mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 04, 2019 6:06 pm**

Δυο παίκτες Α,Β παίζουν το εξής παιχνίδι : πρώτα ο Α διαλέγει ενα πραγματικό αριθμό απο το [0,1]. Κατόπιν, διαλέγει ένα αριθμό ο Β, ο οποίος θα είναι διαφορετικός από τον αντίστοιχο του Α. Τέλος, επιλέγεται ένας αριθμός τυχαία ομοιόμορφα απο το [0,1]. Νικητής είναι ο παίκτης που έχει επιλέξει αριθμό πιο κοντά στον αριθμό που επιλέχτηκε τυχαία στο τέλος.
Ερώτηση 1 : αν ο Α επιλέξει το 0, ποια είναι η καλύτερη επιλογή για τον Β ;
Ερώτηση 2 : ποια είναι η καλύτερη επιλογή για τον Α ;

Οι δικές μου σκέψεις είναι οι εξής : δεδομένου οτι η μέση τιμή της συνεχούς ομοιόμορφης στο [0,1] είναι $\frac{1}{2}$ ,
για την ερώτηση 1, η καλύτερη επιλογή του Β είναι ο,ποιοσδήποτε αριθμός εκτός του 1, αφού κάθε τέτοια επιλογή αναμένεται να είναι πιο κοντά στο $\frac{1}{2}$ από το 0 που επέλεξε ο Α.
για την ερώτηση 2, η καλύτερη επιλογή του Α είναι το $\frac{1}{2}$ .

Είναι σωστός ο συλλογισμός μου ;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 05, 2019 3:21 am**

v2gls έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 04, 2019 6:06 pm
Δυο παίκτες Α,Β παίζουν το εξής παιχνίδι : πρώτα ο Α διαλέγει ενα πραγματικό αριθμό απο το [0,1]. Κατόπιν, διαλέγει ένα αριθμό ο Β, ο οποίος θα είναι διαφορετικός από τον αντίστοιχο του Α. Τέλος, επιλέγεται ένας αριθμός τυχαία ομοιόμορφα απο το [0,1]. Νικητής είναι ο παίκτης που έχει επιλέξει αριθμό πιο κοντά στον αριθμό που επιλέχτηκε τυχαία στο τέλος.
Ερώτηση 1 : αν ο Α επιλέξει το 0, ποια είναι η καλύτερη επιλογή για τον Β ;
Ερώτηση 2 : ποια είναι η καλύτερη επιλογή για τον Α ;

Οι δικές μου σκέψεις είναι οι εξής : δεδομένου οτι η μέση τιμή της συνεχούς ομοιόμορφης στο [0,1] είναι $\frac{1}{2}$ ,
για την ερώτηση 1, η καλύτερη επιλογή του Β είναι ο,ποιοσδήποτε αριθμός εκτός του 1, αφού κάθε τέτοια επιλογή αναμένεται να είναι πιο κοντά στο $\frac{1}{2}$ από το 0 που επέλεξε ο Α.
για την ερώτηση 2, η καλύτερη επιλογή του Α είναι το $\frac{1}{2}$ .

Είναι σωστός ο συλλογισμός μου ;

Για το 1ο. Μην μπερδεύεσε με την μέση τιμή. Δεν υπάρχει καλύτερη επιλογή για τον B. Ιδανικά ο Β θα πρέπει να παίξει ώστε να μεγιστοποιήσει την πιθανότητα να κερδίσει. Όμως η πιθανότητα αυτή δεν έχει $\max$ . Mόνο $\sup$ το 1. Γεωμετρικά αν το δεις ο Β θα θέλει να επιλέξει αριθμό

οσοδήποτε κοντά στον 0. Η πιθανότητα να κερδίσει τοτε θα είναι $1-\dfrac{b}{2}$ . Φορμαλιστικά θέλουμε $\sup P(|b-X|<X)=\sup P(X>\frac{b}{2})=\sup(1-\dfrac{b}{2})$ απ'όπου παίρνουμε τελικά $\sup=1$ . Στο 2ο όντως η καλύτερη επιλογή του Α είναι το $\dfrac{1}{2}.$ Εξήγησε γιατί.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 15, 2019 11:20 am**

γιατί η μέση τιμή είναι η τιμή που ελαχιστοποιεί την ποσότητα $E|X-\alpha|^2$ , όπου $\alpha \in \mathbb{R}$ . σωστά;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 15, 2019 11:43 am**

v2gls έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 15, 2019 11:20 am
γιατί η μέση τιμή είναι η τιμή που ελαχιστοποιεί την ποσότητα $E|X-\alpha|^2$ , όπου $\alpha \in \mathbb{R}$ . σωστά;

Το μέσο τετραγωνικό σφάλμα δεν έχει σχέση εδώ.

Βάλε τον Α στο $\dfrac{1}{2}.$ Η πιθανότητα να κερδίσει θα είναι τότε (όπου και αν κάτσει ο Β, αριστερά ή δεξιά)

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{\left | 1/2-b \right |}{2}>1/2.$ Αν τον βάλεις σε άλλη θέση τον Α τότε ο Β μπορεί απλά να

κάτσει στο $\dfrac{1}{2}$ και να έχει πιθανότητα νίκης αυτή που είχε πριν ο Α δηλαδή $>\dfrac{1}{2}$

(μπορεί να κάτσει και σε καλύτερη θέση από αυτή αλλά δεν μας νοιάζει).

Άρα η καλύτερη επιλογή για τον A είναι το $\dfrac{1}{2}$ .

mathematica.gr

Ένα ερώτημα στις πιθανότητες

Ένα ερώτημα στις πιθανότητες

Re: Ένα ερώτημα στις πιθανότητες

Re: Ένα ερώτημα στις πιθανότητες

Re: Ένα ερώτημα στις πιθανότητες