Ένα ερώτημα στις πιθανότητες

v2gls
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Τετ Δεκ 16, 2015 9:39 pm

Ένα ερώτημα στις πιθανότητες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από v2gls » Σάβ Μάιος 04, 2019 6:06 pm

Δυο παίκτες Α,Β παίζουν το εξής παιχνίδι : πρώτα ο Α διαλέγει ενα πραγματικό αριθμό απο το [0,1]. Κατόπιν, διαλέγει ένα αριθμό ο Β, ο οποίος θα είναι διαφορετικός από τον αντίστοιχο του Α. Τέλος, επιλέγεται ένας αριθμός τυχαία ομοιόμορφα απο το [0,1]. Νικητής είναι ο παίκτης που έχει επιλέξει αριθμό πιο κοντά στον αριθμό που επιλέχτηκε τυχαία στο τέλος.
Ερώτηση 1 : αν ο Α επιλέξει το 0, ποια είναι η καλύτερη επιλογή για τον Β ;
Ερώτηση 2 : ποια είναι η καλύτερη επιλογή για τον Α ;

Οι δικές μου σκέψεις είναι οι εξής : δεδομένου οτι η μέση τιμή της συνεχούς ομοιόμορφης στο [0,1] είναι \frac{1}{2},
για την ερώτηση 1, η καλύτερη επιλογή του Β είναι ο,ποιοσδήποτε αριθμός εκτός του 1, αφού κάθε τέτοια επιλογή αναμένεται να είναι πιο κοντά στο \frac{1}{2} από το 0 που επέλεξε ο Α.
για την ερώτηση 2, η καλύτερη επιλογή του Α είναι το \frac{1}{2}.

Είναι σωστός ο συλλογισμός μου ;



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 427
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ένα ερώτημα στις πιθανότητες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Μάιος 05, 2019 3:21 am

v2gls έγραψε:
Σάβ Μάιος 04, 2019 6:06 pm
Δυο παίκτες Α,Β παίζουν το εξής παιχνίδι : πρώτα ο Α διαλέγει ενα πραγματικό αριθμό απο το [0,1]. Κατόπιν, διαλέγει ένα αριθμό ο Β, ο οποίος θα είναι διαφορετικός από τον αντίστοιχο του Α. Τέλος, επιλέγεται ένας αριθμός τυχαία ομοιόμορφα απο το [0,1]. Νικητής είναι ο παίκτης που έχει επιλέξει αριθμό πιο κοντά στον αριθμό που επιλέχτηκε τυχαία στο τέλος.
Ερώτηση 1 : αν ο Α επιλέξει το 0, ποια είναι η καλύτερη επιλογή για τον Β ;
Ερώτηση 2 : ποια είναι η καλύτερη επιλογή για τον Α ;

Οι δικές μου σκέψεις είναι οι εξής : δεδομένου οτι η μέση τιμή της συνεχούς ομοιόμορφης στο [0,1] είναι \frac{1}{2},
για την ερώτηση 1, η καλύτερη επιλογή του Β είναι ο,ποιοσδήποτε αριθμός εκτός του 1, αφού κάθε τέτοια επιλογή αναμένεται να είναι πιο κοντά στο \frac{1}{2} από το 0 που επέλεξε ο Α.
για την ερώτηση 2, η καλύτερη επιλογή του Α είναι το \frac{1}{2}.

Είναι σωστός ο συλλογισμός μου ;
Για το 1ο. Μην μπερδεύεσε με την μέση τιμή. Δεν υπάρχει καλύτερη επιλογή για τον B. Ιδανικά ο Β θα πρέπει να παίξει ώστε να μεγιστοποιήσει την πιθανότητα να κερδίσει. Όμως η πιθανότητα αυτή δεν έχει \max. Mόνο \sup το 1. Γεωμετρικά αν το δεις ο Β θα θέλει να επιλέξει αριθμό b οσοδήποτε κοντά στον 0. Η πιθανότητα να κερδίσει τοτε θα είναι 1-\dfrac{b}{2}. Φορμαλιστικά θέλουμε \sup P(|b-X|<X)=\sup P(X>\frac{b}{2})=\sup(1-\dfrac{b}{2}) απ'όπου παίρνουμε τελικά \sup=1. Στο 2ο όντως η καλύτερη επιλογή του Α είναι το \dfrac{1}{2}. Εξήγησε γιατί.


v2gls
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Τετ Δεκ 16, 2015 9:39 pm

Re: Ένα ερώτημα στις πιθανότητες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από v2gls » Τετ Μάιος 15, 2019 11:20 am

γιατί η μέση τιμή είναι η τιμή που ελαχιστοποιεί την ποσότητα  E|X-\alpha|^2 , όπου \alpha \in \mathbb{R} . σωστά;


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 427
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ένα ερώτημα στις πιθανότητες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Μάιος 15, 2019 11:43 am

v2gls έγραψε:
Τετ Μάιος 15, 2019 11:20 am
γιατί η μέση τιμή είναι η τιμή που ελαχιστοποιεί την ποσότητα  E|X-\alpha|^2 , όπου \alpha \in \mathbb{R} . σωστά;
Το μέσο τετραγωνικό σφάλμα δεν έχει σχέση εδώ.

Βάλε τον Α στο \dfrac{1}{2}. Η πιθανότητα να κερδίσει θα είναι τότε (όπου και αν κάτσει ο Β, αριστερά ή δεξιά)

\dfrac{1}{2}+\dfrac{\left | 1/2-b \right |}{2}>1/2. Αν τον βάλεις σε άλλη θέση τον Α τότε ο Β μπορεί απλά να

κάτσει στο \dfrac{1}{2} και να έχει πιθανότητα νίκης αυτή που είχε πριν ο Α δηλαδή >\dfrac{1}{2}

(μπορεί να κάτσει και σε καλύτερη θέση από αυτή αλλά δεν μας νοιάζει).

Άρα η καλύτερη επιλογή για τον A είναι το \dfrac{1}{2}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης