμβεί ως εξής:

Την τελευταία μέρα (n-οστή) δεν έχουμε bonus (με πιθανότητα \dfrac{7}{10}) και τις

προηγούμενες  n-1 μέρες δεν έχουμε δύο συνεχόμενα bonus ή την τελευταία μέρα έχουμε bonus, την

προηγούμενη όχι (πιθανότητα \dfrac{21}{100}) και τις  n-2 τελευταίες μέρες δεν έχουμε δύο

συνεχόμενα bonus. Άρα

P(A_n)=\dfrac{7}{10}P(A_{n-1})+\dfrac{21}{100}P(A_{n-2}),


με P(A_1)=1,P(A_2)=1-\left (\dfrac{3}{10} \right )^2=\dfrac{91}{100}.

H αναδρομική έχει χαρακτηριστική εξίσωση x^2-\dfrac{7}{10}x-\dfrac{21}{100}=0 η οποία έχει δύο διακεκριμένες

ρίζες κλπ. Το P(A_{365}) μας δίνει το ζητούμενο.


kkoudas
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Δευ Ιουν 11, 2018 11:48 am

Re: Ο Σπύρος ο αυτοφοράκιας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkoudas » Σάβ Ιουν 15, 2019 11:04 pm

Ακριβώς!!! Αν παρατήρησες, είναι μια ελαφριά παραλλαγή αυτού που είχα ανεβάσει στο φβ.


\ln^3(\ln x-2)+7=-1 \Leftrightarrow
 \ln^3\cdot\ln x-2\ln^3=-8  \Leftrightarrow
 \ln^{3+x}-\ln^6=-8 \Leftrightarrow
e^{\ln{3+x}}-e^{\ln6}=e^{-8}  \Leftrightarrow
{3+x-6}=\frac{1}{e^8}  \Leftrightarrow
x=\frac{1}{e^8}+3
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης