Κίνηση Brown-Απορία

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Coxs
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Τετ Ιαν 06, 2016 9:39 pm

Κίνηση Brown-Απορία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Coxs » Παρ Αύγ 18, 2017 2:34 pm

Καλησπέρα σε όλους!
Στο διάβασμα της στοχαστικής ανάλυσης βρήκα μία άσκηση από τις σημειώσεις του Α.Ν.Γιαννακόπουλου για την οποία θα ήθελα βοήθεια
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα μοντέλο για την αποτίμηση μετοχών (securities),όπου η τιμή μιας μετοχής S_t,δίνεται από τη σχέση S_t=S_0 e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma B_t}
όπου r,σ πραγματικές θετικές σταθερές
S_0 μια αρχική συνθήκη
B_t μια κίνηση Brown
Να δειχθεί ότι E[S_{t+s}|\mathcal{F} _s]=S_s e^{rt}
- \sim -
E[S_{t+s}|\mathcal{F} _s]=E[S_o e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t+s)+\sigma B_{t+s} |\mathcal{F} _s] \dot{=} S_0 e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})s E[S_o e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma B_{t+s} |\mathcal{F} _s] (1)
Θεωρούμε συνάρτηση Y= e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t-s)+\sigma B_{t}}
H (1) γράφεται: E[S_{t+s}|\mathcal{F} _s]\ddot{=}S_0 e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})s} E[Y \circ \theta _s | \mathcal{F} _s]\displaystyle{\dddot{=} S_0 e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})s} E_{B_s} [Y]}=S_0 e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})s} e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t-s)} E[e^{\sigma B_t}] \ddddot{=}S_0 e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t} e^{\frac{\sigma^2}{2}t} e^{\sigma B_s}=S_0 e^{(rt+\sigma B_s )}

Επεξηγήσεις:
\dot Είναι γνωστό και βγαίνει από το τελεστή της μέσης τιμής
\ddot Χρησιμοποιείται ο τελεστής μετατόπισης \theta _s. Εάν W_t μία κίνηση Brown τότε W_t \circ \theta _s = W_{t+s}
\dddot Χρησιμοποιήθηκε η ιδιότητα Markov , E[Y \circ \theta _s | \mathcal{F} _s]=E_{B_s} [Y]
\ddddot E_{B_s} [e^{\sigma B_s}] =e^{\frac{\sigma ^2 t}{2}} e^{\sigma B_s}

Μπορείτε να εντοπίσετε που βρίσκεται το λάθος?


Λέξεις Κλειδιά:
Markov
Στοχαστικα
κίνηση-Brown
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες